基于Householder反射的约化对称矩阵为三对角形式的算法详解

字数 3074 2025-12-22 01:48:01

基于Householder反射的约化对称矩阵为三对角形式的算法详解

我将为你详细讲解如何使用Householder反射（Householder reflections）将一个实对称矩阵约化为三对角形式（tridiagonal form）。这一过程是计算对称矩阵特征值问题中关键的一步，因为三对角矩阵的特征值可以通过高效算法（如QR算法、分治法等）求得，从而避免直接处理稠密矩阵。

算法背景与目标

对于一个给定的 \(n \times n\) 实对称矩阵 \(A\)，我们希望找到一个正交矩阵 \(Q\)（即 \(Q^T = Q^{-1}\)），使得：

\[T = Q^T A Q \]

是一个三对角矩阵（即只有主对角线、上一次对角线和下一次对角线可能有非零元素，其余均为零）。这一变换称为“正交相似变换”，它保持矩阵的特征值不变，且能极大地简化后续特征值计算。

核心思想：逐步零化非三对角元素

设 \(A^{(0)} = A\)。算法通过 \(n-2\) 步完成，每一步（第 \(k\) 步）消除矩阵中第 \(k\) 行和列中位于三对角带以外的元素。具体来说，在每一步，我们构造一个Householder反射矩阵 \(P_k\)，将其作用于当前矩阵的左乘和右乘，以零化特定行和列中的元素，同时保持对称性。

详细步骤（逐步推导）

步骤1：理解Householder反射

一个Householder反射矩阵 \(P\) 可以定义为：

\[P = I - 2 \frac{v v^T}{v^T v} \]

其中 \(v\) 是一个非零向量。\(P\) 是正交且对称的（\(P^T = P = P^{-1}\)）。它的作用是：给定一个向量 \(x\)，通过选择适当的 \(v\)，可以使得 \(P x\) 平行于某个坐标轴（即除了第一个分量外，其余分量都变为零）。在对称矩阵三对角化中，我们利用这个性质来零化矩阵特定列中的多个元素。

步骤2：第 \(k\) 步的子问题

在第 \(k\) 步（\(k = 1, 2, \dots, n-2\)），我们处理当前矩阵 \(A^{(k-1)}\)。记其右下角（第 \(k+1\) 行到第 \(n\) 行，第 \(k+1\) 列到第 \(n\) 列）的子矩阵为 \(A_{22}^{(k-1)}\)。我们需要构造一个Householder反射 \(P_k'\)（作用于较小的子空间 \(\mathbb{R}^{n-k}\)），使得当它作用于 \(A_{22}^{(k-1)}\) 的第一列时，将该列中从第二个元素开始的部分都化为零。

然后，我们将 \(P_k'\) 扩展为全空间 \(\mathbb{R}^n\) 中的反射矩阵 \(P_k\)：

\[P_k = \begin{pmatrix} I_k & 0 \\ 0 & P_k' \end{pmatrix} \]

其中 \(I_k\) 是 \(k \times k\) 单位矩阵。这样，\(P_k\) 保持了前 \(k\) 行和前 \(k\) 列不变。

步骤3：具体计算第 \(k\) 步的Householder向量

设当前矩阵 \(A^{(k-1)}\) 的第 \(k\) 列中，我们需要零化的部分为向量 \(x \in \mathbb{R}^{n-k}\)（对应行/列索引 \(k+1\) 到 \(n\)）。即：

\[x = \begin{pmatrix} a_{k+1,k}^{(k-1)} \\ a_{k+2,k}^{(k-1)} \\ \vdots \\ a_{n,k}^{(k-1)} \end{pmatrix} \]

我们希望找到 \(P_k'\) 使得 \(P_k' x = \begin{pmatrix} \sigma \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\)，其中 \(\sigma = \pm \|x\|_2\)。

构造Householder向量 \(v\)（在子空间中）：

计算 \(\alpha = -\text{sign}(x_1) \|x\|_2\)（为避免数值误差，通常取与 \(x_1\) 相反的符号）。
令 \(u = x - \alpha e_1\)，其中 \(e_1 = (1, 0, \dots, 0)^T \in \mathbb{R}^{n-k}\)。
归一化：\(v = \frac{u}{\|u\|_2}\)。
则对应的Householder反射为 \(P_k' = I - 2 v v^T\)。

步骤4：应用反射更新矩阵

由于 \(P_k\) 是正交对称的，相似变换为：

\[A^{(k)} = P_k A^{(k-1)} P_k \]

因为 \(P_k\) 是分块对角形式，这个变换实际上只影响右下角的 \((n-k) \times (n-k)\) 子矩阵。具体计算可以分为三步（利用对称性可以减少计算量）：

计算 \(w = A^{(k-1)} v\)（但只需计算受影响的行/列部分）。
然后计算 \(p = w - 2(v^T w) v\)。
更新 \(A^{(k)}\) 的相应部分。

实际上，高效的实现是：

先计算 \(p = A^{(k-1)} v\)。
然后计算 \(K = v^T p\)。
最后计算 \(q = p - K v\)。
更新子矩阵：\(A^{(k)}\) 的右下角部分变为 \(A^{(k-1)} - 2(v q^T + q v^T) + 4K v v^T\)。

步骤5：保存Householder向量

为了后续可能需要的特征向量计算（比如通过反向累乘变换），我们通常将每一步的Householder向量 \(v\) 保存起来（通常可以存储在矩阵 \(A\) 的下三角部分，因为被零化的位置不再需要）。

步骤6：算法结束

经过 \(n-2\) 步后，矩阵 \(A^{(n-2)}\) 就是一个三对角矩阵 \(T\)。整个变换可以表示为：

\[T = (P_{n-2} \cdots P_2 P_1) A (P_1 P_2 \cdots P_{n-2}) \]

记 \(Q = P_1 P_2 \cdots P_{n-2}\)，则 \(T = Q^T A Q\)。

算法复杂度与数值稳定性

计算量：大约 \(\frac{4}{3} n^3\) 次浮点运算，比一般稠密矩阵的QR分解（约 \(\frac{8}{3} n^3\)）少一半，因为利用了对称性。
数值稳定性：Householder反射是数值稳定的，能保证变换后的三对角矩阵 \(T\) 的特征值非常接近原始矩阵 \(A\) 的特征值（在舍入误差范围内）。

总结

通过逐步应用Householder反射，我们可以将任意实对称矩阵正交相似变换为三对角形式，从而为高效求解特征值问题铺平道路。这一过程是许多特征值算法（如QR迭代、分治法、二分法等）的关键预处理步骤，它既保持了对称性，又大幅减少了后续计算量。

基于Householder反射的约化对称矩阵为三对角形式的算法详解我将为你详细讲解如何使用Householder反射（Householder reflections）将一个实对称矩阵约化为三对角形式（tridiagonal form）。这一过程是计算对称矩阵特征值问题中关键的一步，因为三对角矩阵的特征值可以通过高效算法（如QR算法、分治法等）求得，从而避免直接处理稠密矩阵。算法背景与目标对于一个给定的 \( n \times n \) 实对称矩阵 \( A \)，我们希望找到一个正交矩阵 \( Q \)（即 \( Q^T = Q^{-1} \)），使得： \[ T = Q^T A Q \] 是一个三对角矩阵（即只有主对角线、上一次对角线和下一次对角线可能有非零元素，其余均为零）。这一变换称为“正交相似变换”，它保持矩阵的特征值不变，且能极大地简化后续特征值计算。核心思想：逐步零化非三对角元素设 \( A^{(0)} = A \)。算法通过 \( n-2 \) 步完成，每一步（第 \( k \) 步）消除矩阵中第 \( k \) 行和列中位于三对角带以外的元素。具体来说，在每一步，我们构造一个Householder反射矩阵 \( P_ k \)，将其作用于当前矩阵的左乘和右乘，以零化特定行和列中的元素，同时保持对称性。详细步骤（逐步推导）步骤1：理解Householder反射一个Householder反射矩阵 \( P \) 可以定义为： \[ P = I - 2 \frac{v v^T}{v^T v} \] 其中 \( v \) 是一个非零向量。\( P \) 是正交且对称的（\( P^T = P = P^{-1} \)）。它的作用是：给定一个向量 \( x \)，通过选择适当的 \( v \)，可以使得 \( P x \) 平行于某个坐标轴（即除了第一个分量外，其余分量都变为零）。在对称矩阵三对角化中，我们利用这个性质来零化矩阵特定列中的多个元素。步骤2：第 \( k \) 步的子问题在第 \( k \) 步（\( k = 1, 2, \dots, n-2 \)），我们处理当前矩阵 \( A^{(k-1)} \)。记其右下角（第 \( k+1 \) 行到第 \( n \) 行，第 \( k+1 \) 列到第 \( n \) 列）的子矩阵为 \( A_ {22}^{(k-1)} \)。我们需要构造一个Householder反射 \( P_ k' \)（作用于较小的子空间 \( \mathbb{R}^{n-k} \)），使得当它作用于 \( A_ {22}^{(k-1)} \) 的第一列时，将该列中从第二个元素开始的部分都化为零。然后，我们将 \( P_ k' \) 扩展为全空间 \( \mathbb{R}^n \) 中的反射矩阵 \( P_ k \)： \[ P_ k = \begin{pmatrix} I_ k & 0 \\ 0 & P_ k' \end{pmatrix} \] 其中 \( I_ k \) 是 \( k \times k \) 单位矩阵。这样，\( P_ k \) 保持了前 \( k \) 行和前 \( k \) 列不变。步骤3：具体计算第 \( k \) 步的Householder向量设当前矩阵 \( A^{(k-1)} \) 的第 \( k \) 列中，我们需要零化的部分为向量 \( x \in \mathbb{R}^{n-k} \)（对应行/列索引 \( k+1 \) 到 \( n \)）。即： \[ x = \begin{pmatrix} a_ {k+1,k}^{(k-1)} \\ a_ {k+2,k}^{(k-1)} \\ \vdots \\ a_ {n,k}^{(k-1)} \end{pmatrix} \] 我们希望找到 \( P_ k' \) 使得 \( P_ k' x = \begin{pmatrix} \sigma \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \)，其中 \( \sigma = \pm \|x\|_ 2 \)。构造Householder向量 \( v \)（在子空间中）：计算 \( \alpha = -\text{sign}(x_ 1) \|x\|_ 2 \)（为避免数值误差，通常取与 \( x_ 1 \) 相反的符号）。令 \( u = x - \alpha e_ 1 \)，其中 \( e_ 1 = (1, 0, \dots, 0)^T \in \mathbb{R}^{n-k} \)。归一化：\( v = \frac{u}{\|u\|_ 2} \)。则对应的Householder反射为 \( P_ k' = I - 2 v v^T \)。步骤4：应用反射更新矩阵由于 \( P_ k \) 是正交对称的，相似变换为： \[ A^{(k)} = P_ k A^{(k-1)} P_ k \] 因为 \( P_ k \) 是分块对角形式，这个变换实际上只影响右下角的 \( (n-k) \times (n-k) \) 子矩阵。具体计算可以分为三步（利用对称性可以减少计算量）：计算 \( w = A^{(k-1)} v \)（但只需计算受影响的行/列部分）。然后计算 \( p = w - 2(v^T w) v \)。更新 \( A^{(k)} \) 的相应部分。实际上，高效的实现是：先计算 \( p = A^{(k-1)} v \)。然后计算 \( K = v^T p \)。最后计算 \( q = p - K v \)。更新子矩阵：\( A^{(k)} \) 的右下角部分变为 \( A^{(k-1)} - 2(v q^T + q v^T) + 4K v v^T \)。步骤5：保存Householder向量为了后续可能需要的特征向量计算（比如通过反向累乘变换），我们通常将每一步的Householder向量 \( v \) 保存起来（通常可以存储在矩阵 \( A \) 的下三角部分，因为被零化的位置不再需要）。步骤6：算法结束经过 \( n-2 \) 步后，矩阵 \( A^{(n-2)} \) 就是一个三对角矩阵 \( T \)。整个变换可以表示为： \[ T = (P_ {n-2} \cdots P_ 2 P_ 1) A (P_ 1 P_ 2 \cdots P_ {n-2}) \] 记 \( Q = P_ 1 P_ 2 \cdots P_ {n-2} \)，则 \( T = Q^T A Q \)。算法复杂度与数值稳定性计算量：大约 \( \frac{4}{3} n^3 \) 次浮点运算，比一般稠密矩阵的QR分解（约 \( \frac{8}{3} n^3 \)）少一半，因为利用了对称性。数值稳定性：Householder反射是数值稳定的，能保证变换后的三对角矩阵 \( T \) 的特征值非常接近原始矩阵 \( A \) 的特征值（在舍入误差范围内）。总结通过逐步应用Householder反射，我们可以将任意实对称矩阵正交相似变换为三对角形式，从而为高效求解特征值问题铺平道路。这一过程是许多特征值算法（如QR迭代、分治法、二分法等）的关键预处理步骤，它既保持了对称性，又大幅减少了后续计算量。