xxx 最小平均权重环问题（Minimum Mean Weight Cycle Problem）
字数 3293 2025-12-22 01:42:37

xxx 最小平均权重环问题（Minimum Mean Weight Cycle Problem）

题目描述

给定一个有向图，图中每条边带有任意实数权重（可以是正、负、零），要求找出图中平均权重最小的环。
平均权重的定义是：环上所有边的权重之和除以环的边数（或顶点数）。
我们需要在所有环中，找到平均权重最小的那个，并输出其平均权重值。

为什么这个问题重要？

  • 可以用来检测图中是否存在“很负”的平均权重环（比如在调度、电路分析中判断系统是否可改进）。
  • 是求解“最小平均成本流”等问题的子步骤。
  • 是经典的最短路径问题的一个变体，涉及权重和与边数的比值最小化。

解题思路

1. 问题形式化

设图 \(G = (V, E)\)，边 \(e\) 有权重 \(w(e)\)。
对于一个环 \(C = (v_1, v_2, \dots, v_k, v_1)\)，平均权重为：

\[\mu(C) = \frac{\sum_{i=1}^k w(v_i \to v_{i+1})}{k} \]

（下标 \(k+1\) 取 1，表示回到起点。）
目标：

\[\mu^* = \min_{C \text{ 是环}} \mu(C) \]

2. 关键观察

如果固定一个长度 \(L\)，我们能否判断是否存在一个环，其平均权重 \(\le \lambda\)？
可以转换：对每条边权重减去 \(\lambda\)，得到新权重：

\[w'(e) = w(e) - \lambda \]

原问题等价于：是否存在环，使得在新权重下总权重 \(\le 0\)。
因为：

\[\frac{\sum w(e)}{k} \le \lambda \iff \sum w'(e) \le 0 \]

于是，判断“平均权重是否 \(\le \lambda\)”可转化为判断新图中是否存在非正总权重的环，也就是是否存在负环（因为如果总权重为 0 也是允许的）。

3. 二分答案框架

  • 我们不知道 \(\mu^*\) 的具体值，但可以猜测一个值 \(\lambda\)，然后判断“是否存在平均权重 \(\le \lambda\) 的环”。
  • 如果存在，说明 \(\mu^* \le \lambda\)，否则 \(\mu^* > \lambda\)。
  • 这样就能用二分法逼近 \(\mu^*\)。

4. 如何判断“是否存在平均权重 ≤ λ 的环”

构造新图，边权 \(w'(e) = w(e) - \lambda\)。
问题变成：新图中是否存在负环（总权重 ≤ 0 的环）。
检测负环可以用 Bellman-Ford 算法，但要注意：
因为我们要检测的是任意环，而 Bellman-Ford 只能从某个源点出发检测从该源点可达的负环。
但原图可能不连通，所以需要添加一个超级源点，连接到所有顶点，边权为 0，然后在新图上跑 Bellman-Ford 检测负环。
更简单的办法：用 Karp 在 1978 年提出的基于最短路径长度公式的方法，可以避免二分，直接算出来。

5. Karp 的最小平均权重环算法（不用二分）

定义：

\[F_k(v) = \text{从任意起点到 } v \text{ 恰好经过 } k \text{ 条边的最短路径长度} \]

注意这里“从任意起点”实际算法中是枚举所有起点的效果，但 Karp 用了一个巧妙的 DP 计算。

具体递推：

  • 初始化 \(F_0(v) = 0\) 对全部 \(v\)。
  • 对 \(k = 1\) 到 \(n\)（n 是顶点数）：

\[ F_k(v) = \min_{(u, v) \in E} \left\{ F_{k-1}(u) + w(u, v) \right\} \]

计算完后，对于每个顶点 \(v\)，考虑从任意起点到 \(v\) 的路径，然后从 \(v\) 回到自身形成环。但路径长度可能不同，Karp 证明：

\[\mu^* = \min_{v \in V} \max_{0 \le k \le n-1} \frac{F_n(v) - F_k(v)}{n - k} \]

解释：
\(F_n(v)\) 是某个起点到 \(v\) 经过 \(n\) 条边的路径最小总权重，\(F_k(v)\) 是到 \(v\) 经过 \(k\) 条边的路径最小总权重，它们的差相当于从第 \(k\) 条边到第 \(n\) 条边这段形成了一个环（因为经过了 \(n-k\) 条边，并且两次到达同一个顶点 \(v\)，所以中间必有环），这个平均权重就是差值除以 \(n-k\)。我们取所有 \(v\) 和 \(k\) 的最小值。

6. 算法步骤

  1. 输入有向图 \(G=(V, E)\)，边权 \(w(e)\)，顶点数 \(n\)。
  2. 初始化 \(F_0(v) = 0\) 对所有 \(v\)。
  3. 对 \(k = 1\) 到 \(n\)：
    • 对每个顶点 \(v\)：
      • 令 \(F_k(v) = \infty\) 初始化
      • 对每条入边 \((u, v)\)：

\[ F_k(v) = \min(F_k(v), F_{k-1}(u) + w(u, v)) \]

  1. 计算最小平均权重：

\[ \mu^* = \infty \]

对每个顶点 \(v\)：

\[ \text{如果 } F_n(v) \text{ 是无穷大，跳过} \]

否则：

\[ \text{max\_ratio} = -\infty \]

对 \(k = 0\) 到 \(n-1\)：

  • 如果 \(F_k(v)\) 是无穷大，跳过
  • 否则：

\[ \text{max\_ratio} = \max(\text{max\_ratio}, \frac{F_n(v) - F_k(v)}{n - k}) \]

更新：

\[ \mu^* = \min(\mu^*, \text{max\_ratio}) \]

  1. 输出 \(\mu^*\)。

7. 为什么这个公式有效

  • 任何环最多有 \(n\) 个顶点，但路径经过 \(n\) 条边意味着必然重复了顶点，从而在某个顶点 \(v\) 处，路径可以拆成“前 \(k\) 条边到达 \(v\)”和“后 \(n-k\) 条边也到达 \(v\)”，后一段就是一个环。
  • 取最大值是为了考虑“最差的一段”，但我们要最小化这个“最差一段”的平均权重，所以外层对 \(v\) 取最小值。

8. 时间复杂度

  • 递推 \(F_k(v)\) 需要 \(O(n \cdot m)\) 时间（\(m\) 是边数）。
  • 计算比值需要 \(O(n^2)\)。
  • 总复杂度 \(O(nm)\)，适合中等规模图。

9. 举例说明

考虑下图（4 个顶点，有向边）：
边：

  • 0→1: 1
  • 1→2: 2
  • 2→3: 3
  • 3→0: -6
  • 0→2: 4
  • 1→3: 5

手工计算：
环 0→1→2→3→0 总权重 1+2+3+(-6)=0，平均 0。
环 0→2→3→0 总权重 4+3+(-6)=1，平均 1/3。
显然最小平均是 0。

我们用 Karp 方法（简略）：
n=4，计算 F_k(v) 表格（略过程），最后算比值得到最小平均 0。

总结

  • 最小平均权重环问题可用 Karp 的 \(O(nm)\) 算法直接解，无需二分。
  • 核心是 DP 计算 \(F_k(v)\) 然后利用公式：

\[ \mu^* = \min_v \max_{0\le k \le n-1} \frac{F_n(v) - F_k(v)}{n-k} \]

  • 这个算法在有负权、零权、正权时都有效，并能准确求出最小平均权重值。
xxx 最小平均权重环问题（Minimum Mean Weight Cycle Problem） 题目描述 给定一个 有向图 ，图中每条边带有 任意实数权重 （可以是正、负、零），要求找出图中 平均权重最小 的环。 平均权重 的定义是：环上所有边的权重之和除以环的边数（或顶点数）。 我们需要在所有环中，找到平均权重最小的那个，并输出其平均权重值。 为什么这个问题重要？ 可以用来检测图中是否存在“很负”的平均权重环（比如在调度、电路分析中判断系统是否可改进）。 是求解“最小平均成本流”等问题的子步骤。 是经典的最短路径问题的一个变体，涉及权重和与边数的比值最小化。 解题思路 1. 问题形式化 设图 \( G = (V, E) \)，边 \( e \) 有权重 \( w(e) \)。 对于一个环 \( C = (v_ 1, v_ 2, \dots, v_ k, v_ 1) \)，平均权重为： \[ \mu(C) = \frac{\sum_ {i=1}^k w(v_ i \to v_ {i+1})}{k} \] （下标 \( k+1 \) 取 1，表示回到起点。） 目标： \[ \mu^* = \min_ {C \text{ 是环}} \mu(C) \] 2. 关键观察 如果固定一个长度 \( L \)，我们能否判断是否存在一个环，其平均权重 \(\le \lambda\)？ 可以转换：对每条边权重减去 \(\lambda\)，得到新权重： \[ w'(e) = w(e) - \lambda \] 原问题等价于：是否存在环，使得在新权重下总权重 \(\le 0\)。 因为： \[ \frac{\sum w(e)}{k} \le \lambda \iff \sum w'(e) \le 0 \] 于是，判断“平均权重是否 \(\le \lambda\)”可转化为 判断新图中是否存在非正总权重的环 ，也就是 是否存在负环 （因为如果总权重为 0 也是允许的）。 3. 二分答案框架 我们不知道 \(\mu^* \) 的具体值，但可以猜测一个值 \(\lambda\)，然后判断“是否存在平均权重 \(\le \lambda\) 的环”。 如果存在，说明 \(\mu^* \le \lambda\)，否则 \(\mu^* > \lambda\)。 这样就能用二分法逼近 \(\mu^* \)。 4. 如何判断“是否存在平均权重 ≤ λ 的环” 构造新图，边权 \( w'(e) = w(e) - \lambda \)。 问题变成：新图中是否存在负环（总权重 ≤ 0 的环）。 检测负环可以用 Bellman-Ford 算法 ，但要注意： 因为我们要检测的是 任意环 ，而 Bellman-Ford 只能从某个源点出发检测从该源点可达的负环。 但原图可能不连通，所以需要 添加一个超级源点 ，连接到所有顶点，边权为 0，然后在新图上跑 Bellman-Ford 检测负环。 更简单的办法：用 Karp 在 1978 年提出的基于最短路径长度公式的方法 ，可以避免二分，直接算出来。 5. Karp 的最小平均权重环算法（不用二分） 定义： \[ F_ k(v) = \text{从任意起点到 } v \text{ 恰好经过 } k \text{ 条边的最短路径长度} \] 注意这里“从任意起点”实际算法中是 枚举所有起点 的效果，但 Karp 用了一个巧妙的 DP 计算。 具体递推 ： 初始化 \( F_ 0(v) = 0 \) 对全部 \( v \)。 对 \( k = 1 \) 到 \( n \)（n 是顶点数）： \[ F_ k(v) = \min_ {(u, v) \in E} \left\{ F_ {k-1}(u) + w(u, v) \right\} \] 计算完后，对于每个顶点 \( v \)，考虑从任意起点到 \( v \) 的路径，然后从 \( v \) 回到自身形成环。但路径长度可能不同，Karp 证明： \[ \mu^* = \min_ {v \in V} \max_ {0 \le k \le n-1} \frac{F_ n(v) - F_ k(v)}{n - k} \] 解释： \( F_ n(v) \) 是某个起点到 \( v \) 经过 \( n \) 条边的路径最小总权重，\( F_ k(v) \) 是到 \( v \) 经过 \( k \) 条边的路径最小总权重，它们的差相当于从第 \( k \) 条边到第 \( n \) 条边这段形成了一个环（因为经过了 \( n-k \) 条边，并且两次到达同一个顶点 \( v \)，所以中间必有环），这个平均权重就是差值除以 \( n-k \)。我们取所有 \( v \) 和 \( k \) 的最小值。 6. 算法步骤 输入有向图 \( G=(V, E) \)，边权 \( w(e) \)，顶点数 \( n \)。 初始化 \( F_ 0(v) = 0 \) 对所有 \( v \)。 对 \( k = 1 \) 到 \( n \)： 对每个顶点 \( v \)： 令 \( F_ k(v) = \infty \) 初始化 对每条入边 \( (u, v) \)： \[ F_ k(v) = \min(F_ k(v), F_ {k-1}(u) + w(u, v)) \] 计算最小平均权重： \[ \mu^* = \infty \] 对每个顶点 \( v \)： \[ \text{如果 } F_ n(v) \text{ 是无穷大，跳过} \] 否则： \[ \text{max\_ratio} = -\infty \] 对 \( k = 0 \) 到 \( n-1 \)： 如果 \( F_ k(v) \) 是无穷大，跳过 否则： \[ \text{max\_ratio} = \max(\text{max\_ratio}, \frac{F_ n(v) - F_ k(v)}{n - k}) \] 更新： \[ \mu^* = \min(\mu^* , \text{max\_ratio}) \] 输出 \( \mu^* \)。 7. 为什么这个公式有效 任何环最多有 \( n \) 个顶点，但路径经过 \( n \) 条边意味着必然重复了顶点，从而在某个顶点 \( v \) 处，路径可以拆成“前 \( k \) 条边到达 \( v \)”和“后 \( n-k \) 条边也到达 \( v \)”，后一段就是一个环。 取最大值是为了考虑“最差的一段”，但我们要最小化这个“最差一段”的平均权重，所以外层对 \( v \) 取最小值。 8. 时间复杂度 递推 \( F_ k(v) \) 需要 \( O(n \cdot m) \) 时间（\( m \) 是边数）。 计算比值需要 \( O(n^2) \)。 总复杂度 \( O(nm) \)，适合中等规模图。 9. 举例说明 考虑下图（4 个顶点，有向边）： 边： 0→1: 1 1→2: 2 2→3: 3 3→0: -6 0→2: 4 1→3: 5 手工计算： 环 0→1→2→3→0 总权重 1+2+3+(-6)=0，平均 0。 环 0→2→3→0 总权重 4+3+(-6)=1，平均 1/3。 显然最小平均是 0。 我们用 Karp 方法（简略）： n=4，计算 F_ k(v) 表格（略过程），最后算比值得到最小平均 0。 总结 最小平均权重环问题可用 Karp 的 \( O(nm) \) 算法直接解，无需二分。 核心是 DP 计算 \( F_ k(v) \) 然后利用公式： \[ \mu^* = \min_ v \max_ {0\le k \le n-1} \frac{F_ n(v) - F_ k(v)}{n-k} \] 这个算法在有负权、零权、正权时都有效，并能准确求出最小平均权重值。