随机化块坐标下降法在凸优化问题求解中的应用
字数 2784 2025-12-22 00:25:39

随机化块坐标下降法在凸优化问题求解中的应用

题目描述：
考虑凸优化问题

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是凸函数，且可分解为

\[f(x) = g(x) + \sum_{i=1}^N h_i(x_i) \]

\(g\) 是可微凸函数，\(h_i\) 是凸函数（可能非光滑，如L1正则项）。
随机化块坐标下降法（Randomized Block Coordinate Descent, RBCD）每次随机选取一个坐标块（一组变量）进行更新，从而降低单次迭代成本，适用于大规模问题。本题目要求：

  1. 说明RBCD的基本迭代格式。
  2. 推导在块Lipschitz条件下步长的选取。
  3. 分析在凸函数和强凸函数下的收敛速率。

解题过程循序渐进讲解：

步骤1：问题建模与基本迭代格式
将变量 \(x\) 划分为 \(N\) 块：\(x = (x_1, \dots, x_N)^T\)，其中 \(x_i \in \mathbb{R}^{n_i}\)，\(\sum_{i=1}^N n_i = n\)。
每一步随机选取一个块索引 \(i \in \{1, \dots, N\}\)，固定其他块，更新所选块：

\[x_i^{(k+1)} = \arg\min_{y \in \mathbb{R}^{n_i}} \left\{ \langle \nabla_i g(x^{(k)}), y - x_i^{(k)} \rangle + \frac{L_i}{2} \|y - x_i^{(k)}\|^2 + h_i(y) \right\} \]

这里 \(\nabla_i g\) 是 \(g\) 对块 \(i\) 的梯度，\(L_i\) 是块梯度的Lipschitz常数（定义见步骤2），右侧是块 \(i\) 的近端梯度步骤。

为什么用这个迭代：

  • 随机选择块可均摊计算成本。
  • 对非光滑项 \(h_i\) 使用近端算子，允许非光滑正则化。

步骤2：块Lipschitz条件与步长选择
假设 \(\nabla_i g\) 关于块 \(i\) 满足Lipschitz条件：存在 \(L_i > 0\) 使得

\[\| \nabla_i g(x + U_i d_i) - \nabla_i g(x) \| \le L_i \|d_i\| \]

其中 \(U_i\) 是将 \(d_i \in \mathbb{R}^{n_i}\) 映射到全空间（其他块为零）的矩阵。
步长取 \(\alpha_i = 1/L_i\) 可保证块更新的目标函数下降。

推导：
对光滑部分 \(g\)，在块 \(i\) 上有二次上界：

\[g(x + U_i d_i) \le g(x) + \langle \nabla_i g(x), d_i \rangle + \frac{L_i}{2} \|d_i\|^2 \]

代入迭代格式，更新方向 \(d_i = y - x_i^{(k)}\) 使上界加 \(h_i\) 最小化，即为近端梯度步骤。

步骤3：算法流程

  1. 初始化 \(x^{(0)}\)，设定块 Lipschitz 常数 \(L_i\)（可估计或线搜索确定）。
  2. 对 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 重复：
    a. 随机均匀选取块索引 \(i_k \in \{1, \dots, N\}\)。
    b. 计算块梯度 \(\nabla_{i_k} g(x^{(k)})\)。
    c. 更新块 \(i_k\)：

\[ x_{i_k}^{(k+1)} = \text{prox}_{h_{i_k}, L_{i_k}^{-1}} \left( x_{i_k}^{(k)} - L_{i_k}^{-1} \nabla_{i_k} g(x^{(k)}) \right) \]

其中近端算子定义为

\[ \text{prox}_{h, \lambda}(z) = \arg\min_y \left\{ h(y) + \frac{1}{2\lambda} \|y - z\|^2 \right\} \]

d. 其他块保持不变：\(x_j^{(k+1)} = x_j^{(k)}\) 对 \(j \ne i_k\)。

步骤4：收敛性分析

  • 凸函数情形（\(g\) 凸，\(h_i\) 凸）：
    设 \(f^* = \min f\)，迭代期望满足

\[ \mathbb{E}[f(x^{(k)})] - f^* \le \frac{N R_0^2 + 2 f(x^{(0)})}{k + 2N} \]

其中 \(R_0^2 = \|x^{(0)} - x^*\|^2\)，假设 \(L_{\max} = \max_i L_i\) 有界。
意义：达到 \(\epsilon\)-最优解需 \(O(N / \epsilon)\) 次迭代，但每次只更新一块，总梯度计算量可降低。

  • 强凸函数情形（\(g\) 强凸，模 \(\mu > 0\)）：
    设 \(f\) 关于块坐标有强凸性，收敛速率提升为线性：

\[ \mathbb{E}[f(x^{(k)})] - f^* \le \left(1 - \frac{\mu}{N L_{\max}}\right)^k (f(x^{(0)}) - f^*) \]

解释：随机选择使收敛依赖块数 \(N\)，但每轮期望下降因子为 \(1 - \mu/(N L_{\max})\)。

步骤5：关键技巧与扩展

  • 线搜索：若 \(L_i\) 未知，可在每步用回溯线搜索估计局部 Lipschitz 常数。
  • 加速变体：结合 Nesterov 动量，得随机化加速块坐标下降，收敛率提升至 \(O(1/k^2)\)（凸）和 \((1 - \sqrt{\mu/(N L_{\max})})^k\)（强凸）。
  • 并行化：可随机选多个块同时更新（异步并行），需处理块间耦合。

总结：
随机化块坐标下降法将大规模问题分解为低维子问题，通过随机选择块平衡计算与收敛。在机器学习和数据分析中广泛用于带正则化的损失最小化（如LASSO、逻辑回归）。核心是块 Lipschitz 常数确定步长，近端算子处理非光滑项，收敛速率依赖凸性。

随机化块坐标下降法在凸优化问题求解中的应用 题目描述 ： 考虑凸优化问题 \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是凸函数，且可分解为 \[ f(x) = g(x) + \sum_ {i=1}^N h_ i(x_ i) \] \( g \) 是可微凸函数，\( h_ i \) 是凸函数（可能非光滑，如L1正则项）。 随机化块坐标下降法 （Randomized Block Coordinate Descent, RBCD）每次随机选取一个坐标块（一组变量）进行更新，从而降低单次迭代成本，适用于大规模问题。本题目要求： 说明RBCD的基本迭代格式。 推导在块Lipschitz条件下步长的选取。 分析在凸函数和强凸函数下的收敛速率。 解题过程循序渐进讲解 ： 步骤1：问题建模与基本迭代格式 将变量 \( x \) 划分为 \( N \) 块：\( x = (x_ 1, \dots, x_ N)^T \)，其中 \( x_ i \in \mathbb{R}^{n_ i} \)，\(\sum_ {i=1}^N n_ i = n\)。 每一步随机选取一个块索引 \( i \in \{1, \dots, N\} \)，固定其他块，更新所选块： \[ x_ i^{(k+1)} = \arg\min_ {y \in \mathbb{R}^{n_ i}} \left\{ \langle \nabla_ i g(x^{(k)}), y - x_ i^{(k)} \rangle + \frac{L_ i}{2} \|y - x_ i^{(k)}\|^2 + h_ i(y) \right\} \] 这里 \( \nabla_ i g \) 是 \( g \) 对块 \( i \) 的梯度，\( L_ i \) 是块梯度的Lipschitz常数（定义见步骤2），右侧是块 \( i \) 的近端梯度步骤。 为什么用这个迭代 ： 随机选择块可均摊计算成本。 对非光滑项 \( h_ i \) 使用近端算子，允许非光滑正则化。 步骤2：块Lipschitz条件与步长选择 假设 \( \nabla_ i g \) 关于块 \( i \) 满足Lipschitz条件：存在 \( L_ i > 0 \) 使得 \[ \| \nabla_ i g(x + U_ i d_ i) - \nabla_ i g(x) \| \le L_ i \|d_ i\| \] 其中 \( U_ i \) 是将 \( d_ i \in \mathbb{R}^{n_ i} \) 映射到全空间（其他块为零）的矩阵。 步长取 \( \alpha_ i = 1/L_ i \) 可保证块更新的目标函数下降。 推导 ： 对光滑部分 \( g \)，在块 \( i \) 上有二次上界： \[ g(x + U_ i d_ i) \le g(x) + \langle \nabla_ i g(x), d_ i \rangle + \frac{L_ i}{2} \|d_ i\|^2 \] 代入迭代格式，更新方向 \( d_ i = y - x_ i^{(k)} \) 使上界加 \( h_ i \) 最小化，即为近端梯度步骤。 步骤3：算法流程 初始化 \( x^{(0)} \)，设定块 Lipschitz 常数 \( L_ i \)（可估计或线搜索确定）。 对 \( k = 0, 1, 2, \dots \) 重复： a. 随机均匀选取块索引 \( i_ k \in \{1, \dots, N\} \)。 b. 计算块梯度 \( \nabla_ {i_ k} g(x^{(k)}) \)。 c. 更新块 \( i_ k \)： \[ x_ {i_ k}^{(k+1)} = \text{prox} {h {i_ k}, L_ {i_ k}^{-1}} \left( x_ {i_ k}^{(k)} - L_ {i_ k}^{-1} \nabla_ {i_ k} g(x^{(k)}) \right) \] 其中近端算子定义为 \[ \text{prox}_ {h, \lambda}(z) = \arg\min_ y \left\{ h(y) + \frac{1}{2\lambda} \|y - z\|^2 \right\} \] d. 其他块保持不变：\( x_ j^{(k+1)} = x_ j^{(k)} \) 对 \( j \ne i_ k \)。 步骤4：收敛性分析 凸函数情形 （\( g \) 凸，\( h_ i \) 凸）： 设 \( f^* = \min f \)，迭代期望满足 \[ \mathbb{E}[ f(x^{(k)})] - f^* \le \frac{N R_ 0^2 + 2 f(x^{(0)})}{k + 2N} \] 其中 \( R_ 0^2 = \|x^{(0)} - x^* \|^2 \)，假设 \( L_ {\max} = \max_ i L_ i \) 有界。 意义 ：达到 \( \epsilon \)-最优解需 \( O(N / \epsilon) \) 次迭代，但每次只更新一块，总梯度计算量可降低。 强凸函数情形 （\( g \) 强凸，模 \( \mu > 0 \)）： 设 \( f \) 关于块坐标有强凸性，收敛速率提升为线性： \[ \mathbb{E}[ f(x^{(k)})] - f^* \le \left(1 - \frac{\mu}{N L_ {\max}}\right)^k (f(x^{(0)}) - f^* ) \] 解释 ：随机选择使收敛依赖块数 \( N \)，但每轮期望下降因子为 \( 1 - \mu/(N L_ {\max}) \)。 步骤5：关键技巧与扩展 线搜索 ：若 \( L_ i \) 未知，可在每步用回溯线搜索估计局部 Lipschitz 常数。 加速变体 ：结合 Nesterov 动量，得随机化加速块坐标下降，收敛率提升至 \( O(1/k^2) \)（凸）和 \( (1 - \sqrt{\mu/(N L_ {\max})})^k \)（强凸）。 并行化 ：可随机选多个块同时更新（异步并行），需处理块间耦合。 总结 ： 随机化块坐标下降法将大规模问题分解为低维子问题，通过随机选择块平衡计算与收敛。在机器学习和数据分析中广泛用于带正则化的损失最小化（如LASSO、逻辑回归）。核心是块 Lipschitz 常数确定步长，近端算子处理非光滑项，收敛速率依赖凸性。