SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 ρ (Rho) 步骤详解
字数 2649 2025-12-21 23:45:03

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 ρ (Rho) 步骤详解

1. 题目描述

SHA-3 哈希标准（基于 Keccak 算法）采用了海绵结构（Sponge Construction）来吸收输入消息并产生输出。其核心是置换函数 Keccak-f[b]，这个置换函数在内部状态上进行多轮迭代。Keccak-f[b] 的每一轮由五个步骤（称为 θ、ρ、π、χ、ι）组成。本题聚焦于 ρ (Rho) 步骤，要求详细解释其作用、算法过程、在状态数组上的具体操作、以及它在整个置换函数中的设计目的。

2. 预备知识

  • 内部状态：Keccak-f[b] 的内部状态可以表示为一个三维比特数组 a[x][y][z]，其中 x、y 坐标取值范围是 0 到 4（共 5×5=25 个“通道”，每个通道是一个比特串），z 坐标取值范围是 0 到 w-1，其中 w 是 2 的幂（例如，SHA3-256 的状态宽度 b=1600 比特，此时 w=64 比特，即 64 位的通道）。因此，状态可以看作 5×5 的 64 位寄存器阵列。
  • 坐标系统：x 和 y 是二维平面坐标，z 表示深度方向（比特位索引）。ρ 步骤只操作每个通道内的比特位，不改变通道之间的排列顺序（这是 π 步骤的工作）。

3. ρ 步骤的设计目标

在 Keccak 的五步映射中：

  • θ (Theta)：提供了全局的扩散，确保每个比特的翻转都会影响多个其他比特。
  • ρ (Rho)：在 θ 步骤之后，提供位级别的扩散。它通过对每个通道（5×5 阵列中的每个比特串）进行循环移位，使得同一通道内不同位置的比特在后续步骤中能与其他通道的比特相互作用。这样能打破比特之间的局部相关性，增强算法的扩散特性，抵抗密码分析（如差分和线性分析）。

4. ρ 步骤的算法过程

ρ 步骤的操作非常简单：对状态数组 a[x][y] 的每一个通道（即一个长度为 w 的比特串）进行固定偏移量的循环左移。注意：

  • 循环移位是针对每个通道独立进行的。
  • 偏移量是一个与坐标 (x, y) 相关的常数，与具体的消息或轮数无关。
  • 对通道 a[0][0]（即 x=0, y=0 的通道）不移位。

具体的算法如下：

  1. 首先，定义循环左移操作：对于一个长度为 w 的比特串（即一个通道），循环左移 r 位，意味着将比特串向左移动 r 位，移出的高位依次循环到低位。

  2. 其次，定义每个通道的移位偏移量 r[x][y]。这个偏移量是预先计算好的常数，存储在 5×5 的表格中。计算 r[x][y] 的公式如下（Keccak 原始规范）：

    • 当 (x, y) = (0, 0) 时，r = 0。
    • 对于其他 (x, y)，r 由以下递推公式生成（在 GF(2) 上的最大长度移位寄存器序列推导）：
      • 设 t 从 0 到 23，按顺序生成 24 个不同的 (x, y) 对（不包括 (0,0)）。
      • 偏移量 r 满足：对于 t ≥ 0，有 r[x][y] = (t+1)(t+2)/2 mod w。
    • 实际上，我们不需要自己递推，因为标准已经给出了固定的偏移量表（对于 w=64 的情况）。

  3. 对于 w=64（即状态宽度 b=1600 比特）的 SHA-3，r[x][y] 的数值如下表（注意：坐标 (x, y) 对应 5×5 矩阵的行列，通常 x 是行索引，y 是列索引，但在 Keccak 论文中坐标系可能不同，但最终表格是一致的）：

x=3 x=4 x=0 x=1 x=2
25 39 3 10 43
55 20 36 44 6
28 27 0 1 62
56 14 18 2 61
21 8 41 45 15

解释：上表中，每个单元格的坐标 (x, y) 与表格的布局对应（第一行 y=0, 第二行 y=1, ...），表格内的数字是该通道的循环左移位数值。例如，坐标 (x=1, y=0) 的通道循环左移 1 位；坐标 (x=2, y=3) 的通道循环左移 61 位。

  1. 对状态数组的每个通道 a[x][y]（一个 w 比特的串），应用循环左移 r[x][y] 位。即： 
    a'[x][y][z] = a[x][y][(z - r[x][y]) mod w]
    这里 z 是比特位索引（0 是最低位，w-1 是最高位）。实际上，在实现中，我们直接对 w 位的寄存器执行循环左移 r 位的操作。

5. 举例说明

假设我们有一个极简化的状态，w=8（即每个通道 8 比特），只是为了示意。假设坐标 (x=1, y=0) 的通道 a[1][0] 的值为二进制 10011001（0x99），而对应的 r[1][0]=1（查表，实际 w=8 时表格不同，这里仅为示例）。则 ρ 步骤后：

  • 对 10011001 循环左移 1 位，得到 00110011（0x33）。
    所以，新的 a'[1][0] = 00110011。

6. 与后续步骤的交互

ρ 步骤之后，状态进入 π 步骤，π 步骤会对通道进行位置置换（即重新排列 5×5 矩阵中的通道位置）。ρ 步骤的循环移位与 π 步骤的置换相结合，使得比特不仅在同一通道内移动，还会在下一轮中通过 π 步骤被移动到不同通道，从而在多个维度上实现比特的充分混合。

7. 设计考虑

  • 偏移量的选择：偏移量 r[x][y] 是精心选择的，以确保：
    • 不同的通道有不同的偏移量，避免对称性。
    • 偏移量是互质的（或接近互质），使得循环移位的组合能在多轮中遍历所有可能的比特位置。
  • 计算效率：ρ 步骤只需要对每个通道执行一次循环移位操作，在现代处理器上是非常高效的位操作，尤其适合硬件实现。

8. 总结

ρ 步骤是 Keccak-f 轮函数中最简单的步骤，但其作用至关重要：

  • 它提供了比特级的扩散，将同一通道内的比特位置重新排列。
  • 与后续的 π 步骤结合，确保了状态比特在三维空间（x, y, z）中的充分扩散。
  • 其固定的、与数据无关的移位模式，使得分析者难以利用任何移位规律进行攻击。

通过以上步骤，您应该能清晰理解 SHA-3 中 ρ 步骤的算法原理、具体操作和设计意图。

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 ρ (Rho) 步骤详解 1. 题目描述 SHA-3 哈希标准（基于 Keccak 算法）采用了海绵结构（Sponge Construction）来吸收输入消息并产生输出。其核心是置换函数 Keccak-f[ b]，这个置换函数在内部状态上进行多轮迭代。Keccak-f[ b] 的每一轮由五个步骤（称为 θ、ρ、π、χ、ι）组成。本题聚焦于 ρ (Rho) 步骤 ，要求详细解释其作用、算法过程、在状态数组上的具体操作、以及它在整个置换函数中的设计目的。 2. 预备知识 内部状态 ：Keccak-f[ b] 的内部状态可以表示为一个三维比特数组 a[ x][ y][ z ]，其中 x、y 坐标取值范围是 0 到 4（共 5×5=25 个“通道”，每个通道是一个比特串），z 坐标取值范围是 0 到 w-1，其中 w 是 2 的幂（例如，SHA3-256 的状态宽度 b=1600 比特，此时 w=64 比特，即 64 位的通道）。因此，状态可以看作 5×5 的 64 位寄存器阵列。 坐标系统 ：x 和 y 是二维平面坐标，z 表示深度方向（比特位索引）。ρ 步骤只操作每个通道内的比特位，不改变通道之间的排列顺序（这是 π 步骤的工作）。 3. ρ 步骤的设计目标 在 Keccak 的五步映射中： θ (Theta) ：提供了全局的扩散，确保每个比特的翻转都会影响多个其他比特。 ρ (Rho) ：在 θ 步骤之后，提供 位级别的扩散 。它通过 对每个通道（5×5 阵列中的每个比特串）进行循环移位 ，使得同一通道内不同位置的比特在后续步骤中能与其他通道的比特相互作用。这样能打破比特之间的局部相关性，增强算法的扩散特性，抵抗密码分析（如差分和线性分析）。 4. ρ 步骤的算法过程 ρ 步骤的操作非常简单： 对状态数组 a[ x][ y] 的每一个通道（即一个长度为 w 的比特串）进行固定偏移量的循环左移 。注意： 循环移位是 针对每个通道独立进行的 。 偏移量是一个与坐标 (x, y) 相关的常数， 与具体的消息或轮数无关 。 对通道 a[ 0][ 0 ]（即 x=0, y=0 的通道）不移位。 具体的算法如下： 首先，定义循环左移操作：对于一个长度为 w 的比特串（即一个通道），循环左移 r 位，意味着将比特串向左移动 r 位，移出的高位依次循环到低位。 其次，定义每个通道的移位偏移量 r[ x][ y]。这个偏移量是预先计算好的常数，存储在 5×5 的表格中。计算 r[ x][ y ] 的公式如下（Keccak 原始规范）： 当 (x, y) = (0, 0) 时，r = 0。 对于其他 (x, y)，r 由以下递推公式生成（在 GF(2) 上的最大长度移位寄存器序列推导）： 设 t 从 0 到 23，按顺序生成 24 个不同的 (x, y) 对（不包括 (0,0)）。 偏移量 r 满足：对于 t ≥ 0，有 r[ x][ y ] = (t+1)(t+2)/2 mod w。 实际上，我们不需要自己递推，因为标准已经给出了固定的偏移量表（对于 w=64 的情况）。 对于 w=64（即状态宽度 b=1600 比特）的 SHA-3，r[ x][ y ] 的数值如下表（注意：坐标 (x, y) 对应 5×5 矩阵的行列，通常 x 是行索引，y 是列索引，但在 Keccak 论文中坐标系可能不同，但最终表格是一致的）： | x=3 | x=4 | x=0 | x=1 | x=2 | |-----|-----|-----|-----|-----| | 25 | 39 | 3 | 10 | 43 | | 55 | 20 | 36 | 44 | 6 | | 28 | 27 | 0 | 1 | 62 | | 56 | 14 | 18 | 2 | 61 | | 21 | 8 | 41 | 45 | 15 | 解释 ：上表中，每个单元格的坐标 (x, y) 与表格的布局对应（第一行 y=0, 第二行 y=1, ...），表格内的数字是该通道的循环左移位数值。例如，坐标 (x=1, y=0) 的通道循环左移 1 位；坐标 (x=2, y=3) 的通道循环左移 61 位。 对状态数组的每个通道 a[ x][ y]（一个 w 比特的串），应用循环左移 r[ x][ y ] 位。即： 这里 z 是比特位索引（0 是最低位，w-1 是最高位）。实际上，在实现中，我们直接对 w 位的寄存器执行循环左移 r 位的操作。 5. 举例说明 假设我们有一个极简化的状态，w=8（即每个通道 8 比特），只是为了示意。假设坐标 (x=1, y=0) 的通道 a[ 1][ 0] 的值为二进制 10011001（0x99），而对应的 r[ 1][ 0 ]=1（查表，实际 w=8 时表格不同，这里仅为示例）。则 ρ 步骤后： 对 10011001 循环左移 1 位，得到 00110011（0x33）。 所以，新的 a'[ 1][ 0 ] = 00110011。 6. 与后续步骤的交互 ρ 步骤之后，状态进入 π 步骤 ，π 步骤会对通道进行位置置换（即重新排列 5×5 矩阵中的通道位置）。ρ 步骤的循环移位与 π 步骤的置换相结合，使得 比特不仅在同一通道内移动，还会在下一轮中通过 π 步骤被移动到不同通道 ，从而在多个维度上实现比特的充分混合。 7. 设计考虑 偏移量的选择 ：偏移量 r[ x][ y ] 是精心选择的，以确保： 不同的通道有不同的偏移量，避免对称性。 偏移量是互质的（或接近互质），使得循环移位的组合能在多轮中遍历所有可能的比特位置。 计算效率 ：ρ 步骤只需要对每个通道执行一次循环移位操作，在现代处理器上是非常高效的位操作，尤其适合硬件实现。 8. 总结 ρ 步骤是 Keccak-f 轮函数中 最简单的步骤 ，但其作用至关重要： 它提供了 比特级的扩散 ，将同一通道内的比特位置重新排列。 与后续的 π 步骤结合，确保了状态比特在三维空间（x, y, z）中的充分扩散。 其固定的、与数据无关的移位模式，使得分析者难以利用任何移位规律进行攻击。 通过以上步骤，您应该能清晰理解 SHA-3 中 ρ 步骤的算法原理、具体操作和设计意图。