高斯-埃尔米特求积公式
字数 2403 2025-10-26 11:43:54

高斯-埃尔米特求积公式

题目描述
高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx\) 的无穷区间积分。该公式的节点为埃尔米特多项式的零点，权重由特定规则确定。要求：

  1. 推导 \(n = 2\) 时的高斯-埃尔米特求积公式；
  2. 用该公式近似计算 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x) \, dx\)，并与精确值比较。

解题过程

1. 高斯-埃尔米特求积公式的基本形式

对于积分 \(I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx\)，高斯-埃尔米特求积公式的近似表达式为：

\[I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i), \]

其中 \(x_i\) 是 \(n\) 次埃尔米特多项式 \(H_n(x)\) 的零点，权重 \(w_i\) 由公式

\[w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2} \]

确定。加权函数为 \(e^{-x^2}\)，积分区间为 \((-\infty, \infty)\)。

2. 推导 \(n = 2\) 时的公式

  • 埃尔米特多项式：
    \(H_0(x) = 1\)，\(H_1(x) = 2x\)，\(H_2(x) = 4x^2 - 2\)。
  • 求节点：解 \(H_2(x) = 0\)：

\[ 4x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

节点为 \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\)。

  • 求权重：
    使用公式 \(w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2}\)，其中 \(n = 2\)。
    计算 \(H_1(x) = 2x\)：
    • 对于 \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(H_1(x_1) = -\sqrt{2}\)，故 \([H_1(x_1)]^2 = 2\)。
    • 对于 \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(H_1(x_2) = \sqrt{2}\)，故 \([H_1(x_2)]^2 = 2\)。
      代入公式：

\[ w_i = \frac{2^{1} \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{\pi}}{4 \cdot 2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]

两个节点的权重相同，即 \(w_1 = w_2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。

  • 求积公式：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left[ f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right]. \]

3. 计算积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x) \, dx\)

  • 精确值（已知结果）：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x) \, dx = \sqrt{\pi} \, e^{-1/4}. \]

数值近似为 \(\sqrt{\pi} \cdot e^{-0.25} \approx 1.380388\)。

  • 高斯-埃尔米特近似：
    代入 \(f(x) = \cos(x)\) 和节点 \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)：

\[ f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \cos\left(-0.707107\right) = \cos(0.707107) \approx 0.760245, \]

\[ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \cos(0.707107) \approx 0.760245. \]

近似积分为：

\[ I \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left[ 0.760245 + 0.760245 \right] = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot 1.52049 \approx 0.886227 \cdot 1.52049 \approx 1.347. \]

  • 误差分析：
    精确值 \(\approx 1.380388\)，近似值 \(\approx 1.347\)，相对误差约为 \(2.42\%\)。
    误差来源于 \(n = 2\) 时公式仅对次数 \(\leq 3\) 的多项式精确成立，而 \(\cos(x)\) 需无穷阶多项式逼近。

总结
高斯-埃尔米特公式通过节点和权重的巧妙选择，高效处理无穷区间上的高斯加权积分。\(n = 2\) 时公式简单，但可通过增加节点提高精度（如 \(n = 3\) 时精度显著提升）。

高斯-埃尔米特求积公式 题目描述 高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \) 的无穷区间积分。该公式的节点为埃尔米特多项式的零点，权重由特定规则确定。要求： 推导 \( n = 2 \) 时的高斯-埃尔米特求积公式； 用该公式近似计算 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x) \, dx \)，并与精确值比较。 解题过程 1. 高斯-埃尔米特求积公式的基本形式 对于积分 \( I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \)，高斯-埃尔米特求积公式的近似表达式为： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i), \] 其中 \( x_ i \) 是 \( n \) 次埃尔米特多项式 \( H_ n(x) \) 的零点，权重 \( w_ i \) 由公式 \[ w_ i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [ H_ {n-1}(x_ i) ]^2} \] 确定。加权函数为 \( e^{-x^2} \)，积分区间为 \( (-\infty, \infty) \)。 2. 推导 \( n = 2 \) 时的公式 埃尔米特多项式 ： \( H_ 0(x) = 1 \)，\( H_ 1(x) = 2x \)，\( H_ 2(x) = 4x^2 - 2 \)。 求节点 ：解 \( H_ 2(x) = 0 \)： \[ 4x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. \] 节点为 \( x_ 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)，\( x_ 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \)。 求权重 ： 使用公式 \( w_ i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [ H_ {n-1}(x_ i) ]^2} \)，其中 \( n = 2 \)。 计算 \( H_ 1(x) = 2x \)： 对于 \( x_ 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)，\( H_ 1(x_ 1) = -\sqrt{2} \)，故 \( [ H_ 1(x_ 1) ]^2 = 2 \)。 对于 \( x_ 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \)，\( H_ 1(x_ 2) = \sqrt{2} \)，故 \( [ H_ 1(x_ 2) ]^2 = 2 \)。 代入公式： \[ w_ i = \frac{2^{1} \cdot 2 ! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{\pi}}{4 \cdot 2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \] 两个节点的权重相同，即 \( w_ 1 = w_ 2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \)。 求积公式 ： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left[ f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right ]. \] 3. 计算积分 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x) \, dx \) 精确值 （已知结果）： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x) \, dx = \sqrt{\pi} \, e^{-1/4}. \] 数值近似为 \( \sqrt{\pi} \cdot e^{-0.25} \approx 1.380388 \)。 高斯-埃尔米特近似 ： 代入 \( f(x) = \cos(x) \) 和节点 \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)： \[ f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \cos\left(-0.707107\right) = \cos(0.707107) \approx 0.760245, \] \[ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \cos(0.707107) \approx 0.760245. \] 近似积分为： \[ I \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left[ 0.760245 + 0.760245 \right ] = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot 1.52049 \approx 0.886227 \cdot 1.52049 \approx 1.347. \] 误差分析 ： 精确值 \( \approx 1.380388 \)，近似值 \( \approx 1.347 \)，相对误差约为 \( 2.42\% \)。 误差来源于 \( n = 2 \) 时公式仅对次数 \( \leq 3 \) 的多项式精确成立，而 \( \cos(x) \) 需无穷阶多项式逼近。 总结 高斯-埃尔米特公式通过节点和权重的巧妙选择，高效处理无穷区间上的高斯加权积分。\( n = 2 \) 时公式简单，但可通过增加节点提高精度（如 \( n = 3 \) 时精度显著提升）。