排序算法之：利用基数排序处理多精度浮点数与科学计数法表示的数字排序

题目描述
我们通常使用基数排序处理整数，但面对科学计算或工程中的数据，常常需要排序多精度浮点数（如双精度浮点数）或科学计数法表示的数字（如 "3.14e+10", "-1.6e-19"）。本题要求设计一个基于基数排序的算法，能够稳定、高效地对这类数字进行排序。
输入：一个数组，元素可以是多精度浮点数（例如 64 位 double 类型）或科学计数法表示的字符串。
输出：按数值大小非递减排序的数组。
约束：

1. 算法必须是稳定的（即数值相等的元素保持原有相对顺序）。
2. 不能直接使用语言内置的浮点数比较排序（如 std::sort），但可利用其位运算或字节表示。
3. 需处理正数、负数、零以及特殊值（如 Inf, NaN，但为简化，本题可先假设输入为有限值）。
4. 时间复杂度和空间复杂度尽可能低，例如 O(n * k)，其中 k 是与数字表示相关的“位数”（如字节数）。

解题过程

第一步：理解浮点数的内存表示与排序难点
浮点数（以 IEEE 754 双精度为例）在内存中占 64 位，包括：

• 1 位符号位 S（0 正，1 负）
• 11 位指数位 E（偏移 1023）
• 52 位尾数位 M

关键难点：

1. 负数的表示不是简单的补码，因此其二进制位与数值大小顺序不直接对应。
2. 科学计数法字符串如 "2.5e3" 需要解析为数值，再转换为内存表示以便排序。
3. 排序必须是数值顺序，而非字典序（例如 "-1.2" 应小于 "0.5"）。

第二步：核心思路——将浮点数映射为可排序的整数
观察 IEEE 754 表示，如果将整个 64 位二进制视为有符号整数，会发现一个重要性质：

• 对于正浮点数（S=0），其二进制对应的整数是单调递增的（因为指数 E 和尾数 M 越大，数值越大）。
• 对于负浮点数（S=1），其二进制对应的整数也是单调递增的（但负数在内存中是以“符号-幅度”加偏移存储的，其二进制对应整数与数值大小方向一致）。

更精确地说，如果定义：

uint64_t bits = * (uint64_t*) &double_value;  

则对于任意两个浮点数 a, b：

• 若 a, b 均为正数：a < b ⇔ bits_of(a) < bits_of(b)
• 若 a, b 均为负数：a < b ⇔ bits_of(a) < bits_of(b)
• 若 a 负, b 正：必然 a < b，但 bits_of(a) 的最高位为 1，bits_of(b) 最高位为 0，所以 bits_of(a) 在无符号比较时大于 bits_of(b)。

为了使得整数顺序与数值顺序完全一致，我们需要对符号位进行反转：

• 如果符号位 S=1（负数），将其余 63 位取反（或更简单的：将整个 64 位与 0x8000... 异或，仅翻转符号位？）。
• 如果符号位 S=0（正数），将其余 63 位保持不变，但将符号位设为 1？让我们仔细推导。

更标准的映射方法（用于基数排序）：
定义转换函数 float_to_sortable_int(x)：

1. 取 x 的 64 位表示 bits。
2. 如果 bits 的最高位（符号位）为 0（正数），则将其最高位设为 1（即加上 0x8000000000000000）。
3. 如果 bits 的最高位为 1（负数），则将其所有位取反（即与 0xFFFFFFFFFFFFFFFF 异或）。
   这样得到的整数 key，满足：

对于任意两个浮点数 a, b:  
a < b ⇔ key(a) < key(b)  

证明：

• 正数范围：原表示中，正数的二进制整数形式是递增的，但最高位为 0。加上 0x8000... 后，它们映射到 [0x8000..., 0xFFFF...]，仍保持递增。
• 负数范围：原表示中，负数的二进制整数形式是递增的（因为 S=1 固定，E 和 M 越大，数值越大），但此时数值是负的。对整个 bits 取反后，原来小的负数（如 -100）会变成大的整数吗？实际上，取反相当于对负数做了“绝对值从小到大”的映射，并且使得所有负数映射后的整数小于正数映射后的整数。

更简单的等价做法（实际常用）：

uint64_t key = bits ^ (1 - (bits >> 63)) * 0xFFFFFFFFFFFFFFFF;

但更直接的方法是：

if (bits & 0x8000000000000000) // 负数
    key = ~bits;
else                           // 正数（包括0）
    key = bits ^ 0x8000000000000000;

这样，key 是一个 64 位无符号整数，其顺序与原始浮点数数值顺序相同。

第三步：算法框架

1. 将每个浮点数通过上述映射转换为 64 位无符号整数 key。
2. 对 key 数组使用基数排序（按字节或按 16 位块等）。
3. 排序完成后，将 key 通过逆映射转换回浮点数。

逆映射：

if (key & 0x8000000000000000) // 原来为正数
    bits = key ^ 0x8000000000000000;
else                           // 原来为负数
    bits = ~key;

第四步：处理科学计数法字符串
如果输入是科学计数法字符串，例如 "3.14e-5"：

1. 使用标准库（如 stod）将其解析为双精度浮点数。
2. 然后按上述浮点数方法处理。
   注意：如果要求不解析为浮点数（避免精度损失），可以直接处理字符串，但那样会变为字符串排序而非数值排序，不符合本题要求。因此我们假设解析是允许的。

第五步：基数排序的实现细节
我们采用 LSD（Least Significant Digit）基数排序，因为它是稳定的，且适合整数排序。

• 基数（桶数）选择 256（每次处理 1 字节）或 65536（每次处理 2 字节）。
• 步骤：
  a. 创建计数数组 count[256] 和临时数组 temp[n]。
  b. 对 64 位 key 的每个字节（从低字节到高字节）进行计数排序。
  c. 每轮统计频次、计算前缀和、将元素按当前字节值放入临时数组正确位置。
  d. 重复 8 轮（因为 64 位 = 8 字节）。

代码框架（伪代码）：

function radix_sort_float(arr):
    n = length(arr)
    keys = array of uint64[n]
    for i = 0 to n-1:
        bits = reinterpret arr[i] as uint64
        keys[i] = convert_to_sortable_int(bits)
    
    // LSD 基数排序（基数 256）
    for shift = 0, 8, 16, ..., 56:
        count[256] = {0}
        for i = 0 to n-1:
            byte = (keys[i] >> shift) & 0xFF
            count[byte]++
        // 前缀和
        total = 0
        for b = 0 to 255:
            old = count[b]
            count[b] = total
            total += old
        // 放置元素
        for i = 0 to n-1:
            byte = (keys[i] >> shift) & 0xFF
            temp[count[byte]] = keys[i]
            count[byte]++
        keys = temp
    
    // 转换回原数组
    for i = 0 to n-1:
        bits = convert_from_sortable_int(keys[i])
        arr[i] = reinterpret bits as double
    return arr

第六步：稳定性与特殊值处理

• 稳定性：LSD 基数排序是稳定的，只要每轮使用稳定的计数排序即可。
• 特殊值：
  • 零：+0 和 -0 的表示不同，但数值相等。上述映射能保持它们相等吗？+0 的二进制为全 0，-0 的符号位为 1 其余为 0。映射后 key 可能不同，但排序时它们可能被分开。如果要求 +0 和 -0 视为相等且保持原序，则需要特殊处理（例如在映射前统一为 +0）。
  • Inf 和 NaN：本题可先假设输入为有限值，但若要支持，需定义顺序（如 -Inf < 有限数 < +Inf，NaN 可视为最大并放在末尾）。

第七步：复杂度分析

• 时间：O(n * 8) = O(n)（因为 8 轮，每轮 O(n+256)）。
• 空间：O(n) 用于临时数组，以及 O(256) 计数数组。

第八步：扩展思考

1. 如果输入是任意精度的十进制字符串（如 "123.4567890123456789"），无法精确转为双精度，则需直接对字符串做基数排序，但必须按数值比较。此时可以将字符串转为固定点数（例如放大为整数）或使用多精度库。
2. 如果要求支持 NaN 和 Inf，可以在映射时将它们映射到整数范围的最高端，并确保 NaN 不参与比较（但排序时需特殊处理）。

总结
本题通过位运算将浮点数映射为顺序保持的整数，再对整数进行稳定的 LSD 基数排序，最后逆映射恢复浮点数。该算法保证了 O(n) 的时间复杂度（常数较大）和稳定性，适用于多精度浮点数及科学计数法表示的数字排序。