好的，我现在随机为你挑选一个线性动态规划领域中，且不在你已提供列表里的算法题目。

线性动态规划：两个字符串的最短公共超序列长度 (Shortest Common Supersequence - Length)

题目描述

给你两个字符串 text1 和 text2，请你找出一个最短的字符串，使得 text1 和 text2 都是这个字符串的 子序列。返回这个最短字符串的 长度。

子序列定义：一个字符串可以通过删除原字符串某些字符（也可以不删除）而不改变剩余字符的相对顺序得到。例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是。

示例 1：

• 输入：text1 = "abac", text2 = "cab"
• 输出：5
• 解释：最短公共超序列之一是 "cabac"。"abac" 是 "c a b a c" 的子序列（标记下划线）。"cab" 也是 "c a b a c" 的子序列。长度为5。

示例 2：

• 输入：text1 = "aaaaaaaa", text2 = "aaaaaaaa"
• 输出：8
• 解释：最短公共超序列就是它本身。

解题过程循序渐进讲解

我们的目标是求最短公共超序列（SCS）的长度。这个问题和最长公共子序列（LCS）有着非常直接和优美的关系。

第一步：将问题转化为已知问题

让我们思考一下 text1（长度为 n）和 text2（长度为 m）以及它们的最长公共子序列 LCS（长度为 l）。

1. 超序列与子序列的关系：一个超序列必须包含 text1 和 text2 的所有字符，同时保持各自原有的顺序。
2. 重叠部分：如果 text1 和 text2 有公共的字符（按照顺序），那么在构造超序列时，这些公共字符只需要出现一次，就可以同时满足是 text1 和 text2 的子序列的要求。
3. 核心观察：这些“只需要出现一次”的字符，正是 text1 和 text2 的最长公共子序列 (LCS)。

第二步：推导长度公式

我们可以这样构建最短公共超序列：

• 先写出 text1 和 text2 的 LCS。
• 对于 text1 中不属于 LCS 的字符，我们必须按顺序将它们插入到超序列中 LCS 的对应位置之间或两端。
• 对于 text2 中不属于 LCS 的字符，我们也必须按顺序将它们插入。

长度计算：

• text1 的长度是 n，其中 l 个字符已经在 LCS 里，所以需要额外插入 (n - l) 个来自 text1 的独有字符。
• text2 的长度是 m，其中 l 个字符已经在 LCS 里，所以需要额外插入 (m - l) 个来自 text2 的独有字符。
• 最后，再加上 LCS 本身的 l 个字符。

因此，最短公共超序列的长度 = (n - l) + (m - l) + l = n + m - l。

结论：SCS长度 = text1长度 + text2长度 - LCS长度。

第三步：设计动态规划状态

既然我们已经知道关键在于求 LCS长度，而这是一个经典的动态规划问题。

我们定义 dp[i][j]：表示 text1 的前 i 个字符（下标 0 到 i-1）和 text2 的前 j 个字符（下标 0 到 j-1）的 最长公共子序列的长度。

• i 的取值范围是 [0, n]
• j 的取值范围是 [0, m]
• dp[0][j] 表示 text1 取空字符串，所以 LCS 长度为 0。
• dp[i][0] 同理。

我们的最终目标是 dp[n][m]，即两个完整字符串的 LCS 长度 l。

第四步：建立状态转移方程

我们考虑 text1[i-1] 和 text2[j-1] 这两个字符（因为下标从0开始）。

1. 如果两个字符相等：

   • 这个字符必然是 LCS 的一部分。
   • 那么，text1 前 i-1 个字符和 text2 前 j-1 个字符的 LCS 长度加上这个字符，就构成了新的 LCS。
   • 所以，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

2. 如果两个字符不相等：

   • 那么，text1[i-1] 和 text2[j-1] 不可能同时出现在当前的 LCS 中。
   • 我们有两种选择：
     a) 不考虑 text1[i-1]，看 text1 前 i-1 个字符和 text2 前 j 个字符的 LCS。
     b) 不考虑 text2[j-1]，看 text1 前 i 个字符和 text2 前 j-1 个字符的 LCS。
   • 当前的 LCS 长度应该是这两种选择中的最大值（因为我们要找最长的）。
   • 所以，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

转移方程总结：

if text1[i-1] == text2[j-1]:
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

第五步：确定初始条件

• dp[0][j] = 0，空字符串和任何字符串的 LCS 长度为 0。
• dp[i][0] = 0，同理。

第六步：计算顺序与最终答案

我们从小规模问题向大规模问题计算：

• 使用两层循环，i 从 1 到 n，j 从 1 到 m。
• 计算完整个 dp 表后，l = dp[n][m]。
• 最终答案：SCS长度 = n + m - l。

第七步：用示例验证

以 text1 = "abac" (n=4), text2 = "cab" (m=3) 为例。

1. 构建 dp 表（5行 x 4列，包含空串情况）：

   dp[i][j] 表 (i行，j列)：
            ''  'c'  'a'  'b'
   ''       0    0    0    0
   'a'      0    0    1    1
   'b'      0    0    1    2
   'a'      0    0    1    2
   'c'      0    1    1    2
   

   计算过程（逐步）：

   • i=1, j=1： 'a' != 'c'， dp[1][1] = max(dp[0][1], dp[1][0]) = max(0, 0) = 0
   • i=1, j=2： 'a' == 'a'， dp[1][2] = dp[0][1] + 1 = 0 + 1 = 1
   • i=2, j=3： 'b' == 'b'， dp[2][3] = dp[1][2] + 1 = 1 + 1 = 2
   • i=4, j=1： 'c' == 'c'， dp[4][1] = dp[3][0] + 1 = 0 + 1 = 1
   • 等等。

2. dp[4][3] = 2，所以 l = 2。

3. 最短公共超序列长度 = n + m - l = 4 + 3 - 2 = 5。与示例一致。

第八步：复杂度分析

• 时间复杂度：我们需要填充一个 (n+1) x (m+1) 的 dp 表，每次操作是常数时间。所以总时间复杂度为 O(n * m)。
• 空间复杂度：如果使用完整的二维数组，是 O(n * m)。可以观察到状态转移只依赖于上一行和当前行的左边，所以可以优化到 O(min(n, m))。

核心要点总结

这道题的巧妙之处在于，它将“最短公共超序列”问题，转化为了经典的“最长公共子序列”问题。

核心公式：
最短公共超序列长度 = 字符串A长度 + 字符串B长度 - 最长公共子序列长度

你只需要熟练解决 LCS 的动态规划，就能轻松解决 SCS 的长度问题。如果需要输出具体的超序列字符串，则需要在动态规划过程中记录路径（使用额外的数组存储选择方向），然后在回溯时根据 dp 值和字符相等关系来构造。