这里$ h_{ij} $是投影系数，存储在上Hessenberg矩阵$ H_m $的第j列中。  

Arnoldi迭代算法求矩阵特征值 题目描述 Arnoldi迭代是一种用于求解大型稀疏矩阵特征值问题的Krylov子空间方法。给定一个n×n矩阵A（通常是非对称的），Arnoldi迭代通过构建Krylov子空间的正交基，将A投影到一个小型的上Hessenberg矩阵上，从而近似计算A的部分特征值。该算法特别适用于当A很大且稀疏时，直接计算所有特征值不现实的情况。 解题过程 1. 理解Krylov子空间 定义：给定矩阵A和向量v，Krylov子空间是由向量v通过重复左乘A生成的向量空间： \( \mathcal{K}_ m(A, v) = \text{span}\{v, Av, A^2v, \dots, A^{m-1}v\} \)，其中m远小于n。 目的：通过在小空间\( \mathcal{K}_ m \)中近似A的特征值，避免直接处理大型矩阵A。 2. Arnoldi迭代的核心思想 通过Gram-Schmidt正交化过程，将Krylov子空间\( \mathcal{K}_ m \)的一组基（即\( v, Av, \dots, A^{m-1}v \)）转化为标准正交基\( q_ 1, q_ 2, \dots, q_ m \)。 将A投影到\( \mathcal{K} m \)上，得到一个m×m的上Hessenberg矩阵\( H_ m \)（即下三角部分只有一条次对角线非零），满足\( AQ_ m = Q_ m H_ m + h {m+1,m}q_ {m+1}e_ m^T \)，其中\( Q_ m \)是由\( q_ 1, \dots, q_ m \)组成的正交矩阵。 \( H_ m \)的特征值（称为Ritz值）可近似作为A的特征值。 3. 逐步推导Arnoldi迭代 步骤1：初始化 选择任意初始向量v（需非零），归一化得到第一个基向量：\( q_ 1 = v / \|v\|_ 2 \)。 步骤2：迭代构建正交基（对于j=1, 2, ..., m） a. 计算向量\( Aq_ j \) ：将A作用于当前基向量\( q_ j \)。 b. 正交化 ：从\( Aq_ j \)中减去它在之前所有基向量\( q_ 1, \dots, q_ j \)方向上的投影，确保新向量与之前所有基正交： \[ v = Aq_ j - \sum_ {i=1}^j h_ {ij}q_ i, \quad \text{其中 } h_ {ij} = q_ i^T Aq_ j. \] 这里\( h_ {ij} \)是投影系数，存储在上Hessenberg矩阵\( H_ m \)的第j列中。 c. 归一化 ：计算正交化后向量的范数\( h_ {j+1,j} = \|v\| 2 \)。若\( h {j+1,j} = 0 \)，则提前终止（子空间不变）；否则归一化得到新基向量：\( q_ {j+1} = v / h_ {j+1,j} \)。 d. 更新\( H_ m \) ：将\( h_ {1j}, \dots, h_ {jj} \)和\( h_ {j+1,j} \)填入\( H_ m \)的第j列。 步骤3：特征值近似 迭代m步后，得到关系式：\( AQ_ m = Q_ m H_ m + h_ {m+1,m}q_ {m+1}e_ m^T \)。 忽略残差项\( h_ {m+1,m}q_ {m+1}e_ m^T \)，近似有\( AQ_ m \approx Q_ m H_ m \)。 计算小型矩阵\( H_ m \)的特征值（例如通过QR算法），作为A的近似特征值（Ritz值）。 4. 关键点说明 正交化重要性 ：若省略正交化，基向量会快速趋于线性相关，导致数值不稳定。实际中常使用改进的Gram-Schmidt或重新正交化技术。 收敛性 ：通常A的极端特征值（最大或最小模）先收敛，内部特征值需更多迭代。 应用场景 ：适用于求解大型稀疏矩阵的部分特征值，如计算PageRank矩阵的主特征值。 通过以上步骤，Arnoldi迭代将大规模特征值问题转化为小型上Hessenberg矩阵的特征值问题，显著降低计算复杂度。