基于Jacobi旋转的对称矩阵特征值分解算法
字数 3639 2025-12-21 19:49:33

基于Jacobi旋转的对称矩阵特征值分解算法

题目描述

给定一个 \(n \times n\) 的实对称矩阵 \(A\)，我们需要计算它的所有特征值和对应的特征向量。这个问题是线性代数中的核心问题之一，在物理、工程、统计学和机器学习等领域有广泛应用。Jacobi旋转算法是一种经典的迭代方法，它通过一系列正交相似变换（Jacobi旋转）将对称矩阵逐步对角化，从而同时得到特征值和特征向量。本题目要求详细讲解该算法的原理、步骤、收敛性及实现细节。

解题过程

第一步：理解Jacobi方法的核心思想

Jacobi方法的目标是通过一系列正交相似变换（即 \(A \to Q^T A Q\)）将对称矩阵 \(A\) 逐步化为对角矩阵 \(D\)。由于正交相似变换不改变特征值，最终得到的对角矩阵的对角元素就是 \(A\) 的特征值，而所有变换的累积正交矩阵的列就是对应的特征向量。

具体来说，每次迭代选取一个非对角元中绝对值最大的元素 \(a_{pq}\)（\(p < q\)），然后构造一个Jacobi旋转矩阵 \(J(p, q, \theta)\)，使得通过变换 \(A' = J^T A J\) 后，\(a'_{pq} = a'_{qp} = 0\)。如此反复迭代，直到所有非对角元的绝对值都小于某个预设的容差 \(\epsilon\)，此时矩阵近似为对角矩阵。

第二步：构造Jacobi旋转矩阵

Jacobi旋转矩阵 \(J(p, q, \theta)\) 是一个正交矩阵，形式如下：

\[J(p, q, \theta) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \cos\theta & & -\sin\theta & & \\ & & & & 1 & & & \\ & & & \sin\theta & & \cos\theta & & \\ & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & \ddots \\ \end{bmatrix} \]

其中，只有第 \(p\) 行、第 \(p\) 列、第 \(q\) 行、第 \(q\) 列的元素与单位矩阵不同。旋转角度 \(\theta\) 的选择是为了消去 \(A\) 中的元素 \(a_{pq}\) 和 \(a_{qp}\)。

第三步：确定旋转角度 \(\theta\)

设当前矩阵为 \(A^{(k)}\)，选取的非对角元为 \(a_{pq}\)（\(p < q\)）。我们希望找到 \(\theta\) 使得变换后的 \(a'_{pq} = 0\)。

通过计算可得：

\[a'_{pq} = (a_{qq} - a_{pp}) \sin\theta \cos\theta + a_{pq} (\cos^2\theta - \sin^2\theta) \]

令 \(a'_{pq} = 0\)，并记 \(\tau = \frac{a_{qq} - a_{pp}}{2a_{pq}}\)，则：

\[\tan 2\theta = \frac{2a_{pq}}{a_{pp} - a_{qq}} = \frac{1}{\tau} \quad (\text{若 } a_{pp} \neq a_{qq}) \]

实际操作中，为了避免直接计算 \(\theta\)，我们通常计算：

\[t = \tan\theta = \frac{\operatorname{sgn}(\tau)}{|\tau| + \sqrt{1 + \tau^2}} \]

然后：

\[\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \sin\theta = t \cos\theta \]

如果 \(a_{pp} = a_{qq}\)，则取 \(\theta = \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{sgn}(a_{pq})\)。

第四步：更新矩阵 \(A\)

应用旋转 \(A' = J^T A J\) 后，只有第 \(p\) 行、第 \(p\) 列、第 \(q\) 行、第 \(q\) 列的元素发生变化。具体更新公式为：

\[\begin{aligned} a'_{pp} &= a_{pp} - t \cdot a_{pq} \\ a'_{qq} &= a_{qq} + t \cdot a_{pq} \\ a'_{pj} &= a'_{jp} = a_{pj} \cos\theta - a_{qj} \sin\theta, \quad j \neq p, q \\ a'_{qj} &= a'_{jq} = a_{pj} \sin\theta + a_{qj} \cos\theta, \quad j \neq p, q \\ a'_{pq} &= a'_{qp} = 0 \end{aligned} \]

其他元素保持不变。这样，每次旋转只更新两行和两列，计算量为 \(O(n)\)。

第五步：累积特征向量矩阵

设 \(V^{(k)}\) 为累积的正交变换矩阵，初始时 \(V^{(0)} = I\)。每次迭代后更新：

\[V^{(k+1)} = V^{(k)} J \]

同样只需更新两列：

\[\begin{aligned} v'_{ip} &= v_{ip} \cos\theta - v_{iq} \sin\theta \\ v'_{iq} &= v_{ip} \sin\theta + v_{iq} \cos\theta \end{aligned} \]

最终，当 \(A\) 近似对角化时，\(V\) 的列就是 \(A\) 的特征向量。

第六步：算法流程

  1. 初始化：\(A^{(0)} = A\)，\(V = I\)，设置容差 \(\epsilon\)。
  2. 重复直到所有 \(|a_{ij}| < \epsilon\)（\(i \neq j\)）：
    • 找到绝对值最大的非对角元 \(a_{pq}\)。
    • 计算 \(\tau = \frac{a_{qq} - a_{pp}}{2a_{pq}}\)，然后 \(t = \frac{\operatorname{sgn}(\tau)}{|\tau| + \sqrt{1 + \tau^2}}\)。
    • 计算 \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\)，\(\sin\theta = t \cos\theta\)。
    • 更新矩阵 \(A\) 的第 \(p, q\) 行和列。
    • 更新特征向量矩阵 \(V\) 的第 \(p, q\) 列。
  3. 输出：\(D = \text{diag}(A)\)（特征值），\(V\)（特征向量）。

第七步：收敛性与复杂度

  • 收敛性：经典Jacobi方法每次消去最大非对角元，可保证 \(\operatorname{off}(A) = \sum_{i \neq j} a_{ij}^2\) 单调递减，且最终收敛到对角矩阵。一般需要 \(O(n^2)\) 次旋转达到机器精度。
  • 复杂度：每次旋转更新需 \(O(n)\) 操作，总复杂度为 \(O(n^3)\)，与QR算法相当。虽然比现代分治或MRRR算法慢，但Jacobi方法具有数值稳定性高、易于并行、可同时计算特征向量的优点。

第八步：数值稳定性与变体

  • 由于只使用正交变换，Jacobi方法在数值上非常稳定，不会像非正交变换那样放大误差。
  • 变体包括循环Jacobi（按固定顺序遍历所有非对角元）和阈值Jacobi（只消去大于阈值的非对角元），可减少寻找最大元的时间。

总结

Jacobi旋转算法通过对对称矩阵进行一系列简单的正交旋转，逐步将其对角化。它直观、稳定，且能同时得到特征值和特征向量，是理解对称特征值问题几何本质的经典方法。尽管对于大规模矩阵，现代算法在速度上更有优势，但Jacobi方法在需要高精度和稳定性的场合仍有其价值。

基于Jacobi旋转的对称矩阵特征值分解算法 题目描述 给定一个 \( n \times n \) 的 实对称矩阵 \( A \)，我们需要计算它的所有特征值和对应的特征向量。这个问题是线性代数中的核心问题之一，在物理、工程、统计学和机器学习等领域有广泛应用。Jacobi旋转算法是一种经典的迭代方法，它通过一系列正交相似变换（Jacobi旋转）将对称矩阵逐步对角化，从而同时得到特征值和特征向量。本题目要求详细讲解该算法的原理、步骤、收敛性及实现细节。 解题过程 第一步：理解Jacobi方法的核心思想 Jacobi方法的目标是通过一系列 正交相似变换 （即 \( A \to Q^T A Q \)）将对称矩阵 \( A \) 逐步化为对角矩阵 \( D \)。由于正交相似变换不改变特征值，最终得到的对角矩阵的对角元素就是 \( A \) 的特征值，而所有变换的累积正交矩阵的列就是对应的特征向量。 具体来说，每次迭代选取一个 非对角元中绝对值最大的元素 \( a_ {pq} \)（\( p < q \)），然后构造一个 Jacobi旋转矩阵 \( J(p, q, \theta) \)，使得通过变换 \( A' = J^T A J \) 后，\( a' {pq} = a' {qp} = 0 \)。如此反复迭代，直到所有非对角元的绝对值都小于某个预设的容差 \( \epsilon \)，此时矩阵近似为对角矩阵。 第二步：构造Jacobi旋转矩阵 Jacobi旋转矩阵 \( J(p, q, \theta) \) 是一个正交矩阵，形式如下： \[ J(p, q, \theta) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \cos\theta & & -\sin\theta & & \\ & & & & 1 & & & \\ & & & \sin\theta & & \cos\theta & & \\ & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & \ddots \\ \end{bmatrix} \] 其中，只有第 \( p \) 行、第 \( p \) 列、第 \( q \) 行、第 \( q \) 列的元素与单位矩阵不同。旋转角度 \( \theta \) 的选择是为了消去 \( A \) 中的元素 \( a_ {pq} \) 和 \( a_ {qp} \)。 第三步：确定旋转角度 \( \theta \) 设当前矩阵为 \( A^{(k)} \)，选取的非对角元为 \( a_ {pq} \)（\( p < q \)）。我们希望找到 \( \theta \) 使得变换后的 \( a'_ {pq} = 0 \)。 通过计算可得： \[ a' {pq} = (a {qq} - a_ {pp}) \sin\theta \cos\theta + a_ {pq} (\cos^2\theta - \sin^2\theta) \] 令 \( a' {pq} = 0 \)，并记 \( \tau = \frac{a {qq} - a_ {pp}}{2a_ {pq}} \)，则： \[ \tan 2\theta = \frac{2a_ {pq}}{a_ {pp} - a_ {qq}} = \frac{1}{\tau} \quad (\text{若 } a_ {pp} \neq a_ {qq}) \] 实际操作中，为了避免直接计算 \( \theta \)，我们通常计算： \[ t = \tan\theta = \frac{\operatorname{sgn}(\tau)}{|\tau| + \sqrt{1 + \tau^2}} \] 然后： \[ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \sin\theta = t \cos\theta \] 如果 \( a_ {pp} = a_ {qq} \)，则取 \( \theta = \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{sgn}(a_ {pq}) \)。 第四步：更新矩阵 \( A \) 应用旋转 \( A' = J^T A J \) 后，只有第 \( p \) 行、第 \( p \) 列、第 \( q \) 行、第 \( q \) 列的元素发生变化。具体更新公式为： \[ \begin{aligned} a' {pp} &= a {pp} - t \cdot a_ {pq} \\ a' {qq} &= a {qq} + t \cdot a_ {pq} \\ a' {pj} &= a' {jp} = a_ {pj} \cos\theta - a_ {qj} \sin\theta, \quad j \neq p, q \\ a' {qj} &= a' {jq} = a_ {pj} \sin\theta + a_ {qj} \cos\theta, \quad j \neq p, q \\ a' {pq} &= a' {qp} = 0 \end{aligned} \] 其他元素保持不变。这样，每次旋转只更新两行和两列，计算量为 \( O(n) \)。 第五步：累积特征向量矩阵 设 \( V^{(k)} \) 为累积的正交变换矩阵，初始时 \( V^{(0)} = I \)。每次迭代后更新： \[ V^{(k+1)} = V^{(k)} J \] 同样只需更新两列： \[ \begin{aligned} v' {ip} &= v {ip} \cos\theta - v_ {iq} \sin\theta \\ v' {iq} &= v {ip} \sin\theta + v_ {iq} \cos\theta \end{aligned} \] 最终，当 \( A \) 近似对角化时，\( V \) 的列就是 \( A \) 的特征向量。 第六步：算法流程 初始化：\( A^{(0)} = A \)，\( V = I \)，设置容差 \( \epsilon \)。 重复直到所有 \( |a_ {ij}| < \epsilon \)（\( i \neq j \)）： 找到绝对值最大的非对角元 \( a_ {pq} \)。 计算 \( \tau = \frac{a_ {qq} - a_ {pp}}{2a_ {pq}} \)，然后 \( t = \frac{\operatorname{sgn}(\tau)}{|\tau| + \sqrt{1 + \tau^2}} \)。 计算 \( \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \)，\( \sin\theta = t \cos\theta \)。 更新矩阵 \( A \) 的第 \( p, q \) 行和列。 更新特征向量矩阵 \( V \) 的第 \( p, q \) 列。 输出：\( D = \text{diag}(A) \)（特征值），\( V \)（特征向量）。 第七步：收敛性与复杂度 收敛性 ：经典Jacobi方法每次消去最大非对角元，可保证 \( \operatorname{off}(A) = \sum_ {i \neq j} a_ {ij}^2 \) 单调递减，且最终收敛到对角矩阵。一般需要 \( O(n^2) \) 次旋转达到机器精度。 复杂度 ：每次旋转更新需 \( O(n) \) 操作，总复杂度为 \( O(n^3) \)，与QR算法相当。虽然比现代分治或MRRR算法慢，但Jacobi方法具有 数值稳定性高 、 易于并行 、 可同时计算特征向量 的优点。 第八步：数值稳定性与变体 由于只使用正交变换，Jacobi方法在数值上非常稳定，不会像非正交变换那样放大误差。 变体包括 循环Jacobi （按固定顺序遍历所有非对角元）和 阈值Jacobi （只消去大于阈值的非对角元），可减少寻找最大元的时间。 总结 Jacobi旋转算法通过对对称矩阵进行一系列简单的正交旋转，逐步将其对角化。它直观、稳定，且能同时得到特征值和特征向量，是理解对称特征值问题几何本质的经典方法。尽管对于大规模矩阵，现代算法在速度上更有优势，但Jacobi方法在需要高精度和稳定性的场合仍有其价值。