最小费用最大流问题（Network Simplex Algorithm）
字数 1951 2025-12-21 19:00:01

最小费用最大流问题（Network Simplex Algorithm）

题目描述：
在一个有向图中，每条边有容量限制和单位流量费用。给定一个源点（供应点）和一个汇点（需求点），我们需要找到从源点到汇点的最大流，并且使得总费用最小。这就是最小费用最大流（Minimum-Cost Maximum-Flow, MCMF）问题。网络单纯形算法是解决此问题的一种高效算法，它源于线性规划中的单纯形法，专门针对网络流问题的特殊结构进行了优化，通常比一般的单纯形法快得多。

解题过程：

  1. 问题建模

    • 输入：有向图 G=(V, E)，源点 s，汇点 t。每条边 e ∈ E 有三个属性：容量 c(e)≥0，流量 f(e)（变量），单位费用 w(e)（可为负）。
    • 目标：在满足容量限制和流量守恒的前提下，最大化从 s 到 t 的总流量，并最小化总费用 Σ_{e∈E} w(e) * f(e)。通常我们分两步：先求最大流，再在最大流中找最小费用；网络单纯形法可同时实现。

  2. 网络单纯形法核心思想

    • 将问题转化为最小费用循环流问题：添加一条从 t 到 s 的边，容量为无穷大，费用为 -∞（实际用很大的负数），这样原问题等价于在图中寻找一个最小费用的循环流（即每个节点入流=出流）。
    • 算法维护一个 生成树基解：在网络流问题中，基本可行解对应一棵生成树（忽略边方向），树边流量在可行域内（非边界即非零），非树边流量为0（下界）或等于容量（上界）。
    • 通过 枢轴操作（pivot） 不断改进解：交换一条树边和非树边，更新生成树和流量，使总费用下降，直到达到最优。

  3. 详细步骤
    步骤1：初始化

    • 构造一个初始可行树解。常用方法：添加人工边（大费用）构成一棵以虚根节点连接的生成树，通过两阶段法或大M法消除人工边。
    • 简化：若图中有负费用圈，可先用 Bellman-Ford 找到初始可行流（如最小费用流初始化为零流，但需处理负圈）。
    • 实际中，网络单纯形法常从对偶角度入手，维护节点势（potential）以快速计算边的相对费用。

    步骤2：计算节点势和相对费用

    • 对当前生成树，为每个节点 i 分配一个势 π(i)，使得对于每条树边 (i,j)，有 π(j) - π(i) = w(i,j)（若边方向与树中从根到叶的方向一致，否则取负）。
    • 势的计算：从根（通常取 s 或虚根）开始 DFS/BFS，利用树边费用递推。
    • 对于非树边 e=(u,v)，定义其 相对费用（reduced cost） 为：c'(e) = w(e) + π(u) - π(v)。
    • 最优性条件：若所有非树边满足：
      • 若流量为 0（下界），则 c'(e) ≥ 0；
      • 若流量为容量（上界），则 c'(e) ≤ 0。
        则当前解为最小费用。否则存在可改进的非树边。

    步骤3：选择入基边

    • 找到一条违反最优性条件的非树边 e：
      • 若流量为 0 且 c'(e) < 0，则增加其流量可减少总费用；
      • 若流量为容量且 c'(e) > 0，则减少其流量可减少总费用。
    • 通常选择相对费用绝对值最大的边，或首次发现的边。

    步骤4：确定出基边与流量调整量

    • 将入基边 e=(u,v) 加入当前生成树，会形成一个圈（包括树路径 u→v 和边 e）。
    • 根据 e 的类型决定沿圈增加还是减少流量：
      • 若 e 当前流量为 0，则沿圈增加流量（方向与 e 一致）；
      • 若 e 当前流量为容量，则沿圈减少流量（方向与 e 相反）。
    • 调整量 δ 由圈的容量限制决定：沿调整方向，每条边的剩余容量（正向增加时为 c-f，反向减少时为 f）的最小值。
    • 调整后，圈上第一条达到容量限制的边变为非树边（出基边）。

    步骤5：更新生成树与势

    • 从树中移除出基边，加入入基边，得到新生成树。
    • 更新节点势：由于树结构改变，重新计算 π 使树边满足势差条件。高效做法：以出基边端点为根调整子树势。

    步骤6：循环与终止

    • 重复步骤2~5，直到满足最优性条件（所有非树边相对费用符合规则）。
    • 此时得到最小费用循环流。移除添加的 t→s 边，即得原图的最小费用最大流。

  4. 复杂度与特点

    • 理论复杂度：是指数级的，但在实践中非常快，通常比基于最短路径增广的 Successive Shortest Path 算法更快，尤其适用于大规模问题。
    • 优势：避免了每次增广都要找最短路径，通过维护树结构快速迭代。
    • 关键优化：使用动态树数据结构（如 Link-Cut Tree）可加速找圈和更新势，将每次枢轴降为 O(log n)。

总结：网络单纯形法通过维护一个生成树基解，利用相对费用检验最优性，并通过枢轴操作交换树边与非树边逐步优化，最终得到最小费用最大流。虽然理论最坏情况复杂，但实际效率很高，是许多专业网络流求解器的核心算法。

最小费用最大流问题（Network Simplex Algorithm） 题目描述： 在一个有向图中，每条边有容量限制和单位流量费用。给定一个源点（供应点）和一个汇点（需求点），我们需要找到从源点到汇点的最大流，并且使得总费用最小。这就是最小费用最大流（Minimum-Cost Maximum-Flow, MCMF）问题。网络单纯形算法是解决此问题的一种高效算法，它源于线性规划中的单纯形法，专门针对网络流问题的特殊结构进行了优化，通常比一般的单纯形法快得多。 解题过程： 问题建模 输入：有向图 G=(V, E)，源点 s，汇点 t。每条边 e ∈ E 有三个属性：容量 c(e)≥0，流量 f(e)（变量），单位费用 w(e)（可为负）。 目标：在满足容量限制和流量守恒的前提下，最大化从 s 到 t 的总流量，并最小化总费用 Σ_ {e∈E} w(e) * f(e)。通常我们分两步：先求最大流，再在最大流中找最小费用；网络单纯形法可同时实现。 网络单纯形法核心思想 将问题转化为最小费用循环流问题：添加一条从 t 到 s 的边，容量为无穷大，费用为 -∞（实际用很大的负数），这样原问题等价于在图中寻找一个最小费用的循环流（即每个节点入流=出流）。 算法维护一个 生成树基解 ：在网络流问题中，基本可行解对应一棵生成树（忽略边方向），树边流量在可行域内（非边界即非零），非树边流量为0（下界）或等于容量（上界）。 通过 枢轴操作（pivot） 不断改进解：交换一条树边和非树边，更新生成树和流量，使总费用下降，直到达到最优。 详细步骤 步骤1：初始化 构造一个初始可行树解。常用方法：添加人工边（大费用）构成一棵以虚根节点连接的生成树，通过两阶段法或大M法消除人工边。 简化：若图中有负费用圈，可先用 Bellman-Ford 找到初始可行流（如最小费用流初始化为零流，但需处理负圈）。 实际中，网络单纯形法常从对偶角度入手，维护节点势（potential）以快速计算边的相对费用。 步骤2：计算节点势和相对费用 对当前生成树，为每个节点 i 分配一个势 π(i)，使得对于每条树边 (i,j)，有 π(j) - π(i) = w(i,j) （若边方向与树中从根到叶的方向一致，否则取负）。 势的计算：从根（通常取 s 或虚根）开始 DFS/BFS，利用树边费用递推。 对于非树边 e=(u,v)，定义其 相对费用（reduced cost） 为： c'(e) = w(e) + π(u) - π(v) 。 最优性条件 ：若所有非树边满足： 若流量为 0（下界），则 c'(e) ≥ 0； 若流量为容量（上界），则 c'(e) ≤ 0。 则当前解为最小费用。否则存在可改进的非树边。 步骤3：选择入基边 找到一条违反最优性条件的非树边 e： 若流量为 0 且 c'(e) < 0，则增加其流量可减少总费用； 若流量为容量且 c'(e) > 0，则减少其流量可减少总费用。 通常选择相对费用绝对值最大的边，或首次发现的边。 步骤4：确定出基边与流量调整量 将入基边 e=(u,v) 加入当前生成树，会形成一个圈（包括树路径 u→v 和边 e）。 根据 e 的类型决定沿圈增加还是减少流量： 若 e 当前流量为 0，则沿圈增加流量（方向与 e 一致）； 若 e 当前流量为容量，则沿圈减少流量（方向与 e 相反）。 调整量 δ 由圈的容量限制决定：沿调整方向，每条边的剩余容量（正向增加时为 c-f，反向减少时为 f）的最小值。 调整后，圈上第一条达到容量限制的边变为非树边（出基边）。 步骤5：更新生成树与势 从树中移除出基边，加入入基边，得到新生成树。 更新节点势：由于树结构改变，重新计算 π 使树边满足势差条件。高效做法：以出基边端点为根调整子树势。 步骤6：循环与终止 重复步骤2~5，直到满足最优性条件（所有非树边相对费用符合规则）。 此时得到最小费用循环流。移除添加的 t→s 边，即得原图的最小费用最大流。 复杂度与特点 理论复杂度：是指数级的，但在实践中非常快，通常比基于最短路径增广的 Successive Shortest Path 算法更快，尤其适用于大规模问题。 优势：避免了每次增广都要找最短路径，通过维护树结构快速迭代。 关键优化：使用动态树数据结构（如 Link-Cut Tree）可加速找圈和更新势，将每次枢轴降为 O(log n)。 总结 ：网络单纯形法通过维护一个生成树基解，利用相对费用检验最优性，并通过枢轴操作交换树边与非树边逐步优化，最终得到最小费用最大流。虽然理论最坏情况复杂，但实际效率很高，是许多专业网络流求解器的核心算法。