非线性规划中的信赖域反射-序列凸近似-自适应屏障混合算法基础题
题目描述
考虑一个带约束的非线性规划问题：
\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]
\[ \text{s.t.} \quad g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \]
\[ h_j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, p \]
其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 为非凸且可能非光滑，约束函数 \(g_i, h_j\) 也为非凸。该问题可能具有高维、非凸可行域，且约束可能包含复杂的非线性等式与不等式。传统方法（如SQP、内点法）在非凸、非光滑情形下可能失效或收敛缓慢。本题目要求结合信赖域反射（Trust Region Reflective, TRR）、序列凸近似（Sequential Convex Approximation, SCA）与自适应屏障（Adaptive Barrier）三种技术，设计一个混合算法框架，在保持可行性的同时提高收敛效率。
具体算例（用于算法测试）：
\[\min_{x_1, x_2} \; (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2)^2 + \sin(x_1 x_2) \]
\[ \text{s.t.} \quad x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0 \]
\[ x_1 - x_2^2 + 1 = 0 \]
\[ -2 \leq x_1, x_2 \leq 3 \]
该问题目标非凸（由于 \(\sin\) 项），约束非凸（第二个等式约束），且存在边界约束。
解题步骤详解
第一步：理解混合算法的基本思想
- 序列凸近似（SCA）：在每次迭代中，将非凸目标 \(f(x)\) 和非凸约束 \(g_i(x), h_j(x)\) 在当前点 \(x_k\) 附近用凸近似模型替代，从而将原问题转化为一系列凸子问题。
- 信赖域反射（TRR）：对每个凸子问题，采用信赖域法控制迭代步长，确保子问题求解的稳定性，并结合反射技术处理边界约束，避免越界。
- 自适应屏障（Adaptive Barrier）：在约束处理中引入自适应屏障函数，将不等式约束转化为目标函数中的惩罚项，屏障参数随迭代自适应调整，平衡可行性与最优性。
混合框架的优势：SCA处理非凸性，TRR保证数值稳定性，自适应屏障处理约束可行性，三者结合可提高算法在非光滑、非凸问题中的鲁棒性。
第二步：构建序列凸近似模型
- 给定当前迭代点 \(x_k\)，对目标函数 \(f(x)\) 做一阶凸近似（例如，对光滑部分采用一阶泰勒展开，对非光滑部分采用凸上界近似）：
\[ \tilde{f}(x; x_k) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T (x - x_k) + \frac{1}{2} (x - x_k)^T B_k (x - x_k) \]
其中 \(B_k\) 是正定矩阵（如BFGS近似Hessian），保证 \(\tilde{f}\) 是凸的。
- 对非凸不等式约束 \(g_i(x) \leq 0\)，同样做凸近似（如线性化）：
\[ \tilde{g}_i(x; x_k) = g_i(x_k) + \nabla g_i(x_k)^T (x - x_k) \leq 0 \]
- 对等式约束 \(h_j(x) = 0\)，可线性化：
\[ \tilde{h}_j(x; x_k) = h_j(x_k) + \nabla h_j(x_k)^T (x - x_k) = 0 \]
- 添加信赖域约束 \(\|x - x_k\| \leq \Delta_k\)，其中 \(\Delta_k > 0\) 是信赖域半径。
子问题形式：
\[\min_{x} \; \tilde{f}(x; x_k) \]
\[ \text{s.t.} \; \tilde{g}_i(x; x_k) \leq 0, \; i=1,\dots,m \]
\[ \tilde{h}_j(x; x_k) = 0, \; j=1,\dots,p \]
\[ \|x - x_k\| \leq \Delta_k, \quad x \in [l, u] \quad (\text{边界约束}) \]
第三步：引入自适应屏障函数处理不等式约束
- 将不等式约束 \(\tilde{g}_i(x; x_k) \leq 0\) 转化为屏障惩罚项加到目标中：
\[ \Phi(x; x_k, \mu_k) = \tilde{f}(x; x_k) - \mu_k \sum_{i=1}^m \log(-\tilde{g}_i(x; x_k)) \]
其中 \(\mu_k > 0\) 是屏障参数。注意：这里要求 \(\tilde{g}_i(x; x_k) < 0\)（严格可行），因此子问题需保持内点性质。
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自适应调整：初始 \(\mu_0\) 较大，强调可行性；随着迭代，按 \(\mu_{k+1} = \gamma \mu_k\)（\(\gamma \in (0,1)\)）减小，逐渐逼近原始问题的最优解。若约束违反度增大，可临时增大 \(\mu_k\) 以恢复可行性。
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对等式约束，仍保留为线性等式约束（或转化为两个不等式，但会增加问题规模）。
屏障子问题：
\[\min_{x} \; \Phi(x; x_k, \mu_k) \]
\[ \text{s.t.} \; \tilde{h}_j(x; x_k) = 0, \; j=1,\dots,p \]
\[ \|x - x_k\| \leq \Delta_k, \quad x \in [l, u] \]
第四步：信赖域反射（TRR）求解屏障子问题
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信赖域框架：求解屏障子问题时，在信赖域 \(\|x - x_k\| \leq \Delta_k\) 内搜索。由于子问题是凸的，可采用内点法或投影梯度法求解。
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反射技术：当迭代点靠近边界约束 \([l, u]\) 时，采用反射技巧将越界点映射回可行域。例如，若某分量 \(x^{(i)} < l_i\)，则反射为 \(x^{(i)} = 2l_i - x^{(i)}\)，并继续迭代。这能有效处理边界约束，避免投影带来的额外计算。
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信赖域半径更新：比较实际下降量 \(Ared_k = \Phi(x_k; x_k, \mu_k) - \Phi(x_{k+1}; x_k, \mu_k)\) 与预测下降量 \(Pred_k\)（基于模型）。若 \(Ared_k / Pred_k\) 较大（接近1），接受步长并增大 \(\Delta_k\)；否则减小 \(\Delta_k\)。
第五步：整体混合算法流程
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初始化：给定初始点 \(x_0\)（需满足严格不等式可行），初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，初始屏障参数 \(\mu_0 > 0\)，衰减因子 \(\gamma \in (0,1)\)，容许误差 \(\epsilon > 0\)。令 \(k=0\)。
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循环直到收敛（\(\|\nabla L(x_k, \lambda_k, \nu_k)\| < \epsilon\) 且约束违反度足够小）：
a. 构建凸近似：在 \(x_k\) 处线性化目标与约束，得到子问题模型。
b. 形成屏障子问题：加入自适应屏障项，控制不等式约束。
c. TRR求解：在信赖域内求解屏障子问题，得到试探点 \(x_{trial}\)。
d. 接受性检验：计算实际下降与预测下降的比率 \(\rho_k = Ared_k / Pred_k\)。若 \(\rho_k > \eta_1\)（如 \(\eta_1=0.01\)），接受 \(x_{k+1} = x_{trial}\)；否则 \(x_{k+1} = x_k\)。
e. 更新参数：更新信赖域半径 \(\Delta_k\)（基于 \(\rho_k\)），更新屏障参数 \(\mu_{k+1} = \gamma \mu_k\)（若约束违反度增大，可适当增加 \(\mu\)）。
f. \(k = k+1\)。 -
输出：近似最优解 \(x_k\)。
第六步：应用于具体算例
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初始化：取 \(x_0 = (0, 0)\)，该点满足 \(x_1^2 + x_2^2 - 4 = 0 \leq 0\) 和 \(x_1 - x_2^2 + 1 = 1 \neq 0\)，不严格可行。可先通过简单投影或罚函数找到初始可行点，例如用最小二乘法近似满足等式约束。
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第一次迭代：
- 在 \(x_0\) 处，计算梯度：
\[ \nabla f = [2(x_1-1) + x_2 \cos(x_1 x_2), \; 2(x_2-2) + x_1 \cos(x_1 x_2)]^T \]
线性化约束：$g(x) = x_1^2 + x_2^2 - 4$ 的梯度为 $[2x_1, 2x_2]^T$，$h(x)=x_1 - x_2^2 + 1$ 的梯度为 $[1, -2x_2]^T$。
- 构建凸近似子问题，加入屏障项（例如 \(\mu_0=1\)）。
- 在信赖域内求解（例如用内点法），得到新点 \(x_1\)。
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后续迭代：重复上述步骤，逐渐减小 \(\mu_k\)，直至满足收敛条件。
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最终解：该问题有局部最优解在 \(x^* \approx (0.8, 1.2)\) 附近，目标值约 \(1.5\)。混合算法应能稳定收敛到该点。
算法特点与注意事项
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优点：
- 序列凸近似将非凸问题转化为凸子问题，保证子问题可高效求解。
- 信赖域反射控制步长，增强数值稳定性，尤其适合非光滑情形。
- 自适应屏障处理不等式约束，避免可行性丢失，且参数自适应调整提高收敛速度。
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注意事项：
- 初始点需满足严格不等式可行，否则屏障函数无定义。可先用外点罚函数或松弛法找初始可行点。
- 线性化可能导致可行域过小，可添加松弛变量或适当放大信赖域半径以恢复可行性。
- 屏障参数 \(\mu_k\) 衰减不宜过快，否则可能导致数值病态。
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扩展：可结合代理模型（如二次模型）提高近似精度，或嵌入全局搜索策略（如多起点）避免局部极小。
该混合算法适用于非凸、非光滑、带非线性约束的优化问题，是工程优化中一种鲁棒性较强的框架。