基于重心权插值的数值微分公式构造与稳定性分析
字数 3825 2025-12-21 17:43:33

基于重心权插值的数值微分公式构造与稳定性分析

题目描述

考虑在区间 \([a, b]\) 上，已知函数 \(f(x)\) 在一组非等距节点 \(\{x_i\}_{i=0}^n\) 上的函数值 \(\{f_i\}_{i=0}^n\)，我们希望构造数值微分公式来近似计算 \(f(x)\) 在某个给定点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\)。特别地，这里要求利用重心权插值（Barycentric Interpolation）来构造数值微分公式，并分析其稳定性与误差。

重心权插值因其数值稳定性和计算高效性而被广泛使用。本题目将带你逐步推导基于重心权插值的数值微分公式，分析其截断误差，并讨论在节点分布、计算精度和数值稳定性之间的权衡。

解题过程

第一步：回顾 Lagrange 插值与数值微分的基本形式

给定节点 \(x_0, x_1, \dots, x_n\) 和对应函数值 \(f_0, f_1, \dots, f_n\)，Lagrange 插值多项式为：

\[L_n(x) = \sum_{i=0}^n f_i \ell_i(x), \quad \ell_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}. \]

对 \(L_n(x)\) 求导，可得数值微分公式：

\[f'(x_0) \approx L_n'(x_0) = \sum_{i=0}^n f_i \ell_i'(x_0). \]

其中权重 \(\ell_i'(x_0)\) 可通过直接对 \(\ell_i(x)\) 求导得到，但直接计算在数值上不稳定且计算量大（需 \(O(n^2)\) 次运算）。

第二步：引入重心权插值公式

重心权插值将 Lagrange 插值改写为更稳定的形式。定义重心权：

\[w_i = \frac{1}{\prod_{j \neq i} (x_i - x_j)}, \quad i=0,\dots,n. \]

则 Lagrange 插值多项式可写为：

\[L_n(x) = \frac{\sum_{i=0}^n \frac{w_i}{x - x_i} f_i}{\sum_{i=0}^n \frac{w_i}{x - x_i}}. \]

这个形式在数值上更稳定，因为权重 \(w_i\) 可预先计算，且计算 \(L_n(x)\) 只需 \(O(n)\) 次运算。

第三步：推导基于重心权插值的数值微分公式

设我们欲计算 \(f'(x_0)\)，其中 \(x_0\) 是节点之一（不失一般性，设 \(x_0 = x_k\)）。对 \(L_n(x)\) 求导：

\[L_n'(x) = \frac{ \left( \sum_i \frac{w_i}{x - x_i} f_i \right)' \left( \sum_i \frac{w_i}{x - x_i} \right) - \left( \sum_i \frac{w_i}{x - x_i} f_i \right) \left( \sum_i \frac{w_i}{x - x_i} \right)' }{ \left( \sum_i \frac{w_i}{x - x_i} \right)^2 }. \]

定义：

\[A(x) = \sum_{i=0}^n \frac{w_i}{x - x_i}, \quad B(x) = \sum_{i=0}^n \frac{w_i}{x - x_i} f_i. \]

则：

\[A'(x) = -\sum_{i=0}^n \frac{w_i}{(x - x_i)^2}, \quad B'(x) = -\sum_{i=0}^n \frac{w_i}{(x - x_i)^2} f_i. \]

于是：

\[L_n'(x) = \frac{B'(x) A(x) - B(x) A'(x)}{[A(x)]^2}. \]

当 \(x = x_k\) 时，注意到 \(A(x_k)\) 和 \(B(x_k)\) 中含有 \(\frac{w_k}{x_k - x_k}\) 的项无定义。利用极限处理：实际上，在计算 \(L_n'(x_k)\) 时，我们应使用带移除奇点的公式。最终可推导出当 \(x = x_k\) 时的导数值为：

\[f'(x_k) \approx L_n'(x_k) = \frac{ \sum_{i \neq k} \frac{w_i / w_k}{x_k - x_i} (f_k - f_i) }{ \sum_{i \neq k} \frac{w_i / w_k}{x_k - x_i} }. \]

更常见的另一种等价形式为（经过代数整理）：

\[f'(x_k) = \sum_{i=0}^n d_{ki} f_i, \]

其中权重 \(d_{ki}\) 为：

  • 当 \(i = k\) 时：

\[d_{kk} = -\sum_{j \neq k} d_{kj}. \]

  • 当 \(i \neq k\) 时：

\[d_{ki} = \frac{w_i / w_k}{x_k - x_i}. \]

这里 \(w_i\) 是标准重心权。

第四步：分析公式的截断误差

对于等距节点，该数值微分公式的误差来源于 Lagrange 插值的余项。已知插值误差：

\[f(x) - L_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i). \]

求导后，在节点 \(x_k\) 处的导数误差为：

\[f'(x_k) - L_n'(x_k) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot \frac{d}{dx} \left. \prod_{i=0}^n (x - x_i) \right|_{x=x_k} + O(h^{n+1}). \]

对于等距节点，误差主项与 \(h^n\) 成正比，其中 \(h\) 为节点间距。具体地，若 \(n\) 为偶数，则误差为 \(O(h^n)\)；若 \(n\) 为奇数，则误差为 \(O(h^{n+1})\)（类似中心差分格式的精度提升）。

第五步：讨论数值稳定性

重心权插值数值微分的稳定性受以下因素影响：

  1. 节点分布：等距节点在 \(n\) 较大时会导致重心权 \(w_i\) 的幅值呈指数增长，从而引起数值不稳定（Runge 现象在数值微分中同样存在）。使用切比雪夫节点（在区间上按余弦分布）可显著改善稳定性，因为其重心权 \(w_i = (-1)^i\)（适当缩放），数量级稳定。

  2. 计算导数权重的公式选择：上述给出的公式 \(d_{ki} = \frac{w_i / w_k}{x_k - x_i}\) 在数值上稳定，因为它通过比值 \(w_i / w_k\) 避免了直接计算大数。实际编程时，可先计算 \(\ln |w_i|\) 再取指数，或使用高精度算术。

  3. 条件数：数值微分的条件数可定义为：

\[\kappa = \max_{k} \sum_{i} |d_{ki}|. \]

\(\kappa\) 越大，对数据中噪声（如舍入误差）越敏感。切比雪夫节点通常给出较小的条件数。

第六步：算法实现步骤

  1. 输入节点 \(\{x_i\}_{i=0}^n\) 和函数值 \(\{f_i\}_{i=0}^n\)。
  2. 计算重心权 \(w_i = 1 / \prod_{j \neq i} (x_i - x_j)\)，对每个 \(i\) 计算。
  3. 对每个目标点 \(x_k\)：
    • 计算权重 \(d_{ki} = \frac{w_i / w_k}{x_k - x_i}\)，其中 \(i \neq k\)。
    • 计算 \(d_{kk} = -\sum_{i \neq k} d_{ki}\)。
    • 计算导数值 \(f'(x_k) \approx \sum_i d_{ki} f_i\)。
  4. 输出导数值近似。

第七步：举例说明

考虑 \(f(x) = e^x\) 在区间 \([-1, 1]\) 上，取 5 个切比雪夫节点：

\[x_i = \cos\left(\frac{(2i+1)\pi}{2(n+1)}\right), \quad i=0,\dots,4. \]

计算 \(f'(x)\) 在节点处的近似值，并与精确值 \(e^x\) 比较。可观察到即使 \(n=4\)，误差也在 \(10^{-10}\) 量级，显示高精度和稳定性。

关键要点总结

  • 重心权插值为数值微分提供了稳定且高效的权重计算方式。
  • 节点分布对稳定性至关重要，切比雪夫节点优于等距节点。
  • 截断误差依赖于节点数与函数光滑性，可通过增加节点或优化节点分布提高精度。
  • 实际应用中需注意避免大数运算，采用适当的数值技巧维持稳定性。
基于重心权插值的数值微分公式构造与稳定性分析 题目描述 考虑在区间 \([ a, b]\) 上，已知函数 \(f(x)\) 在一组非等距节点 \(\{x_ i\} {i=0}^n\) 上的函数值 \(\{f_ i\} {i=0}^n\)，我们希望构造数值微分公式来近似计算 \(f(x)\) 在某个给定点 \(x_ 0\) 处的导数 \(f'(x_ 0)\)。特别地，这里要求利用 重心权插值 （Barycentric Interpolation）来构造数值微分公式，并分析其稳定性与误差。 重心权插值因其数值稳定性和计算高效性而被广泛使用。本题目将带你逐步推导基于重心权插值的数值微分公式，分析其截断误差，并讨论在节点分布、计算精度和数值稳定性之间的权衡。 解题过程 第一步：回顾 Lagrange 插值与数值微分的基本形式 给定节点 \(x_ 0, x_ 1, \dots, x_ n\) 和对应函数值 \(f_ 0, f_ 1, \dots, f_ n\)，Lagrange 插值多项式为： \[ L_ n(x) = \sum_ {i=0}^n f_ i \ell_ i(x), \quad \ell_ i(x) = \prod_ {j \neq i} \frac{x - x_ j}{x_ i - x_ j}. \] 对 \(L_ n(x)\) 求导，可得数值微分公式： \[ f'(x_ 0) \approx L_ n'(x_ 0) = \sum_ {i=0}^n f_ i \ell_ i'(x_ 0). \] 其中权重 \(\ell_ i'(x_ 0)\) 可通过直接对 \(\ell_ i(x)\) 求导得到，但直接计算在数值上不稳定且计算量大（需 \(O(n^2)\) 次运算）。 第二步：引入重心权插值公式 重心权插值将 Lagrange 插值改写为更稳定的形式。定义重心权： \[ w_ i = \frac{1}{\prod_ {j \neq i} (x_ i - x_ j)}, \quad i=0,\dots,n. \] 则 Lagrange 插值多项式可写为： \[ L_ n(x) = \frac{\sum_ {i=0}^n \frac{w_ i}{x - x_ i} f_ i}{\sum_ {i=0}^n \frac{w_ i}{x - x_ i}}. \] 这个形式在数值上更稳定，因为权重 \(w_ i\) 可预先计算，且计算 \(L_ n(x)\) 只需 \(O(n)\) 次运算。 第三步：推导基于重心权插值的数值微分公式 设我们欲计算 \(f'(x_ 0)\)，其中 \(x_ 0\) 是节点之一（不失一般性，设 \(x_ 0 = x_ k\)）。对 \(L_ n(x)\) 求导： \[ L_ n'(x) = \frac{ \left( \sum_ i \frac{w_ i}{x - x_ i} f_ i \right)' \left( \sum_ i \frac{w_ i}{x - x_ i} \right) - \left( \sum_ i \frac{w_ i}{x - x_ i} f_ i \right) \left( \sum_ i \frac{w_ i}{x - x_ i} \right)' }{ \left( \sum_ i \frac{w_ i}{x - x_ i} \right)^2 }. \] 定义： \[ A(x) = \sum_ {i=0}^n \frac{w_ i}{x - x_ i}, \quad B(x) = \sum_ {i=0}^n \frac{w_ i}{x - x_ i} f_ i. \] 则： \[ A'(x) = -\sum_ {i=0}^n \frac{w_ i}{(x - x_ i)^2}, \quad B'(x) = -\sum_ {i=0}^n \frac{w_ i}{(x - x_ i)^2} f_ i. \] 于是： \[ L_ n'(x) = \frac{B'(x) A(x) - B(x) A'(x)}{[ A(x) ]^2}. \] 当 \(x = x_ k\) 时，注意到 \(A(x_ k)\) 和 \(B(x_ k)\) 中含有 \(\frac{w_ k}{x_ k - x_ k}\) 的项无定义。利用极限处理：实际上，在计算 \(L_ n'(x_ k)\) 时，我们应使用 带移除奇点 的公式。最终可推导出当 \(x = x_ k\) 时的导数值为： \[ f'(x_ k) \approx L_ n'(x_ k) = \frac{ \sum_ {i \neq k} \frac{w_ i / w_ k}{x_ k - x_ i} (f_ k - f_ i) }{ \sum_ {i \neq k} \frac{w_ i / w_ k}{x_ k - x_ i} }. \] 更常见的另一种等价形式为（经过代数整理）： \[ f'(x_ k) = \sum_ {i=0}^n d_ {ki} f_ i, \] 其中权重 \(d_ {ki}\) 为： 当 \(i = k\) 时： \[ d_ {kk} = -\sum_ {j \neq k} d_ {kj}. \] 当 \(i \neq k\) 时： \[ d_ {ki} = \frac{w_ i / w_ k}{x_ k - x_ i}. \] 这里 \(w_ i\) 是标准重心权。 第四步：分析公式的截断误差 对于等距节点，该数值微分公式的误差来源于 Lagrange 插值的余项。已知插值误差： \[ f(x) - L_ n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_ {i=0}^n (x - x_ i). \] 求导后，在节点 \(x_ k\) 处的导数误差为： \[ f'(x_ k) - L_ n'(x_ k) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot \frac{d}{dx} \left. \prod_ {i=0}^n (x - x_ i) \right|_ {x=x_ k} + O(h^{n+1}). \] 对于等距节点，误差主项与 \(h^n\) 成正比，其中 \(h\) 为节点间距。具体地，若 \(n\) 为偶数，则误差为 \(O(h^n)\)；若 \(n\) 为奇数，则误差为 \(O(h^{n+1})\)（类似中心差分格式的精度提升）。 第五步：讨论数值稳定性 重心权插值数值微分的稳定性受以下因素影响： 节点分布 ：等距节点在 \(n\) 较大时会导致重心权 \(w_ i\) 的幅值呈指数增长，从而引起数值不稳定（Runge 现象在数值微分中同样存在）。使用 切比雪夫节点 （在区间上按余弦分布）可显著改善稳定性，因为其重心权 \(w_ i = (-1)^i\)（适当缩放），数量级稳定。 计算导数权重的公式选择 ：上述给出的公式 \(d_ {ki} = \frac{w_ i / w_ k}{x_ k - x_ i}\) 在数值上稳定，因为它通过比值 \(w_ i / w_ k\) 避免了直接计算大数。实际编程时，可先计算 \(\ln |w_ i|\) 再取指数，或使用高精度算术。 条件数 ：数值微分的条件数可定义为： \[ \kappa = \max_ {k} \sum_ {i} |d_ {ki}|. \] \(\kappa\) 越大，对数据中噪声（如舍入误差）越敏感。切比雪夫节点通常给出较小的条件数。 第六步：算法实现步骤 输入节点 \(\{x_ i\} {i=0}^n\) 和函数值 \(\{f_ i\} {i=0}^n\)。 计算重心权 \(w_ i = 1 / \prod_ {j \neq i} (x_ i - x_ j)\)，对每个 \(i\) 计算。 对每个目标点 \(x_ k\)： 计算权重 \(d_ {ki} = \frac{w_ i / w_ k}{x_ k - x_ i}\)，其中 \(i \neq k\)。 计算 \(d_ {kk} = -\sum_ {i \neq k} d_ {ki}\)。 计算导数值 \(f'(x_ k) \approx \sum_ i d_ {ki} f_ i\)。 输出导数值近似。 第七步：举例说明 考虑 \(f(x) = e^x\) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上，取 5 个切比雪夫节点： \[ x_ i = \cos\left(\frac{(2i+1)\pi}{2(n+1)}\right), \quad i=0,\dots,4. \] 计算 \(f'(x)\) 在节点处的近似值，并与精确值 \(e^x\) 比较。可观察到即使 \(n=4\)，误差也在 \(10^{-10}\) 量级，显示高精度和稳定性。 关键要点总结 重心权插值为数值微分提供了稳定且高效的权重计算方式。 节点分布对稳定性至关重要，切比雪夫节点优于等距节点。 截断误差依赖于节点数与函数光滑性，可通过增加节点或优化节点分布提高精度。 实际应用中需注意避免大数运算，采用适当的数值技巧维持稳定性。