切棍子的最小成本问题（基础版） 题目描述 有一根长度为 \( n \) 单位的木棍，标记了从 1 到 n 的刻度位置（左端为 0，右端为 n）。 给你一个整数数组 cuts，其中 cuts[ i] 表示需要在这根木棍上的某个位置进行切割的位置（1 ≤ cuts[ i ] ≤ n-1）。 每次切割的成本等于当前被切割木棍的长度。 请你返回将木棍按指定位置全部切开所需的最小总成本。 注意： 每次只能选择一个位置进行切割，并且必须从该位置将当前木棍切成两根。 切割顺序会影响总成本。 cuts 数组中的位置互不相同，并且已按升序排列（如果不是，可以预先排序）。 木棍必须最终在 cuts 中所有位置都被切开。 示例 输入： n = 7, cuts = [ 1, 3, 4, 5 ] 输出：16 解释： 一种最优的切割顺序是： 先在位置 3 切割，成本是 7（当前棍子长度为 7）。 然后在位置 5 切割（此时有两段：0-3 和 3-7，选择 3-7 这段切割位置 5），成本是 4（这段长度 4）。 接着在位置 1 切割（0-3 这段切割位置 1），成本是 3。 最后在位置 4 切割（3-5 这段切割位置 4），成本是 2。 总成本 = 7 + 4 + 3 + 2 = 16。 为什么这是区间动态规划？ 切割会不断将一段木棍分成更小的两段。 每段木棍的切割决策只依赖于这段的 起点 和 终点 ，以及这段内部的切割点。 因此可以定义区间 dp[ l][ r ] 表示在某个“虚拟木棍区间”上完成所有必须切割的最小成本。 但要注意：这里木棍的“区间”不是从 0 到 n 的原始位置，而是用 cuts 数组加上两端 0 和 n 构成的所有“关键点”的索引区间。 详细解题过程 1. 问题转换 原始木棍总长 n，必须切割的点是 cuts 里的位置。 我们先把 cuts 排序，然后在数组前后分别加入 0 和 n，得到一个新的数组 arr。 例如 n=7, cuts=[ 1,3,4,5] → 排序后就是 [ 1,3,4,5]，加入两端 → arr = [ 0, 1, 3, 4, 5, 7 ]。 arr 的长度 m = len(cuts) + 2。 这样，arr[ i ] 就表示第 i 个关键点的位置。 问题转化为： 在区间 [ arr[ l], arr[ r] ] 这段木棍上，如果内部还有一些必须切割的点（即 arr 中索引在 (l, r) 之间的点），那么怎样切割成本最小。 为什么这样转换？ 因为切割点都在 arr 中，任意一段木棍的长度 = arr[ r] - arr[ l ]，其内部需要切割的点就是 arr 索引在 l 和 r 之间的那些点。 2. 定义 dp 状态 令 dp[ l][ r] 表示在木棍区间 (arr[ l], arr[ r]) 这一段上，完成 内部所有必须切割 的最小成本。 注意：这里 l 和 r 是 arr 的索引，范围是 0 到 m-1。 最终答案是 dp[ 0][ m-1 ]，即整个木棍。 特别规定 ：如果区间 (l, r) 内部没有必须切割的点（即 r = l+1），则 dp[ l][ r ] = 0，因为这段不需要再切了。 3. 状态转移 对于 dp[ l][ r]，假设我们在内部选择一个切割点 k，其中 l < k < r，表示我们在位置 arr[ k ] 处切一刀。 这一刀将区间分成两段： 左段对应 (l, k) 右段对应 (k, r) 切割这一刀的成本是当前这段木棍的长度：arr[ r] - arr[ l ]。 之后还要分别处理左右两段，左段最小成本是 dp[ l][ k]，右段最小成本是 dp[ k][ r ]。 所以总成本是： \[ \text{cost} = (arr[ r] - arr[ l]) + dp[ l][ k] + dp[ k][ r ] \] 我们要在 l 和 r 之间所有可能的 k 中，选一个使总成本最小的。 转移方程 ： \[ dp[ l][ r] = \min_ {l < k < r} \left( (arr[ r] - arr[ l]) + dp[ l][ k] + dp[ k][ r ] \right) \] 如果区间内没有可选的 k（即 r == l+1），则 dp[ l][ r ] = 0。 4. 递推顺序 区间 DP 常见顺序：按区间长度从小到大计算。 区间长度 len 从 2 到 m-1（因为 l 和 r 至少相差 2 才有内部切割点，len=2 时内部无点，dp=0 已初始化）。 对于每个长度 len，枚举左端点 l，右端点 r = l + len，然后枚举切割点 k 在 (l, r) 之间。 5. 算法步骤 排序 cuts（如果未排序）。 构建 arr = [ 0] + sorted(cuts) + [ n ]。 令 m = len(arr)。 初始化 dp 为 m×m 的二维数组，初始值为 0（因为当区间长度=2时 dp=0 是成立的，但其他情况后面计算会覆盖）。 对于长度 len 从 2 到 m-1： 对于 l 从 0 到 m-1-len： r = l + len 如果 len == 2，dp[ l][ r ] = 0（内部无切割点，可跳过，因为初始就是0） 否则： 初始化 dp[ l][ r ] = 无穷大 对于 k 从 l+1 到 r-1： 当前成本 = (arr[ r] - arr[ l]) + dp[ l][ k] + dp[ k][ r ] 更新 dp[ l][ r ] 为最小值 返回 dp[ 0][ m-1 ] 举例验证 n=7, cuts=[ 1,3,4,5 ] arr = [ 0,1,3,4,5,7 ] (m=6) 初始化 dp 6×6 全 0。 长度 len=3 （区间内有一个切割点）： l=0, r=2 → arr[ 0]=0, arr[ 2]=3, 内部切割点 k=1 (arr[ 1 ]=1) dp[ 0][ 2] = (3-0) + dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 2 ] = 3 + 0 + 0 = 3 l=1, r=3 → (1,4) 长度 3, 内点 k=2 → dp=3 l=2, r=4 → (3,5) 长度 2, 内点 k=3 → dp=2 l=3, r=5 → (4,7) 长度 3, 内点 k=4 → dp=3 l=0, r=3 等更长区间后续会用到这些子结果。 继续计算 len=4,5,... 最终得到 dp[ 0][ 5 ] = 16，与示例一致。 复杂度分析 时间复杂度：O(m³)，其中 m = cuts.length + 2。因为三层循环：区间长度、左端点、切割点。 空间复杂度：O(m²)，存储 dp 表。 关键点小结 将 cuts 扩展为 arr 数组，将原问题转化为“在关键点序列的相邻区间上做区间 DP”。 状态 dp[ l][ r] 表示在木棍区间 (arr[ l], arr[ r ]) 上完成所有内部切割的最小成本。 切割点 k 的选择对应将大区间分成两个小区间，加上当前段长度的成本。 按区间长度从小到大递推，确保子问题已解。 如果你理解了上述过程，可以尝试用代码实现，或者进一步思考：如果 cuts 数量很大（比如 100），O(m³) 可能较慢，是否存在优化方法？但在基础版中，这个解法是标准且清晰的。