非线性规划中的序列线性化信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题：处理高维、稀疏、非凸等式与不等式约束优化

1. 题目描述

我们考虑一个高维、稀疏、非凸的约束优化问题，其标准形式为：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E} \\ & c_i(x) \ge 0, \quad i \in \mathcal{I} \end{aligned} \]

其中：

• 决策变量 \(x \in \mathbb{R}^n\)，维度 \(n\) 很大（如 \(n \ge 10^4\)），且目标函数 \(f(x)\) 和约束函数 \(c_i(x)\) 的梯度（Jacobian 矩阵）是稀疏的。
• 目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非凸、可能非光滑但 Lipschitz 连续，其梯度（或次梯度）在多数点处存在。
• 等式约束 \(c_i(x) = 0\) 和不等式约束 \(c_i(x) \ge 0\) 是非线性、非凸的，但它们的 Jacobian 矩阵是稀疏的，便于利用稀疏线性代数技术。
• 问题规模大、约束非凸，传统的序列二次规划（SQP）或内点法可能面临收敛困难、计算成本高或需要精确二阶信息（Hessian）的问题。

题目要求：
设计并解释一种结合序列线性化（Sequential Linearization, SL）、信赖域反射（Trust Region Reflective, TRR） 和自适应屏障（Adaptive Barrier, AB） 的混合算法，以高效求解此类大规模、稀疏、非凸的约束优化问题。该算法需在每一步迭代中：

1. 利用序列线性化构建局部线性近似子问题。
2. 在信赖域框架下结合反射技巧（反射步）处理边界约束并加速收敛。
3. 通过自适应屏障函数将不等式约束转化为等式约束或内点惩罚，避免可行性丢失。
4. 利用问题的稀疏结构降低计算复杂度，确保算法在大规模问题中的可行性。

2. 核心算法框架：序列线性化信赖域反射-自适应屏障（SL-TRR-AB）

我们将算法分为以下几个阶段，并逐步讲解。

步骤 1：构造序列线性化子问题

在每次迭代点 \(x_k\) 处，对目标函数和约束进行一阶 Taylor 展开，得到线性近似子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & \nabla f(x_k)^\top d + \frac{1}{2} d^\top B_k d \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^\top d = 0, \quad i \in \mathcal{E} \\ & c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^\top d \ge 0, \quad i \in \mathcal{I} \\ & \|d\| \le \Delta_k \end{aligned} \]

其中：

• \(d = x - x_k\) 是搜索方向。
• \(B_k\) 是目标函数 Hessian 或其近似（如 BFGS 拟牛顿矩阵，利用稀疏结构进行有限内存更新）。
• \(\Delta_k > 0\) 是信赖域半径，控制步长大小，保证近似模型在局部有效。

由于约束被线性化，该子问题是带有线性等式/不等式约束的二次规划（QP），但因约束非凸，其可行域可能是空集。为此，引入自适应屏障处理不等式。

步骤 2：自适应屏障函数处理不等式约束

为了避免线性化后可行域为空，将不等式约束 \(c_i(x) \ge 0\) 通过自适应对数屏障函数转化为惩罚项加到目标中：

\[\Phi(x; \mu) = f(x) - \mu \sum_{i \in \mathcal{I}} \ln(c_i(x)) \]

其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。在迭代中，我们自适应地更新 \(\mu\)：

• 初始 \(\mu_0\) 较大，保证远离约束边界。
• 随着迭代，按 \(\mu_{k+1} = \gamma \mu_k\)（\(\gamma \in (0,1)\)）减小，逐渐逼近原始问题。

在子问题中，我们将屏障项也线性化，得到新的线性化子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d} \quad & \nabla f(x_k)^\top d - \mu_k \sum_{i \in \mathcal{I}} \frac{\nabla c_i(x_k)^\top d}{c_i(x_k)} + \frac{1}{2} d^\top B_k d \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^\top d = 0, \quad i \in \mathcal{E} \\ & \|d\| \le \Delta_k \end{aligned} \]

注意：原不等式约束被屏障项替代，子问题只剩下等式约束，大大简化。但需保证 \(c_i(x_k) > 0\)（严格可行），这由屏障函数自然保证。

步骤 3：信赖域反射（TRR）技巧

对于带有等式约束和信赖域约束的子问题，直接求解可能因信赖域边界导致进展缓慢。信赖域反射技巧在每次迭代中尝试反射步以加速探索可行域：

1. 计算试探步 \(d_k^C\)：求解上述子问题得到 Cauchy 步（最速下降方向在信赖域内的近似解）。
2. 反射步：若 \(d_k^C\) 太小（例如 \(\|d_k^C\| < \eta \Delta_k\)，\(\eta \in (0,1)\) 为阈值），则尝试反射步：

\[ d_k^R = 2 P_\mathcal{C}(x_k + d_k^C) - (x_k + d_k^C) - x_k \]

其中 \(P_\mathcal{C}\) 是到线性化等式约束所定义流形 \(\mathcal{C} = \{ x \mid c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^\top (x - x_k) = 0, i \in \mathcal{E} \}\) 的投影。反射步能帮助跳出局部凹区域，尤其适合非凸问题。
3. 选择最终步：比较 \(d_k^C\) 和 \(d_k^R\) 对应的模型下降量，选取下降更多的方向作为 \(d_k\)。

由于约束是线性的，投影 \(P_\mathcal{C}\) 可通过求解一个线性最小二乘问题得到，利用稀疏 QR 分解或共轭梯度法高效计算。

步骤 4：稀疏结构利用与子问题求解

1. 稀疏 Jacobian 存储：约束梯度 \(\nabla c_i(x_k)\) 以稀疏矩阵形式存储，仅非零元素参与计算。
2. 拟牛顿更新：\(B_k\) 采用有限内存 BFGS（L-BFGS），只存储最近 \(m\) 个向量对 \((s_j, y_j)\)，其中 \(s_j = x_{j+1} - x_j\)，\(y_j = \nabla f(x_{j+1}) - \nabla f(x_j)\)，避免稠密 \(n \times n\) 矩阵。
3. 子问题求解：子问题是一个带有线性等式约束的二次规划，其 KKT 系统为：

\[ \begin{bmatrix} B_k + \lambda I & J_{\mathcal{E}}^\top \\ J_{\mathcal{E}} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d \\ \nu \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -g_k \\ -c_{\mathcal{E}}(x_k) \end{bmatrix} \]

其中 \(J_{\mathcal{E}}\) 是等式约束 Jacobian（稀疏），\(g_k = \nabla f(x_k) - \mu_k \sum_{i \in \mathcal{I}} \frac{\nabla c_i(x_k)}{c_i(x_k)}\)，\(\lambda\) 是信赖域约束的 Lagrange 乘子（通过截断共轭梯度法迭代求解）。利用稀疏对称不定求解器（如 MA57 或 PARDISO）高效求解。

步骤 5：信赖域半径与屏障参数的自适应更新

1. 实际下降与预测下降比：

\[ \rho_k = \frac{\text{实际下降: } f(x_k) - f(x_k + d_k)}{\text{模型下降: } m_k(0) - m_k(d_k)} \]

其中 \(m_k(d)\) 是线性化子问题的目标函数。
2. 更新信赖域半径：

• 若 \(\rho_k < 0.25\)，则 \(\Delta_{k+1} = 0.5 \Delta_k\)（模型拟合差，缩小信赖域）。
• 若 \(\rho_k > 0.75\) 且 \(\|d_k\| = \Delta_k\)，则 \(\Delta_{k+1} = 2 \Delta_k\)（模型好，扩大搜索范围）。
• 否则保持 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。

3. 更新屏障参数：每 \(K\) 次迭代（如 \(K=5\)），若当前点满足 \(c_i(x_k) > 0\) 且约束违反度小，则令 \(\mu_{k+1} = \gamma \mu_k\)，\(\gamma = 0.1\)。

步骤 6：收敛准则

当同时满足以下条件时停止：

1. 梯度条件：

\[ \| \nabla f(x_k) - \mu_k \sum_{i \in \mathcal{I}} \frac{\nabla c_i(x_k)}{c_i(x_k)} + J_{\mathcal{E}}^\top \nu_k \| \le \epsilon_g \]

2. 约束违反度：

\[ \| c_{\mathcal{E}}(x_k) \| \le \epsilon_c \quad \text{且} \quad \| \min(0, c_{\mathcal{I}}(x_k)) \| \le \epsilon_c \]

3. 屏障参数足够小：

\[ \mu_k \le \epsilon_\mu \]

通常取 \(\epsilon_g = 10^{-6}\)，\(\epsilon_c = 10^{-6}\)，\(\epsilon_\mu = 10^{-8}\)。

3. 算法伪代码

输入：初始点 $ x_0 $（严格可行），初始信赖域半径 $ \Delta_0 > 0 $，初始屏障参数 $ \mu_0 > 0 $，常数 $ \eta \in (0,1) $，$ \gamma \in (0,1) $，$ K \in \mathbb{N} $，容忍度 $ \epsilon_g, \epsilon_c, \epsilon_\mu $
输出：近似最优解 $ x^* $

1. 初始化：$ k = 0 $
2. while 不满足收敛准则 do
3.     计算梯度 $ \nabla f(x_k) $，Jacobian $ J_{\mathcal{E}}(x_k) $，$ J_{\mathcal{I}}(x_k) $
4.     构造线性化子问题（带屏障项）
5.     求解子问题得 Cauchy 步 $ d_k^C $
6.     if $ \|d_k^C\| < \eta \Delta_k $ then
7.         计算反射步 $ d_k^R $
8.         选择 $ d_k = \arg\max \{ m_k(0) - m_k(d) \mid d \in \{d_k^C, d_k^R\} \} $
9.     else
10.         $ d_k = d_k^C $
11.    计算实际下降比 $ \rho_k $
12.    更新信赖域半径 $ \Delta_{k+1} $ 基于 $ \rho_k $
13.    if $ \rho_k > 0 $ then
14.        接受步：$ x_{k+1} = x_k + d_k $
15.    else
16.        拒绝步：$ x_{k+1} = x_k $
17.    if $ k \mod K = 0 $ then
18.        更新屏障参数：$ \mu_{k+1} = \gamma \mu_k $
19.    else
20.         $ \mu_{k+1} = \mu_k $
21.   更新拟牛顿矩阵 $ B_{k+1} $（L-BFGS）
22.   $ k = k + 1 $
23. end while
24. return $ x_k $

4. 关键点说明

1. 序列线性化的优势：将非凸问题转化为一系列凸二次规划子问题，每步只需一阶信息，适合大规模问题。
2. 自适应屏障的作用：避免线性化后可行域为空，同时随着 \(\mu \to 0\) 逼近原始问题的最优解。
3. 信赖域反射的加速：反射步有助于在非凸地形中跳出局部低谷，提高收敛速度。
4. 稀疏计算：利用稀疏线性代数，将每步计算复杂度从 \(O(n^3)\) 降至 \(O(\text{nnz})\)，其中 nnz 是 Jacobian 的非零元个数。
5. 全局收敛性：在适当条件下（如目标函数有下界、约束梯度线性独立），该算法可收敛到稳定点（KKT 点）。

5. 适用问题类型

该混合算法特别适用于：

• 高维（\(n \ge 10^4\)）稀疏优化，如网络流、机器学习中的带约束模型训练。
• 非凸但 Lipschitz 连续的目标与约束，如带有 ReLU 激活的神经网络约束优化。
• 需要严格满足等式约束，同时不等式约束较多且非凸的问题。

通过结合序列线性化、信赖域反射和自适应屏障，该算法在保持计算效率的同时，能较好地处理非凸性和可行性，是大规模约束优化的有力工具。