基于线性规划的“最优广告投放组合（媒体组合优化）”建模与求解示例
我将为您讲解一个经典的线性规划应用问题：广告投放组合优化（媒体组合优化）。这个问题源于市场营销领域，旨在在有限的预算下，通过科学分配广告资源，最大化广告效果（如曝光量、点击量或转化量）。
问题描述
一家公司计划推出一款新产品，并准备在四个不同的广告媒体（例如：电视、广播、网络平台A、网络平台B）上投放广告。每个媒体有不同的特性和成本：
- 目标受众覆盖率：每个媒体单位广告能触达的潜在客户数量（千人）。
- 单次投放成本：在每个媒体上投放一次广告的费用（千元）。
- 投放次数限制：由于媒体档期或公司策略，每个媒体有最小和最大投放次数的限制。
公司拥有总预算B（千元）。目标是如何分配各媒体的广告投放次数，使得触达的总受众（千人）最大。
具体数据假设：
| 广告媒体 | 单次触达受众（千人） | 单次投放成本（千元） | 最小投放次数 | 最大投放次数 |
|---|---|---|---|---|
| 电视 (TV) | 40 | 80 | 0 | 10 |
| 广播 (Radio) | 20 | 30 | 5 | 15 |
| 网络A (Web-A) | 25 | 40 | 0 | 20 |
| 网络B (Web-B) | 10 | 15 | 0 | 无上限 |
| 总预算 B = 1000 （千元） |
解题过程
步骤1：建立线性规划模型
首先，我们需要将现实问题转化为数学模型。
-
决策变量：
定义变量 \(x_1, x_2, x_3, x_4\) 分别表示在电视、广播、网络A、网络B上的广告投放次数。
这些变量是非负实数（在经典模型中通常允许小数，代表可购买的部分时段或按比例折算的曝光，但实际中可作整数化处理）。 -
目标函数：
目标是最大化总触达受众（单位：千人）。
\[ \text{Maximize } Z = 40x_1 + 20x_2 + 25x_3 + 10x_4 \]
- 约束条件：
- 预算约束：总成本不能超过1000。
\[ 80x_1 + 30x_2 + 40x_3 + 15x_4 \leq 1000 \]
* **投放次数上下限约束**：
\[ \begin{aligned} 0 \leq &x_1 \leq 10 \\ 5 \leq &x_2 \leq 15 \\ 0 \leq &x_3 \leq 20 \\ &x_4 \geq 0 \end{aligned} \]
*注：$ x_4 $ 只有下限（0），没有明确上限，但在预算约束下会自然有界。*
- 完整线性规划模型：
\[ \begin{aligned} \max \quad & 40x_1 + 20x_2 + 25x_3 + 10x_4 \\ \text{s.t.} \quad & 80x_1 + 30x_2 + 40x_3 + 15x_4 \leq 1000 \\ & 0 \leq x_1 \leq 10 \\ & 5 \leq x_2 \leq 15 \\ & 0 \leq x_3 \leq 20 \\ & x_4 \geq 0 \end{aligned} \]
步骤2：求解线性规划（使用单纯形法思路）
由于这是一个小规模问题，我们可以用图解法思路来分析，但实际用单纯形法计算。为了便于理解，我展示求解的关键逻辑和步骤。
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引入松弛变量和剩余变量，将不等式化为标准形式。
- 对预算约束 \(80x_1 + 30x_2 + 40x_3 + 15x_4 \leq 1000\)，引入松弛变量 \( s_1 \geq 0\)，变为等式：\(80x_1 + 30x_2 + 40x_3 + 15x_4 + s_1 = 1000\)。
- 对 \(x_2 \geq 5\)，引入剩余变量 \( e_2 \geq 0\)，变为 \(x_2 - e_2 = 5\)。
- 对 \(x_1 \leq 10\)，引入松弛变量 \( s_3 \geq 0\)，变为 \(x_1 + s_3 = 10\)。
- 对 \(x_2 \leq 15\)，引入松弛变量 \( s_4 \geq 0\)，变为 \(x_2 + s_4 = 15\)。
- 对 \(x_3 \leq 20\)，引入松弛变量 \( s_5 \geq 0\)，变为 \(x_3 + s_5 = 20\)。
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构建初始单纯形表（为简化，我们进行逻辑推演）：
- 目标函数中，系数最大的是 \(x_1\)（40），触达效率最高。
- 但 \(x_1\) 的成本也最高（80）。我们需要在受众触达效率（目标系数）和资源消耗效率（成本与目标比值）之间权衡。
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经济解释与比值测试：
我们可以快速估算每个媒体的“单位成本触达率”（即性价比）：- TV: \(40/80 = 0.5\) (千人/千元)
- Radio: \(20/30 \approx 0.667\)
- Web-A: \(25/40 = 0.625\)
- Web-B: \(10/15 \approx 0.667\)
- 从性价比看，Radio和Web-B最高（0.667），其次是Web-A（0.625），最后是TV（0.5）。
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迭代求解（逻辑推导）：
- 第1步：满足 \(x_2\) 的最小值约束。令 \(x_2 = 5\)，成本消耗 \(30*5=150\)，剩余预算850。
- 第2步：分配剩余资源。由于Radio和Web-B性价比相同且最高，应优先使用完它们的高性价比投放额度。
- Radio: 已用5次，最多还可投 \(15-5=10\) 次，成本 \(30*10=300\)。
- Web-B: 无上限。
- 第3步：试探分配。如果先将Radio用到上限 \(x_2=15\)，则总成本为 \(30*15=450\)。
- 此时剩余预算 \(1000-450=550\)。
- 接下来应投性价比次高的Web-A。Web-A最多20次，成本 \(40*20=800 > 550\)，所以不能投满。设 \(x_3 = t\)，则成本为 \(40t\)。
- 再投性价比最高的Web-B，设 \(x_4 = u\)，成本 \(15u\)。
- 预算约束：\(450 + 40t + 15u \leq 1000\) => \(40t + 15u \leq 550\)。
- 目标函数：\(Z = 40x_1 + 20*15 + 25t + 10u = 300 + 25t + 10u\)（此时 \(x_1=0\)）。
- 为使Z最大，应在预算内尽可能多投Web-A（因为其目标系数25 > 10）。令 \(u=0\)，则 \(t = 550/40 = 13.75\)。由于 \(t \leq 20\)，可行。
- 得到解：\((x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 15, 13.75, 0)\)，\(Z = 300 + 25*13.75 = 643.75\)。
- 第4步：检查是否可以引入TV (\(x_1\))。TV的性价比最低，引入它必须替换掉一些高性价比的资源。我们可以用单纯形法的“进基-出基”思想：计算Reduced Cost（检验数）。
- 在现行基（\(x_2, x_3\) 和松弛变量为基变量）下，增加1单位 \(x_1\) 需要减少多少 \(x_3\) 和/或 \(x_2\) 以满足预算？
- 从目标函数看，\(x_1\) 的系数是40。但为了引入 \(x_1\)，需要释放成本80。如果通过减少 \(x_3\) 来释放成本，每减少1单位 \(x_3\) 释放成本40，但损失收益25。所以，用释放的资源投 \(x_1\)，净收益变化为 \(40 - (40/40)*25 = 15 > 0\)？等等，这个计算不准确，应正式计算检验数。
- 更严谨地，我们可以用对偶变量来解释。预算约束的影子价格（对偶变量值）λ 表示每增加1单位预算能增加多少Z。在当前解附近，约束起作用的可能是预算和 \(x_3\) 的上限。但通过计算（或单纯形法迭代）可以发现，在当前解 \((0,15,13.75,0)\) 下，预算约束是紧的（用尽），其影子价格 λ = 单位预算的边际收益。由于Web-A还在上限内，其边际收益就是其目标系数与成本系数之比决定的“有效收益”。实际上，我们可以发现，如果减少 \(x_3\) 用于投 \(x_1\)，净收益为 \(40 - (40/40)*25 = 15 > 0\)，说明引入 \(x_1\) 是有利可图的。
- 第5步：进行变量替换。设减少 \(x_3\) 的量来投 \(x_1\)。设 \(x_1 = \delta\)，为保证预算不变：\(80\delta + 40(-\Delta x_3) = 0\) => \(\Delta x_3 = 2\delta\)（即每增加1次TV，需减少2次Web-A）。同时要满足 \(x_3\) 非负：\(13.75 - 2\delta \geq 0\) => \(\delta \leq 6.875\)。也要满足 \(x_1 \leq 10\)。
- 取 \(\delta = 6.875\)，则 \(x_1 = 6.875\)，\(x_3 = 13.75 - 2*6.875 = 0\)。
- 此时预算：\(80*6.875 + 30*15 + 40*0 + 15*0 = 550 + 450 = 1000\)（用尽）。
- 新解：\((x_1, x_2, x_3, x_4) = (6.875, 15, 0, 0)\)
- 新目标值：\(Z = 40*6.875 + 20*15 = 275 + 300 = 575\)。
- 咦，Z从643.75降到了575？ 说明之前的推算有误。让我们重新审视。
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正确求解（使用单纯形法或软件验证）：
实际上，最优解应通过系统迭代得到。我们可以用更简单的方法：既然只有四个变量，且约束主要是预算和上下限，我们可以用枚举顶点的思路。顶点由约束交线产生。可能的顶点包括：- 预算约束紧 + 某些变量在边界上（0或上限）。
通过测试几个明显候选点： - 候选A: 多用高性价比的Radio和Web-B。设 \(x_2=15, x_4\) 尽量多。预算余下 \(1000-450=550\)，可投Web-B \(550/15 \approx 36.67\)。则解为 \((0, 15, 0, 36.67)\)，\(Z=20*15+10*36.67=300+366.7=666.7\)。
- 候选B: 在A基础上，考虑引入Web-A。如果 \(x_2=15, x_3\) 和 \(x_4\) 组合。预算：\(30*15+40x_3+15x_4=1000\) => \(40x_3+15x_4=550\)。目标 \(Z=300+25x_3+10x_4\)。将 \(x_4 = (550-40x_3)/15\) 代入Z，得 \(Z=300+25x_3+10*(550-40x_3)/15 = 300 + 25x_3 + 366.67 - 26.67x_3 = 666.67 - 1.67x_3\)。所以 \(x_3\) 越大，Z 越小！因此应让 \(x_3=0\)。这回到了候选A。此时Z=666.67。
- 候选C: 考虑引入TV (\(x_1\))。如果 \(x_1>0\)，因其性价比低，必须替换掉其他媒体。从目标函数形式看，比较单位成本贡献：TV是0.5，Web-B是0.667，Web-A是0.625，Radio是0.667。所以引入TV不划算，除非高性价比媒体已达上限。
- 检查Radio已达上限15，Web-B无上限。所以引入TV替换Web-B是不利的（因为0.5<0.667）。引入TV替换Web-A？Web-A的性价比0.625>0.5，也不利。因此，最优解中 \(x_1 = 0\)。
- 候选D: 检查 \(x_3\) 上限。如果 \(x_3=20\)，则预算消耗 \(40*20=800\)，剩余200。可投Radio至少5次（成本150），余50投Web-B（3.33次）。但Radio最多15次，我们可让 \(x_2=5\)（最小），则预算消耗 \(800+150=950\)，余50投Web-B（3.33）。解为 \((0,5,20,3.33)\)，\(Z=20*5+25*20+10*3.33=100+500+33.3=633.3\)。
- 比较候选A（666.67）和候选D（633.3），A更优。
因此，通过分析，最优解是：
- 预算约束紧 + 某些变量在边界上（0或上限）。
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 15, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = 550/15 = 36.666... \]
最大触达受众 $ Z = 20*15 + 10*36.666... = 300 + 366.666... = 666.666... $（千人）。
步骤3：结果解读与灵敏度分析（对偶分析）
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最优解：不投放电视和网络A，广播投满15次，网络B投放约36.67次（实际操作时可取整，如36或37次，进行整数规划微调）。
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对偶变量/影子价格：
- 预算约束：如果预算增加1千元，可以多投Web-B \(1/15\) 次，增加受众 \(10*(1/15) = 2/3 \approx 0.667\) 千人。所以预算的影子价格为0.667。这正是Web-B的单位成本触达率，也是最有效媒体的性价比。
- 广播上限约束：广播上限15次是紧的。如果增加1次广播投放机会（且不超预算，需相应减少Web-B），净收益变化为 \(20 - (30/15)*10 = 20 - 20 = 0\)。说明此时广播和Web-B在边际上效用相等，增加广播上限不会增加总受众（除非同时增加预算）。影子价格为0。
- 其他约束：均为非紧约束，影子价格为0。
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管理启示：
- 公司在当前预算下，应完全投资于性价比最高的两种媒体（广播和网络B），直至广播达到投放次数上限。
- 如果预算增加，应全部追加到网络B上。
- 电视和网络A在当前定价和效果下，不应被选择。只有当它们的性价比提高（例如，单次成本降低或触达受众增加）到超过0.667时，才应考虑进入媒体组合。
总结
这个“最优广告投放组合”问题是一个典型的资源分配线性规划问题。其建模过程清晰地展示了如何将商业目标、资源限制和业务规则转化为数学形式。求解过程（无论是单纯形法还是逻辑分析）揭示了在约束下，资源应分配给边际效益最高的活动这一核心经济学原理。通过对偶分析得到的影子价格，为决策者提供了关于资源价值和管理调整方向的宝贵信息。实际应用中，数据可能更复杂（如非线性响应曲线、整数投放次数、多期动态问题等），但其核心思想仍基于此类线性规划模型。