基于哈希的高效字符串压缩算法（支持重复模式检测与编码）
字数 4029 2025-12-21 12:36:49

基于哈希的高效字符串压缩算法（支持重复模式检测与编码）

题目描述

设计一个基于哈希的字符串压缩算法，能够检测输入字符串中的重复模式（子串），并用更短的编码表示这些重复部分。算法需要支持压缩和解压缩两个过程。例如，字符串 "ABABABAB" 可以压缩成类似 "4(AB)" 的格式，表示 "AB" 重复了4次。

核心要求：

  1. 压缩过程：检测重复模式，生成压缩编码。
  2. 解压缩过程：将压缩编码还原为原始字符串。
  3. 利用哈希（如滚动哈希）来高效检测重复子串，避免暴力匹配带来的高时间复杂度。

解题过程

步骤1：理解压缩算法的核心思想

我们的目标是找到字符串中“连续重复”的模式。例如：

  • "ABABABAB" → 模式 "AB" 重复4次 → 编码为 "4(AB)"。
  • 但并非所有字符串都能这样简单压缩。比如 "ABCABDABE"，虽然 "AB" 出现了三次，但不是连续重复，不能直接编码为 `"3(AB)"```，因为中间有其他字符隔开。

因此，我们先聚焦于检测最长的连续重复子串。一个直接的想法是：遍历所有可能的子串长度，检查它是否能连续重复覆盖整个字符串（或其中一大段）。但这样效率很低（O(n³)或O(n²)）。我们需要用滚动哈希来加速重复性检查。

步骤2：引入滚动哈希加速重复检测

滚动哈希（Rabin-Karp哈希）可以在常数时间内计算出一个滑动窗口内子串的哈希值。对于字符串 s，给定一个长度 len，我们可以快速判断从位置 i 开始的长度为 len 的子串是否与从 j 开始的长度为 len 的子串相等（通过比较哈希值，再必要时验证字符串）。

但我们的目标不是找任意两个相同子串，而是找连续重复的模式。具体来说，对于给定的长度 len，我们想判断字符串的前缀（或某一段）是否由某个长度为 len 的子串重复构成。

方法：
假设当前检查的字符串区间是 s[l:r]（左闭右开），长度为 L = r - l。我们枚举可能的重复单元长度 len（从1到 L/2），检查该区间是否能被一个长度为 len 的子串重复构成。
如何检查？只需要验证：

  1. L % len == 0（长度必须整除）。
  2. 第一个长度为 len 的子串 s[l:l+len] 的哈希值，与后续所有相同长度的子串哈希值都相等。

滚动哈希可以在 O(1) 时间内得到每个 s[i:i+len] 的哈希值（如果我们提前计算好整个字符串的哈希前缀和）。这样，检查一个固定 len 是否构成重复单元的时间是 O(L/len)，总体仍可能达到 O(n²)。但我们可以通过只检查能整除 L 的 len，并且一旦找到就选择最长的 len 作为重复单元（这样压缩率更高），从而在多数情况下提前结束。

步骤3：设计压缩算法框架

我们采用递归分割的思想：

  1. 对于当前字符串（或子串），尝试找到最长的连续重复模式。
  2. 如果找到长度为 len 的模式重复 k 次（k = L/len），则将其编码为 "k(pattern)"，其中 pattern 本身可能需要递归压缩。
  3. 如果找不到这样的重复模式（即最长重复次数 k=1），则当前字符串无法压缩，直接返回原串（但内部如果还有可压缩的子串，仍需递归处理？这里需定义清晰）。

但上述方法对于非连续重复的复杂情况不好处理。更实用的方法：我们只对整体可重复的子串进行压缩，否则就保留原样或拆分成更小的块。
一个常见简化版题目要求：给定字符串，编码成最短的形式，规则是：

  • 如果字符串能表示为 k 个相同子串连接，就变成 k[encoded_substring]，其中 encoded_substring 是子串的压缩结果。
  • 否则拆分成若干部分，每部分分别压缩后拼接。

举例："ababab" → "3[ab]"，而 "abcabcab" 不能整体重复，但可以看作 "abc" 重复两次再加 "ab"，即 "2[abc]ab"？这样定义会复杂。

为了简化，我们实现一个函数 compress(s)，返回最短的压缩编码，规则如下：

  1. 如果 s 能表示为 k 个相同子串连接（k>1），则返回 k[compress(sub)]，其中 sub 是那个重复单元。
  2. 否则，尝试所有可能的分割点，将 s 分成 s1 和 s2，返回 compress(s1) + compress(s2) 中最短的那个。
  3. 基础情况：如果 s 长度 <= 4，直接返回 s（因为加上括号后可能更长）。

这个递归 + 记忆化搜索能保证找到最短编码，但复杂度较高（O(n³) 或 O(n⁴)）。滚动哈希可以在第一步判断“能否表示为k个相同子串”时加速。

步骤4：利用滚动哈希判断重复单元

我们预处理字符串 s 的滚动哈希数组。
设 hash[i] 为 s[0:i] 的哈希值（多项式哈希）。那么子串 s[i:j] 的哈希可通过 hash[j] - hash[i] * base^(j-i) 快速得到（对一个大质数取模）。

对于给定区间 s[l:r]，长度 L = r-l，我们想判断它是否能由长度为 len 的子串重复 k 次构成（k = L/len）。
步骤：

  1. 计算第一个单元哈希 h1 = get_hash(l, l+len)。
  2. 检查从 l+len 开始，每次步进 len，得到的哈希是否都等于 h1。如果全部相等，则可能是重复单元（再验证一次字符串，避免哈希冲突）。
  3. 遍历所有 len 从 1 到 L/2，且 L % len == 0，找到这样的 len，则重复单元为 s[l:l+len]。

在递归压缩中，对于每个子区间，我们用上述方法找重复单元，如果找到，则编码为 k[compress(sub)]，并与其他分割方案比较长度。

步骤5：记忆化搜索优化

因为有很多重复子问题，我们用一个哈希表 memo 记录已经计算过的子串的压缩结果。键为子串（或区间索引），值为压缩后的字符串。

递归函数 dfs(l, r) 返回 s[l:r] 的最短压缩串。
算法步骤：

  1. 如果 (l, r) 在 memo 中，直接返回。
  2. 令 L = r - l，如果 L <= 4，直接返回 s[l:r]（因为压缩后可能更长）。
  3. 初始化答案 ans = s[l:r]。
  4. 遍历所有可能的重复单元长度 len（1 到 L/2，且 L % len == 0）：
    • 用滚动哈希检查 s[l:r] 是否由 s[l:l+len] 重复构成。
    • 如果是，则候选压缩串为 str(k) + "[" + dfs(l, l+len) + "]"，其中 k = L/len。
    • 如果候选串长度 < 当前 ans 长度，则更新 ans。
  5. 如果没有找到整体重复，尝试将区间分割成两部分：s[l:m] 和 s[m:r]（m 从 l+1 到 r-1），得到候选串 dfs(l, m) + dfs(m, r)，更新最短的 ans。
  6. 将 ans 存入 memo 并返回。

注意：第5步中，如果我们已经找到了整体重复的压缩，通常比分割更优，所以可以在第4步后如果找到整体重复，就不必再尝试分割（因为 k[compress(sub)] 通常较短）。

步骤6：解压缩算法

解压缩相对简单：递归解析编码字符串。

  • 如果编码不含 '['，直接返回该字符串。
  • 否则找到数字 k 和括号内的子编码 sub，递归解压 sub 得到字符串 t，然后返回 k 个 t 的连接。

实现时可以用栈模拟，或者递归下降解析。

步骤7：复杂度分析

  • 滚动哈希预处理：O(n)。
  • 递归过程中，每个区间 (l, r) 需要检查所有可能的 len，每个 len 检查需要 O(L/len) 次哈希比较，总体 O(n²) 级别。
  • 加上记忆化，总状态数 O(n²)，每个状态处理可能需要 O(n) 时间（检查所有 len 和分割点），最坏 O(n³)。但在实际字符串中，重复模式不会太复杂，加上哈希加速，可以接受中等长度的输入（几百到几千）。

示例演示

以 s = "abababab" 为例：

  1. 预处理滚动哈希。
  2. 调用 dfs(0, 8)：
    • L=8，检查 len=1: "a" 重复8次？哈希检查通过 → 候选 "8[a]"。
    • len=2: "ab" 重复4次？哈希检查通过 → 候选 "4[ab]"。
    • len=4: "abab" 重复2次？哈希检查通过 → 候选 "2[abab]"。
      选择最短的候选：比较长度，"4[ab]" 最短（长度为5），"8[a]" 长度为4但解压后是"aaaaaaaa"与原串不符？注意：我们的压缩必须是无损的，所以必须用整体重复单元，这里 "a" 重复8次得到 "aaaaaaaa" ≠ "abababab"，所以 len=1 不通过（因为哈希虽然可能相等，但字符串验证会失败）。所以实际最短的是 "4[ab]"。
    • 然后递归压缩 "ab"：长度2，直接返回 "ab"。
    • 最终压缩结果为 "4[ab]"。
  3. 解压时，看到 "4[ab]"，解压 "ab" 得到 "ab"，重复4次 → "abababab"。

总结

本算法结合滚动哈希高效检测重复模式，通过递归分割和记忆化搜索找到最短压缩编码。核心是利用哈希快速判断子串重复性，避免不必要的字符串比较，从而在可接受时间内解决中等规模字符串的压缩问题。

基于哈希的高效字符串压缩算法（支持重复模式检测与编码） 题目描述 设计一个基于哈希的字符串压缩算法，能够检测输入字符串中的重复模式（子串），并用更短的编码表示这些重复部分。算法需要支持压缩和解压缩两个过程。例如，字符串 "ABABABAB" 可以压缩成类似 "4(AB)" 的格式，表示 "AB" 重复了4次。 核心要求： 压缩过程：检测重复模式，生成压缩编码。 解压缩过程：将压缩编码还原为原始字符串。 利用哈希（如滚动哈希）来高效检测重复子串，避免暴力匹配带来的高时间复杂度。 解题过程 步骤1：理解压缩算法的核心思想 我们的目标是找到字符串中“连续重复”的模式。例如： "ABABABAB" → 模式 "AB" 重复4次 → 编码为 "4(AB)" 。 但并非所有字符串都能这样简单压缩。比如 "ABCABDABE" ，虽然 "AB" 出现了三次，但不是连续重复，不能直接编码为 `"3(AB)" ``` ，因为中间有其他字符隔开。 因此，我们先聚焦于 检测最长的连续重复子串 。一个直接的想法是：遍历所有可能的子串长度，检查它是否能连续重复覆盖整个字符串（或其中一大段）。但这样效率很低（O(n³)或O(n²)）。我们需要用滚动哈希来加速重复性检查。 步骤2：引入滚动哈希加速重复检测 滚动哈希（Rabin-Karp哈希）可以在常数时间内计算出一个滑动窗口内子串的哈希值。对于字符串 s ，给定一个长度 len ，我们可以快速判断从位置 i 开始的长度为 len 的子串是否与从 j 开始的长度为 len 的子串相等（通过比较哈希值，再必要时验证字符串）。 但我们的目标不是找任意两个相同子串，而是找 连续重复 的模式。具体来说，对于给定的长度 len ，我们想判断字符串的 前缀 （或某一段）是否由某个长度为 len 的子串重复构成。 方法 ： 假设当前检查的字符串区间是 s[l:r] （左闭右开），长度为 L = r - l 。我们枚举可能的重复单元长度 len （从1到 L/2 ），检查该区间是否能被一个长度为 len 的子串重复构成。 如何检查？只需要验证： L % len == 0 （长度必须整除）。 第一个长度为 len 的子串 s[l:l+len] 的哈希值，与后续所有相同长度的子串哈希值都相等。 滚动哈希可以在 O(1) 时间内得到每个 s[i:i+len] 的哈希值（如果我们提前计算好整个字符串的哈希前缀和）。这样，检查一个固定 len 是否构成重复单元的时间是 O(L/len)，总体仍可能达到 O(n²)。但我们可以通过只检查能整除 L 的 len ，并且一旦找到就选择最长的 len 作为重复单元（这样压缩率更高），从而在多数情况下提前结束。 步骤3：设计压缩算法框架 我们采用 递归分割 的思想： 对于当前字符串（或子串），尝试找到最长的连续重复模式。 如果找到长度为 len 的模式重复 k 次（ k = L/len ），则将其编码为 "k(pattern)" ，其中 pattern 本身可能需要递归压缩。 如果找不到这样的重复模式（即最长重复次数 k=1），则当前字符串无法压缩，直接返回原串（但内部如果还有可压缩的子串，仍需递归处理？这里需定义清晰）。 但上述方法对于非连续重复的复杂情况不好处理。更实用的方法：我们只对 整体可重复 的子串进行压缩，否则就保留原样或拆分成更小的块。 一个常见简化版题目要求：给定字符串，编码成最短的形式，规则是： 如果字符串能表示为 k 个相同子串连接，就变成 k[encoded_substring] ，其中 encoded_substring 是子串的压缩结果。 否则拆分成若干部分，每部分分别压缩后拼接。 举例： "ababab" → "3[ab]" ，而 "abcabcab" 不能整体重复，但可以看作 "abc" 重复两次再加 "ab" ，即 "2[abc]ab" ？这样定义会复杂。 为了简化，我们实现一个函数 compress(s) ，返回最短的压缩编码，规则如下： 如果 s 能表示为 k 个相同子串连接（ k>1 ），则返回 k[compress(sub)] ，其中 sub 是那个重复单元。 否则，尝试所有可能的分割点，将 s 分成 s1 和 s2 ，返回 compress(s1) + compress(s2) 中最短的那个。 基础情况：如果 s 长度 <= 4，直接返回 s （因为加上括号后可能更长）。 这个递归 + 记忆化搜索能保证找到最短编码，但复杂度较高（O(n³) 或 O(n⁴)）。滚动哈希可以在第一步判断“能否表示为k个相同子串”时加速。 步骤4：利用滚动哈希判断重复单元 我们预处理字符串 s 的滚动哈希数组。 设 hash[i] 为 s[0:i] 的哈希值（多项式哈希）。那么子串 s[i:j] 的哈希可通过 hash[j] - hash[i] * base^(j-i) 快速得到（对一个大质数取模）。 对于给定区间 s[l:r] ，长度 L = r-l ，我们想判断它是否能由长度为 len 的子串重复 k 次构成（ k = L/len ）。 步骤： 计算第一个单元哈希 h1 = get_hash(l, l+len) 。 检查从 l+len 开始，每次步进 len ，得到的哈希是否都等于 h1 。如果全部相等，则 可能 是重复单元（再验证一次字符串，避免哈希冲突）。 遍历所有 len 从 1 到 L/2，且 L % len == 0，找到这样的 len ，则重复单元为 s[l:l+len] 。 在递归压缩中，对于每个子区间，我们用上述方法找重复单元，如果找到，则编码为 k[compress(sub)] ，并与其他分割方案比较长度。 步骤5：记忆化搜索优化 因为有很多重复子问题，我们用一个哈希表 memo 记录已经计算过的子串的压缩结果。键为子串（或区间索引），值为压缩后的字符串。 递归函数 dfs(l, r) 返回 s[l:r] 的最短压缩串。 算法步骤： 如果 (l, r) 在 memo 中，直接返回。 令 L = r - l ，如果 L <= 4 ，直接返回 s[l:r] （因为压缩后可能更长）。 初始化答案 ans = s[l:r] 。 遍历所有可能的重复单元长度 len （1 到 L/2，且 L % len == 0）： 用滚动哈希检查 s[l:r] 是否由 s[l:l+len] 重复构成。 如果是，则候选压缩串为 str(k) + "[" + dfs(l, l+len) + "]" ，其中 k = L/len 。 如果候选串长度 < 当前 ans 长度，则更新 ans 。 如果没有找到整体重复，尝试将区间分割成两部分： s[l:m] 和 s[m:r] （ m 从 l+1 到 r-1 ），得到候选串 dfs(l, m) + dfs(m, r) ，更新最短的 ans 。 将 ans 存入 memo 并返回。 注意：第5步中，如果我们已经找到了整体重复的压缩，通常比分割更优，所以可以在第4步后如果找到整体重复，就不必再尝试分割（因为 k[compress(sub)] 通常较短）。 步骤6：解压缩算法 解压缩相对简单：递归解析编码字符串。 如果编码不含 '[' ，直接返回该字符串。 否则找到数字 k 和括号内的子编码 sub ，递归解压 sub 得到字符串 t ，然后返回 k 个 t 的连接。 实现时可以用栈模拟，或者递归下降解析。 步骤7：复杂度分析 滚动哈希预处理：O(n)。 递归过程中，每个区间 (l, r) 需要检查所有可能的 len ，每个 len 检查需要 O(L/len) 次哈希比较，总体 O(n²) 级别。 加上记忆化，总状态数 O(n²)，每个状态处理可能需要 O(n) 时间（检查所有 len 和分割点），最坏 O(n³)。但在实际字符串中，重复模式不会太复杂，加上哈希加速，可以接受中等长度的输入（几百到几千）。 示例演示 以 s = "abababab" 为例： 预处理滚动哈希。 调用 dfs(0, 8) ： L=8，检查 len=1: "a" 重复8次？哈希检查通过 → 候选 "8[ a ]"。 len=2: "ab" 重复4次？哈希检查通过 → 候选 "4[ ab ]"。 len=4: "abab" 重复2次？哈希检查通过 → 候选 "2[ abab ]"。 选择最短的候选：比较长度，"4[ ab]" 最短（长度为5），"8[ a]" 长度为4但解压后是"aaaaaaaa"与原串不符？注意：我们的压缩必须是无损的，所以必须用整体重复单元，这里 "a" 重复8次得到 "aaaaaaaa" ≠ "abababab"，所以 len=1 不通过（因为哈希虽然可能相等，但字符串验证会失败）。所以实际最短的是 "4[ ab ]"。 然后递归压缩 "ab"：长度2，直接返回 "ab"。 最终压缩结果为 "4[ ab ]"。 解压时，看到 "4[ ab ]"，解压 "ab" 得到 "ab"，重复4次 → "abababab"。 总结 本算法结合滚动哈希高效检测重复模式，通过递归分割和记忆化搜索找到最短压缩编码。核心是利用哈希快速判断子串重复性，避免不必要的字符串比较，从而在可接受时间内解决中等规模字符串的压缩问题。