合并相邻石子堆的最大总得分问题（每次合并得分等于两堆石子数量之和的立方，求最大总得分）
字数 2617 2025-12-21 11:11:51

合并相邻石子堆的最大总得分问题（每次合并得分等于两堆石子数量之和的立方，求最大总得分）

题目描述

有 \(n\) 堆石子排成一列，第 \(i\) 堆石子有 \(a_i\) 个。每次操作可以合并相邻的两堆石子，合并后新的一堆石子数量为原来两堆石子数量之和，并得到得分，得分为两堆石子数量之和的立方。不断合并，直到只剩一堆石子。求可以获得的最大总得分。

示例（假设石子堆为 [1, 2, 3]）：

  • 先合并 1 和 2，新堆为 3（得分 = (1+2)^3 = 27），当前石子堆为 [3, 3]。
  • 再合并 3 和 3，新堆为 6（得分 = (3+3)^3 = 216），总得分 = 27 + 216 = 243。
  • 如果先合并 2 和 3，新堆为 5（得分 = 125），当前石子堆为 [1, 5]。
  • 再合并 1 和 5，新堆为 6（得分 = 216），总得分 = 125 + 216 = 341。
    可见不同的合并顺序会导致不同的总得分，目标是最大化总得分。

数据范围：
石子堆数 \(1 \le n \le 100\)（常见范围），每堆石子数量 \(1 \le a_i \le 100\)。

解题思路

1. 区间动态规划（区间DP）适用性

本题中，石子是线性排列的，每次合并相邻两堆，最终将所有石子合并为一堆。合并顺序决定了最终总得分，这是经典的“合并类”区间DP问题（类似于“石子合并”的标准问题，但得分计算不同）。

为什么可以用区间DP？

  • 每次合并相邻两堆，相当于将某个区间 \([l, r]\) 内的所有石子合并为一堆，最后一步合并时是将区间分成两个子区间 \([l, k]\) 和 \([k+1, r]\) 各自合并得到的两堆再合并。
  • 子问题之间独立：区间 \([l, r]\) 合并为一堆的最大得分，只依赖于其子区间合并的最大得分，以及最后一步合并的得分。

2. 定义状态

设 \(dp[l][r]\) 表示将区间 \([l, r]\) 内的所有石子合并为一堆所能获得的最大总得分（注意：这里的“总得分”指的是在该区间内部进行所有合并操作所得到的总分，不包括区间之外的合并）。

区间和：为方便计算最后一步合并的得分，我们需要知道区间内石子总数量。设 \(sum[l][r]\) 表示区间 \([l, r]\) 的石子总数量。可以用前缀和快速计算：
\(S[i] = a_1 + a_2 + ... + a_i\)（前缀和），则 \(sum[l][r] = S[r] - S[l-1]\)。

3. 状态转移方程

考虑区间 \([l, r]\) 如何合并为一堆：
最后一步一定是将区间分成左右两部分 \([l, k]\) 和 \([k+1, r]\) 分别合并成两堆，然后将这两堆合并。这一步合并的得分为：

\[\left( sum[l][r] \right)^3 \]

因为合并时两堆的石子数分别为 \(sum[l][k]\) 和 \(sum[k+1][r]\)，而它们的和就是 \(sum[l][r]\)。
得分函数是立方，所以是 \((sum[l][r])^3\)。注意：合并得分只取决于两堆石子总数，和之前如何合并无关。

那么，区间 \([l, r]\) 的最大总得分 = 左子区间最大得分 + 右子区间最大得分 + 最后一步合并得分：

\[dp[l][r] = \max_{k = l}^{r-1} \left( dp[l][k] + dp[k+1][r] + (sum[l][r])^3 \right) \]

边界条件：当区间长度为 1 时（即 \(l = r\)），只有一堆石子，不需要合并，得分为 0。所以：

\[dp[l][l] = 0 \]

4. 计算顺序

区间DP通常按照区间长度从小到大计算：

  • 长度 \(len = 1\)：\(dp[l][l] = 0\)
  • 长度 \(len = 2\) 到 \(n\)：
    • 遍历起点 \(l = 1\) 到 \(n-len+1\)，计算终点 \(r = l+len-1\)
    • 对于每个 \([l, r]\)，遍历分界点 \(k = l\) 到 \(r-1\)，更新 \(dp[l][r]\)

5. 最终答案

整个序列为 \([1, n]\)，所以最大总得分是 \(dp[1][n]\)。

具体例子

石子堆：\(a = [1, 2, 3]\)，前缀和 \(S = [0, 1, 3, 6]\)（下标从1开始，S[0]=0）。

计算过程：

  1. 初始化 \(dp[l][l] = 0\)。
  2. 长度 len=2：
    • [1,2]：\(sum=3\)，\(dp[1][2] = dp[1][1]+dp[2][2]+3^3 = 0+0+27=27\)
    • [2,3]：\(sum=5\)，\(dp[2][3] = 0+0+125=125\)
  3. 长度 len=3：
    • [1,3]：\(sum=6\)，分界点 k=1 或 2
      • k=1：左[1,1]右[2,3]：0 + 125 + 6^3 = 0+125+216=341
      • k=2：左[1,2]右[3,3]：27 + 0 + 216 = 243
        最大值是 341。

答案：341。

算法复杂度

  • 状态数：\(O(n^2)\)
  • 每个状态转移枚举分界点：\(O(n)\)
  • 总时间复杂度：\(O(n^3)\)，在 \(n \le 100\) 时可行。
  • 空间复杂度：\(O(n^2)\) 用于 dp 数组和前缀和。

关键点总结

  1. 得分计算是立方：合并最后两堆时，得分是两堆总数之和的立方，即 \((sum[l][r])^3\)。
  2. 区间DP的标准框架：分治思想，枚举最后合并的分界点。
  3. 前缀和快速计算区间和：避免每次重复求和，提高效率。

这个题目是经典“石子合并”的一个变体，区别在于得分函数从“和”变成了“立方和”，但状态转移的结构完全相同，是区间DP的典型练习题。

合并相邻石子堆的最大总得分问题（每次合并得分等于两堆石子数量之和的立方，求最大总得分） 题目描述 有 \( n \) 堆石子排成一列，第 \( i \) 堆石子有 \( a_ i \) 个。每次操作可以 合并相邻的两堆石子 ，合并后新的一堆石子数量为原来两堆石子数量之和，并得到 得分 ，得分为 两堆石子数量之和的立方 。不断合并，直到只剩一堆石子。求 可以获得的最大总得分 。 示例 （假设石子堆为 [ 1, 2, 3 ]）： 先合并 1 和 2，新堆为 3（得分 = (1+2)^3 = 27），当前石子堆为 [ 3, 3 ]。 再合并 3 和 3，新堆为 6（得分 = (3+3)^3 = 216），总得分 = 27 + 216 = 243。 如果先合并 2 和 3，新堆为 5（得分 = 125），当前石子堆为 [ 1, 5 ]。 再合并 1 和 5，新堆为 6（得分 = 216），总得分 = 125 + 216 = 341。 可见不同的合并顺序会导致不同的总得分，目标是最大化总得分。 数据范围 ： 石子堆数 \( 1 \le n \le 100 \)（常见范围），每堆石子数量 \( 1 \le a_ i \le 100 \)。 解题思路 1. 区间动态规划（区间DP）适用性 本题中，石子是线性排列的，每次合并相邻两堆，最终将所有石子合并为一堆。合并顺序决定了最终总得分，这是经典的“合并类”区间DP问题（类似于“石子合并”的标准问题，但得分计算不同）。 为什么可以用区间DP？ 每次合并相邻两堆，相当于将某个区间 \([ l, r]\) 内的所有石子合并为一堆，最后一步合并时是将区间分成两个子区间 \([ l, k]\) 和 \([ k+1, r ]\) 各自合并得到的两堆再合并。 子问题之间独立：区间 \([ l, r ]\) 合并为一堆的最大得分，只依赖于其子区间合并的最大得分，以及最后一步合并的得分。 2. 定义状态 设 \( dp[ l][ r] \) 表示 将区间 \([ l, r]\) 内的所有石子合并为一堆所能获得的最大总得分 （注意：这里的“总得分”指的是在该区间内部进行所有合并操作所得到的总分，不包括区间之外的合并）。 区间和 ：为方便计算最后一步合并的得分，我们需要知道区间内石子总数量。设 \( sum[ l][ r] \) 表示区间 \([ l, r ]\) 的石子总数量。可以用前缀和快速计算： \( S[ i] = a_ 1 + a_ 2 + ... + a_ i \)（前缀和），则 \( sum[ l][ r] = S[ r] - S[ l-1 ] \)。 3. 状态转移方程 考虑区间 \([ l, r ]\) 如何合并为一堆： 最后一步一定是将区间分成左右两部分 \([ l, k]\) 和 \([ k+1, r ]\) 分别合并成两堆，然后将这两堆合并。这一步合并的得分为： \[ \left( sum[ l][ r ] \right)^3 \] 因为合并时两堆的石子数分别为 \( sum[ l][ k] \) 和 \( sum[ k+1][ r] \)，而它们的和就是 \( sum[ l][ r ] \)。 得分函数是立方，所以是 \( (sum[ l][ r ])^3 \)。注意：合并得分只取决于两堆石子总数，和之前如何合并无关。 那么，区间 \([ l, r ]\) 的最大总得分 = 左子区间最大得分 + 右子区间最大得分 + 最后一步合并得分： \[ dp[ l][ r] = \max_ {k = l}^{r-1} \left( dp[ l][ k] + dp[ k+1][ r] + (sum[ l][ r ])^3 \right) \] 边界条件 ：当区间长度为 1 时（即 \( l = r \)），只有一堆石子，不需要合并，得分为 0。所以： \[ dp[ l][ l ] = 0 \] 4. 计算顺序 区间DP通常按照 区间长度从小到大 计算： 长度 \( len = 1 \)：\( dp[ l][ l ] = 0 \) 长度 \( len = 2 \) 到 \( n \)： 遍历起点 \( l = 1 \) 到 \( n-len+1 \)，计算终点 \( r = l+len-1 \) 对于每个 \([ l, r]\)，遍历分界点 \( k = l \) 到 \( r-1 \)，更新 \( dp[ l][ r ] \) 5. 最终答案 整个序列为 \([ 1, n]\)，所以最大总得分是 \( dp[ 1][ n ] \)。 具体例子 石子堆：\( a = [ 1, 2, 3] \)，前缀和 \( S = [ 0, 1, 3, 6] \)（下标从1开始，S[ 0 ]=0）。 计算过程 ： 初始化 \( dp[ l][ l ] = 0 \)。 长度 len=2： [ 1,2]：\( sum=3 \)，\( dp[ 1][ 2] = dp[ 1][ 1]+dp[ 2][ 2 ]+3^3 = 0+0+27=27 \) [ 2,3]：\( sum=5 \)，\( dp[ 2][ 3 ] = 0+0+125=125 \) 长度 len=3： [ 1,3 ]：\( sum=6 \)，分界点 k=1 或 2 k=1：左[ 1,1]右[ 2,3 ]：0 + 125 + 6^3 = 0+125+216=341 k=2：左[ 1,2]右[ 3,3 ]：27 + 0 + 216 = 243 最大值是 341。 答案：341。 算法复杂度 状态数：\( O(n^2) \) 每个状态转移枚举分界点：\( O(n) \) 总时间复杂度：\( O(n^3) \)，在 \( n \le 100 \) 时可行。 空间复杂度：\( O(n^2) \) 用于 dp 数组和前缀和。 关键点总结 得分计算是立方 ：合并最后两堆时，得分是两堆总数之和的立方，即 \( (sum[ l][ r ])^3 \)。 区间DP的标准框架 ：分治思想，枚举最后合并的分界点。 前缀和快速计算区间和 ：避免每次重复求和，提高效率。 这个题目是经典“石子合并”的一个变体，区别在于得分函数从“和”变成了“立方和”，但状态转移的结构完全相同，是区间DP的典型练习题。