非线性规划中的连续凸近似信赖域反射混合算法基础题

字数 3451 2025-12-21 11:00:14

非线性规划中的连续凸近似信赖域反射混合算法基础题

题目描述

考虑一个带有非凸目标函数和凸不等式约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} &\quad f(x) \\ \text{s.t.} &\quad g_i(x) \le 0, \quad i=1,2,\dots,m \end{aligned} \]

其中：

目标函数 \(f(x)\) 是非凸、可微的；
约束函数 \(g_i(x)\) 是凸、可微的；
可行域记为 \(S = \{x \mid g_i(x) \le 0, \, i=1,\dots,m\}\)。

我们要求解此问题，但不假设目标函数为凸函数，因此传统凸优化方法无法直接应用。这里引入一种结合了连续凸近似（Successive Convex Approximation, SCA） 与信赖域反射（Trust Region Reflection, TRR） 的混合算法，该算法能够处理非凸目标，同时在迭代过程中确保可行性并提升收敛性。

解题过程循序渐进讲解

第一步：理解算法的基本思想

该混合算法的核心思想是：

在每一步迭代点 \(x^k\) 处，构造目标函数 \(f(x)\) 的一个凸近似模型 \(q_k(x)\)，使其在 \(x^k\) 附近近似 \(f(x)\)。
利用信赖域策略限制每一步的移动范围，避免因近似模型不准确而导致发散。
引入反射步（当试探步被拒绝时，在信赖域内尝试一个“反射”方向，以加速收敛）。
由于约束是凸的，可直接在凸近似子问题中保留原约束，确保迭代点始终可行。

第二步：构造凸近似模型

在第 \(k\) 次迭代，当前点为 \(x^k\)。我们需要构造一个凸函数 \(q_k(x)\) 来近似 \(f(x)\)，常用的方法是基于一阶泰勒展开并添加一个正定二次项：

\[q_k(x) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^\top (x - x^k) + \frac{1}{2} (x - x^k)^\top B_k (x - x^k) \]

其中：

\(\nabla f(x^k)\) 是目标函数在 \(x^k\) 处的梯度；
\(B_k\) 是一个对称正定矩阵，用于保证 \(q_k(x)\) 是凸函数（例如，取 \(B_k = \lambda_k I\)，其中 \(\lambda_k > 0\) 足够大，或采用拟牛顿更新得到正定近似 Hessian）。

第三步：建立带信赖域的子问题

在信赖域半径 \(\Delta_k > 0\) 内求解如下凸优化子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} &\quad q_k(x^k + d) \\ \text{s.t.} &\quad g_i(x^k + d) \le 0, \quad i=1,\dots,m \\ &\quad \|d\| \le \Delta_k \end{aligned} \]

其中：

决策变量是位移 \(d = x - x^k\)；
约束 \(g_i(x^k + d) \le 0\) 是凸的（因 \(g_i\) 是凸函数）；
信赖域约束 \(\|d\| \le \Delta_k\) 通常取为 2-范数或 ∞-范数，这里假设为 2-范数。

注意：子问题是凸的（目标为凸二次，约束为凸集交集），可用内点法、投影梯度法等有效求解。

第四步：计算试探步与反射步

求解子问题得到试探步 \(d_k^t\)，并计算试探点 \(x^+ = x^k + d_k^t\)。
计算实际下降量与预测下降量的比值：

\[ \rho_k = \frac{f(x^k) - f(x^+)}{q_k(x^k) - q_k(x^+)} \]

这个比值衡量近似模型的准确程度。
3. 如果 \(\rho_k\) 较大（例如 \(\rho_k \ge \eta_1 > 0\)），说明近似较好，接受试探点 \(x^{k+1} = x^+\)，并可能扩大信赖域半径。
4. 如果 \(\rho_k\) 很小（例如 \(\rho_k < \eta_1\)），说明近似较差，拒绝试探点。此时，尝试反射步：

计算反射方向 \(d_k^r = -\alpha \, d_k^t\)，其中 \(0 < \alpha < 1\) 为反射系数（例如 \(\alpha=0.5\)）。
在满足约束和信赖域限制下，沿反射方向寻找一个新点 \(x^r = x^k + d_k^r\)。
如果 \(f(x^r) < f(x^k)\)，则接受反射点 \(x^{k+1} = x^r\)；否则保持当前点 \(x^{k+1} = x^k\) 并缩小信赖域半径。

反射步的引入旨在利用坏方向的反方向可能带来下降的性质，避免算法停滞。

第五步：更新信赖域半径

信赖域半径 \(\Delta_k\) 根据比值 \(\rho_k\) 更新：

若 \(\rho_k \ge \eta_2\)（例如 \(\eta_2=0.9\)），表明模型很准确，可扩大半径：\(\Delta_{k+1} = \min(\gamma_1 \Delta_k, \Delta_{\max})\)。
若 \(\eta_1 \le \rho_k < \eta_2\)（例如 \(\eta_1=0.1\)），保持半径：\(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
若 \(\rho_k < \eta_1\)，缩小半径：\(\Delta_{k+1} = \gamma_2 \Delta_k\)，其中 \(0 < \gamma_2 < 1 < \gamma_1\)。

第六步：算法流程总结

初始化：给定初始点 \(x^0 \in S\)，信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，参数 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)，\(0 < \gamma_2 < 1 < \gamma_1\)，反射系数 \(\alpha \in (0,1)\)。设 \(k=0\)。
循环直到收敛：
a. 构造凸近似模型 \(q_k(x)\)。
b. 求解信赖域子问题得到试探步 \(d_k^t\)。
c. 计算比值 \(\rho_k\)。
d. 若 \(\rho_k \ge \eta_1\)，接受试探点，更新 \(x^{k+1} = x^k + d_k^t\)。
e. 否则，尝试反射步：
- 计算反射方向 \(d_k^r = -\alpha d_k^t\)。
- 若 \(x^k + d_k^r\) 满足约束且 \(f(x^k + d_k^r) < f(x^k)\)，则 \(x^{k+1} = x^k + d_k^r\)；否则 \(x^{k+1} = x^k\)。
  f. 根据 \(\rho_k\) 更新信赖域半径 \(\Delta_{k+1}\)。
  g. 更新 \(B_k\)（若使用拟牛顿法）并令 \(k \leftarrow k+1\)。

第七步：收敛性分析要点

由于约束是凸的，子问题始终可行，且迭代点始终满足约束。
反射步仅在试探步被拒绝时使用，它提供了额外的下降机会，但不会破坏收敛性。
在适当条件下（如 \(B_k\) 一致正定有界，\(f\) 连续可微且有下界），算法生成的序列 \(\{x^k\}\) 的任一极限点都是原问题的稳定点（即满足 KKT 条件）。
反射步的引入可以改善收敛速度，尤其在非凸目标函数具有“峡谷”形态时。

关键点提醒

凸近似的构建是算法的核心，要确保 \(q_k(x)\) 是凸的且在 \(x^k\) 附近足够接近 \(f(x)\)。
信赖域控制步长，保证全局收敛性。
反射步是一种加速技巧，当试探步失败时尝试相反方向，但需小心控制步长以免破坏收敛性。
该混合算法特别适合目标函数非凸但约束为凸的问题，因为它保持了可行性并利用了凸优化的高效子求解器。

通过以上步骤，你可以逐步实现并理解该混合算法的工作机制。如果需要，我可以进一步给出一个简单数值例子来说明具体迭代细节。

非线性规划中的连续凸近似信赖域反射混合算法基础题题目描述考虑一个带有非凸目标函数和凸不等式约束的非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} &\quad f(x) \\ \text{s.t.} &\quad g_ i(x) \le 0, \quad i=1,2,\dots,m \end{aligned} \] 其中：目标函数 \(f(x)\) 是非凸、可微的；约束函数 \(g_ i(x)\) 是凸、可微的；可行域记为 \(S = \{x \mid g_ i(x) \le 0, \, i=1,\dots,m\}\)。我们要求解此问题，但不假设目标函数为凸函数，因此传统凸优化方法无法直接应用。这里引入一种结合了连续凸近似（Successive Convex Approximation, SCA）与信赖域反射（Trust Region Reflection, TRR）的混合算法，该算法能够处理非凸目标，同时在迭代过程中确保可行性并提升收敛性。解题过程循序渐进讲解第一步：理解算法的基本思想该混合算法的核心思想是：在每一步迭代点 \(x^k\) 处，构造目标函数 \(f(x)\) 的一个凸近似模型 \(q_ k(x)\)，使其在 \(x^k\) 附近近似 \(f(x)\)。利用信赖域策略限制每一步的移动范围，避免因近似模型不准确而导致发散。引入反射步（当试探步被拒绝时，在信赖域内尝试一个“反射”方向，以加速收敛）。由于约束是凸的，可直接在凸近似子问题中保留原约束，确保迭代点始终可行。第二步：构造凸近似模型在第 \(k\) 次迭代，当前点为 \(x^k\)。我们需要构造一个凸函数 \(q_ k(x)\) 来近似 \(f(x)\)，常用的方法是基于一阶泰勒展开并添加一个正定二次项： \[ q_ k(x) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^\top (x - x^k) + \frac{1}{2} (x - x^k)^\top B_ k (x - x^k) \] 其中： \(\nabla f(x^k)\) 是目标函数在 \(x^k\) 处的梯度； \(B_ k\) 是一个对称正定矩阵，用于保证 \(q_ k(x)\) 是凸函数（例如，取 \(B_ k = \lambda_ k I\)，其中 \(\lambda_ k > 0\) 足够大，或采用拟牛顿更新得到正定近似 Hessian）。第三步：建立带信赖域的子问题在信赖域半径 \(\Delta_ k > 0\) 内求解如下凸优化子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} &\quad q_ k(x^k + d) \\ \text{s.t.} &\quad g_ i(x^k + d) \le 0, \quad i=1,\dots,m \\ &\quad \|d\| \le \Delta_ k \end{aligned} \] 其中：决策变量是位移 \(d = x - x^k\)；约束 \(g_ i(x^k + d) \le 0\) 是凸的（因 \(g_ i\) 是凸函数）；信赖域约束 \(\|d\| \le \Delta_ k\) 通常取为 2-范数或 ∞-范数，这里假设为 2-范数。注意：子问题是凸的（目标为凸二次，约束为凸集交集），可用内点法、投影梯度法等有效求解。第四步：计算试探步与反射步求解子问题得到试探步 \(d_ k^t\)，并计算试探点 \(x^+ = x^k + d_ k^t\)。计算实际下降量与预测下降量的比值： \[ \rho_ k = \frac{f(x^k) - f(x^+)}{q_ k(x^k) - q_ k(x^+)} \] 这个比值衡量近似模型的准确程度。如果 \(\rho_ k\) 较大（例如 \(\rho_ k \ge \eta_ 1 > 0\)），说明近似较好，接受试探点 \(x^{k+1} = x^+\)，并可能扩大信赖域半径。如果 \(\rho_ k\) 很小（例如 \(\rho_ k < \eta_ 1\)），说明近似较差，拒绝试探点。此时，尝试反射步：计算反射方向 \(d_ k^r = -\alpha \, d_ k^t\)，其中 \(0 < \alpha < 1\) 为反射系数（例如 \(\alpha=0.5\)）。在满足约束和信赖域限制下，沿反射方向寻找一个新点 \(x^r = x^k + d_ k^r\)。如果 \(f(x^r) < f(x^k)\)，则接受反射点 \(x^{k+1} = x^r\)；否则保持当前点 \(x^{k+1} = x^k\) 并缩小信赖域半径。反射步的引入旨在利用坏方向的反方向可能带来下降的性质，避免算法停滞。第五步：更新信赖域半径信赖域半径 \(\Delta_ k\) 根据比值 \(\rho_ k\) 更新：若 \(\rho_ k \ge \eta_ 2\)（例如 \(\eta_ 2=0.9\)），表明模型很准确，可扩大半径：\(\Delta_ {k+1} = \min(\gamma_ 1 \Delta_ k, \Delta_ {\max})\)。若 \(\eta_ 1 \le \rho_ k < \eta_ 2\)（例如 \(\eta_ 1=0.1\)），保持半径：\(\Delta_ {k+1} = \Delta_ k\)。若 \(\rho_ k < \eta_ 1\)，缩小半径：\(\Delta_ {k+1} = \gamma_ 2 \Delta_ k\)，其中 \(0 < \gamma_ 2 < 1 < \gamma_ 1\)。第六步：算法流程总结初始化：给定初始点 \(x^0 \in S\)，信赖域半径 \(\Delta_ 0 > 0\)，参数 \(0 < \eta_ 1 < \eta_ 2 < 1\)，\(0 < \gamma_ 2 < 1 < \gamma_ 1\)，反射系数 \(\alpha \in (0,1)\)。设 \(k=0\)。循环直到收敛： a. 构造凸近似模型 \(q_ k(x)\)。 b. 求解信赖域子问题得到试探步 \(d_ k^t\)。 c. 计算比值 \(\rho_ k\)。 d. 若 \(\rho_ k \ge \eta_ 1\)，接受试探点，更新 \(x^{k+1} = x^k + d_ k^t\)。 e. 否则，尝试反射步：计算反射方向 \(d_ k^r = -\alpha d_ k^t\)。若 \(x^k + d_ k^r\) 满足约束且 \(f(x^k + d_ k^r) < f(x^k)\)，则 \(x^{k+1} = x^k + d_ k^r\)；否则 \(x^{k+1} = x^k\)。 f. 根据 \(\rho_ k\) 更新信赖域半径 \(\Delta_ {k+1}\)。 g. 更新 \(B_ k\)（若使用拟牛顿法）并令 \(k \leftarrow k+1\)。第七步：收敛性分析要点由于约束是凸的，子问题始终可行，且迭代点始终满足约束。反射步仅在试探步被拒绝时使用，它提供了额外的下降机会，但不会破坏收敛性。在适当条件下（如 \(B_ k\) 一致正定有界，\(f\) 连续可微且有下界），算法生成的序列 \(\{x^k\}\) 的任一极限点都是原问题的稳定点（即满足 KKT 条件）。反射步的引入可以改善收敛速度，尤其在非凸目标函数具有“峡谷”形态时。关键点提醒凸近似的构建是算法的核心，要确保 \(q_ k(x)\) 是凸的且在 \(x^k\) 附近足够接近 \(f(x)\)。信赖域控制步长，保证全局收敛性。反射步是一种加速技巧，当试探步失败时尝试相反方向，但需小心控制步长以免破坏收敛性。该混合算法特别适合目标函数非凸但约束为凸的问题，因为它保持了可行性并利用了凸优化的高效子求解器。通过以上步骤，你可以逐步实现并理解该混合算法的工作机制。如果需要，我可以进一步给出一个简单数值例子来说明具体迭代细节。