非线性规划中的自适应信赖域反射牛顿法进阶题：处理非凸、非光滑、大规模稀疏约束优化
题目描述
考虑以下非线性规划问题：
\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_i(x) \ge 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \]
其中：
- 目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 二阶连续可微，但非凸；
- 等式约束 \(c_i(x)\) 和不等式约束 \(c_i(x) \ge 0\) 均为非光滑的（例如包含绝对值、最大值函数等），但可求次梯度；
- 问题维度 \(n\) 很高（例如 \(n \ge 10^4\)），约束条件个数 \(|\mathcal{E}| + |\mathcal{I}|\) 也很大；
- 约束的雅可比矩阵是稀疏的，可以利用稀疏结构加速计算。
任务：设计一种结合自适应信赖域、反射技巧、牛顿型方法和非光滑处理策略的算法，高效求解该类问题，并解释算法的关键步骤、收敛性保证和计算复杂度。
解题思路讲解
本问题具有三个难点：非凸性、非光滑约束、大规模稀疏性。我们将通过以下步骤构建算法：
- 引入光滑近似处理非光滑约束：用光滑函数（如Huber函数）近似非光滑部分，将原问题转化为光滑近似问题。
- 构建增广拉格朗日函数：将约束问题转化为一系列无约束子问题，同时引入自适应信赖域控制步长有效性。
- 在信赖域内使用反射牛顿步：针对子问题，计算牛顿型方向并结合反射技巧处理约束边界，保证可行性。
- 自适应机制：根据优化进展动态调整信赖域半径、光滑参数和罚参数，提高鲁棒性和收敛速度。
- 利用稀疏结构：在牛顿方程求解中使用稀疏线性代数技术，降低存储和计算成本。
详细解题步骤
步骤1：光滑化非光滑约束
由于 \(c_i(x)\) 非光滑（如 \(c_i(x) = |g_i(x)|\)），我们引入光滑近似。例如，用Huber函数近似绝对值：
\[\tilde{c}_i(x; \mu) = \begin{cases} g_i(x) - \frac{\mu}{2}, & \text{if } g_i(x) \ge \mu, \\ \frac{g_i(x)^2}{2\mu}, & \text{if } |g_i(x)| < \mu, \\ -g_i(x) - \frac{\mu}{2}, & \text{if } g_i(x) \le -\mu, \end{cases} \]
其中 \(\mu > 0\) 是光滑参数。当 \(\mu \to 0\) 时，\(\tilde{c}_i\) 一致收敛于 \(|g_i(x)|\)。对所有非光滑约束做类似处理，得到光滑近似问题。
作用：将非光滑约束转化为光滑约束，使得可以使用基于梯度的优化方法。
步骤2：构建增广拉格朗日函数与自适应信赖域子问题
定义增广拉格朗日函数：
\[\mathcal{L}_A(x, \lambda, \sigma; \mu) = f(x) + \sum_{i \in \mathcal{E}} \lambda_i \tilde{c}_i(x; \mu) + \frac{\sigma}{2} \sum_{i \in \mathcal{E}} \tilde{c}_i(x; \mu)^2 + \sum_{i \in \mathcal{I}} \lambda_i \max(0, -\tilde{c}_i(x; \mu)) + \frac{\sigma}{2} \sum_{i \in \mathcal{I}} \max(0, -\tilde{c}_i(x; \mu))^2, \]
其中 \(\lambda\) 是拉格朗日乘子估计，\(\sigma > 0\) 是罚参数。在每一步迭代 \(k\) 中，我们求解以下信赖域子问题：
\[\min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad m_k(d) = \nabla_x \mathcal{L}_A(x_k, \lambda_k, \sigma_k; \mu_k)^\top d + \frac{1}{2} d^\top B_k d \]
\[ \text{s.t.} \quad \|d\| \le \Delta_k, \]
其中：
- \(B_k\) 是 \(\nabla_{xx}^2 \mathcal{L}_A\) 的稀疏近似（例如拟牛顿BFGS更新，保持稀疏性）；
- \(\Delta_k\) 是当前信赖域半径。
为什么用增广拉格朗日函数：它将约束违反惩罚和拉格朗日乘子结合，相比纯罚函数有更好的条件数和精确性。
步骤3：反射牛顿步的计算
在信赖域内计算搜索方向 \(d_k\) 时，采用牛顿型步的反射技巧：
- 求解信赖域子问题得到候选步 \(d_k^{\text{raw}}\)（例如用截断共轭梯度法，利用稀疏结构加速）。
- 定义反射步：若候选步导致违反边界（如变量越界或线性化约束违反），则将步长沿约束边界反射：
\[d_k = \mathcal{P}(x_k + d_k^{\text{raw}}) - x_k, \]
其中 \(\mathcal{P}\) 是投影算子，将点投影到可行域的线性化近似内。
3. 计算实际下降量与预测下降量的比值：
\[\rho_k = \frac{\mathcal{L}_A(x_k, \lambda_k, \sigma_k; \mu_k) - \mathcal{L}_A(x_k + d_k, \lambda_k, \sigma_k; \mu_k)}{m_k(0) - m_k(d_k)}. \]
反射技巧的作用：在非凸情况下，避免无效的步长，提高可行性保持能力。
步骤4：自适应调整策略
- 信赖域半径更新：
\[\Delta_{k+1} = \begin{cases} \max(0.25 \Delta_k, \delta_{\min}), & \text{if } \rho_k < \eta_1, \\ \Delta_k, & \text{if } \eta_1 \le \rho_k < \eta_2, \\ \min(2 \Delta_k, \delta_{\max}), & \text{if } \rho_k \ge \eta_2, \end{cases} \]
其中 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)，\(\delta_{\min}\) 和 \(\delta_{\max}\) 是半径上下界。
- 光滑参数 \(\mu_k\) 更新：
若约束违反度 \(\|\tilde{c}(x_k; \mu_k)\|\) 足够小，则减小 \(\mu_k\)：
\[\mu_{k+1} = \max(\mu_{\min}, \tau_\mu \mu_k), \quad \tau_\mu \in (0,1). \]
否则保持 \(\mu_{k+1} = \mu_k\)。
- 罚参数 \(\sigma_k\) 更新：
若约束违反度下降不足，则增大罚参数以增强惩罚：
\[\sigma_{k+1} = \min(\sigma_{\max}, \gamma_\sigma \sigma_k), \quad \gamma_\sigma > 1. \]
自适应机制的意义：平衡目标下降与约束满足，避免手动调参，适应问题局部几何。
步骤5：拉格朗日乘子更新与收敛判断
- 乘子更新：
\[\lambda_i^{k+1} = \lambda_i^k + \sigma_k \cdot \begin{cases} \tilde{c}_i(x_{k+1}; \mu_k), & i \in \mathcal{E}, \\ \max(0, -\tilde{c}_i(x_{k+1}; \mu_k)), & i \in \mathcal{I}. \end{cases} \]
- 收敛判断：若以下条件同时满足，则停止：
\[\|\nabla_x \mathcal{L}_A(x_k, \lambda_k, \sigma_k; \mu_k)\| \le \epsilon, \quad \|\tilde{c}(x_k; \mu_k)\| \le \epsilon, \quad \mu_k \le \mu_{\min}. \]
其中 \(\epsilon > 0\) 是容忍度。
步骤6：算法流程总结
- 初始化 \(x_0, \lambda_0, \sigma_0, \mu_0, \Delta_0, B_0\)（例如 \(B_0 = I\)）。
- 对 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 循环：
a. 构建光滑近似约束 \(\tilde{c}(x; \mu_k)\)。
b. 计算增广拉格朗日函数 \(\mathcal{L}_A\) 及其梯度与Hessian近似 \(B_k\)。
c. 求解信赖域子问题得候选步 \(d_k^{\text{raw}}\)，计算反射步 \(d_k\)。
d. 计算比值 \(\rho_k\)，更新 \(x_{k+1} = x_k + d_k\)（若 \(\rho_k > 0\)）。
e. 自适应更新 \(\Delta_{k+1}, \mu_{k+1}, \sigma_{k+1}\)。
f. 更新乘子 \(\lambda_{k+1}\) 和 Hessian 近似 \(B_{k+1}\)（稀疏拟牛顿更新）。
g. 检查收敛条件，若满足则输出 \(x_{k+1}\) 为近似解。
关键特性与注意事项
- 稀疏性利用：在计算梯度和Hessian时，利用约束雅可比的稀疏结构，使用稀疏线性代数求解牛顿方程。
- 收敛性：在适当条件下（如光滑近似一致收敛、Hessian近似一致正定），算法可收敛到一阶临界点。
- 计算复杂度：每次迭代主要成本在求解信赖域子问题（稀疏线性系统），复杂度为 \(O(\text{nnz}(B_k)^{1.5})\)，其中 nnz 是非零元个数。
示例应用场景
该算法适合处理大规模结构优化、带非光滑罚项的机器学习模型训练、电力系统最优潮流（含非光滑约束）等问题。
通过以上步骤，我们构建了一个可处理非凸、非光滑、大规模稀疏约束的自适应信赖域反射牛顿法。它的核心在于光滑近似转化非光滑、增广拉格朗日处理约束、反射技巧增强可行性、自适应机制调节参数，使得算法在大规模问题上仍保持计算可行性和收敛性。