合并相邻同色字符的最小操作次数问题（每次合并两个相邻同色字符，合并产生新字符，新字符颜色可不同，每次合并有操作成本）

问题描述

给定一个字符串 s，长度为 n，每个字符有一个颜色（用一个小写英文字母表示）。初始字符串为 s[0..n-1]。你可以重复执行以下操作：

1. 选择两个相邻且颜色相同的字符 s[i] 和 s[i+1]。
2. 将它们合并为一个新字符，新字符的颜色可以与原来的颜色不同（也可以相同，具体颜色由规则表给出）。
3. 此操作会消耗一定的操作次数（合并成本），具体成本由规则表给出。
4. 合并后，原来两个字符消失，新字符占据它们的位置，字符串长度减少 1。

你的目标是通过一系列这样的操作，将整个字符串最终合并为一个字符，并且最小化总操作次数。

你需要知道规则表：

• 用 (a, b, c, cost) 表示：当合并两个颜色均为 a 的字符时，可以生成颜色为 c 的新字符，且这次合并的操作成本为 cost。
• 注意：对于同一种输入颜色 a，可能有多种输出颜色 c 的选择，且对应不同成本。
• 题目保证至少有一种方式可以将字符串合并为一个字符。

举例：
假设字符串为 "aa"，颜色规则为：(a, a, a, 2) 和 (a, a, b, 3)。

• 如果选择合并为 a，成本 = 2，最终字符为 a。
• 如果选择合并为 b，成本 = 3，最终字符为 b。
  最终答案为 2。

如果字符串更长，你需要选择合并顺序和每次合并产生的新颜色，使得总成本最小。

思路分析

这是一个典型的区间动态规划（Interval DP）问题，因为每次合并会减少一个字符，最终要合并整个区间为一个字符。我们可以定义状态来表示一个区间合并成某种颜色的最小成本。

状态定义：
dp[i][j][c] = 将区间 s[i..j] 合并成一个颜色为 c 的字符所需的最小操作次数。
其中 i 和 j 是区间端点（0 ≤ i ≤ j < n），c 是颜色（例如 'a' 到 'z' 共 26 种颜色）。

最终答案：
合并整个区间 [0, n-1] 成一个字符的最小成本，即
min{ dp[0][n-1][c] 对所有颜色 c }。

状态转移思路：
考虑区间 [i, j] 如何合并成一个颜色为 c 的字符。
最后一步操作一定是将区间内最后两个合并成的字符（它们各自已经是某个颜色）再进行一次合并，得到颜色 c。
但我们需要知道这两个字符的颜色是什么。

我们可以这样分解：

• 假设区间 [i, j] 在最后一步合并时，左半部分合并成颜色 x，右半部分合并成颜色 y，且 x 和 y 可以合并成颜色 c（根据规则表）。
• 左半部分区间是 [i, k]，右半部分区间是 [k+1, j]，其中 k 是分界点（i ≤ k < j）。
• 那么总成本 = 将 [i, k] 合并成颜色 x 的最小成本 + 将 [k+1, j] 合并成颜色 y 的最小成本 + 合并 (x, y, c) 的成本。

但要注意：本题规定合并操作只能合并两个相邻的同色字符，而不是任意两个相邻字符。
那么这里 x 和 y 必须相同，才能合并成 c。
所以最后一步合并时，左半部分和右半部分的颜色必须相同，设为 x，然后根据规则 (x, x, c, cost) 合并成颜色 c。

因此状态转移方程为：

dp[i][j][c] = min {
    for k from i to j-1:
        for color x in 所有颜色:
            if 存在规则 (x, x, c, cost):
                dp[i][j][c] = min(dp[i][j][c], dp[i][k][x] + dp[k+1][j][x] + cost)
}

其中 dp[i][k][x] 表示区间 [i, k] 合并成颜色 x 的最小成本，同理 dp[k+1][j][x]。

边界条件：
区间长度为 1 时，即 i == j：

• 如果 c 与 s[i] 的颜色相同，则 dp[i][i][c] = 0（不需要合并，已经是这个颜色）。
• 否则 dp[i][i][c] = INF（不可能直接得到一个不同颜色的单字符，因为没有合并操作）。

具体步骤

假设颜色集合为 colors = {'a', 'b', ..., 'z'} 中的一部分，规则表用 rules 存储，每条规则是 (x, x, c, cost) 表示两个颜色为 x 的字符合并成颜色 c 的成本为 cost。

1. 初始化：

   • 设 n = len(s)。
   • 定义 dp[n][n][numColors] 为一个大数组，初始值为 INF（一个很大的数，表示不可能）。
   • 对于每个 i 从 0 到 n-1：
     • 设 color_i = s[i] 的颜色。
     • 对每个颜色 c：
       • 如果 c == color_i，dp[i][i][c] = 0。
       • 否则 dp[i][i][c] = INF。

2. 递推计算：
   区间长度 len 从 2 到 n：

   • 对每个起点 i，j = i + len - 1：
     • 对每个颜色 c：
       • 对每个分割点 k 从 i 到 j-1：
         • 对每个颜色 x：
           • 如果存在规则 (x, x, c, cost)：
             • 如果 dp[i][k][x] != INF 且 dp[k+1][j][x] != INF：
               • total = dp[i][k][x] + dp[k+1][j][x] + cost
               • 更新 dp[i][j][c] = min(dp[i][j][c], total)

3. 答案：
   ans = min{ dp[0][n-1][c] 对所有颜色 c }。

示例演示

输入：

s = "aab"
颜色规则：
(a, a, a, 1)   // 两个 a 合并成 a，成本 1
(a, a, b, 2)   // 两个 a 合并成 b，成本 2
(b, b, a, 3)   // 两个 b 合并成 a，成本 3
(b, b, b, 1)   // 两个 b 合并成 b，成本 1

只有颜色 a 和 b 可能出现。

逐步计算：

1. 初始化：

   • dp[0][0]['a'] = 0，dp[0][0]['b'] = INF。
   • dp[1][1]['a'] = 0，dp[1][1]['b'] = INF。
   • dp[2][2]['b'] = 0，dp[2][2]['a'] = INF。

2. 区间长度 2：

   • 区间 [0,1]（"aa"）：
     • 合并成颜色 a：可以左 a 右 a 合并成 a（成本 1），dp[0][1]['a'] = 0+0+1 = 1。
     • 合并成颜色 b：可以左 a 右 a 合并成 b（成本 2），dp[0][1]['b'] = 0+0+2 = 2。
   • 区间 [1,2]（"ab"）：
     • 注意左右颜色不同（a 和 b），无法直接合并，必须先在内部合并成长度为 1 的某种颜色，再与另一边合并。但区间长度为 2 时，必须直接合并左右两个字符，这里左右颜色不同，所以不可能合并成一个字符，所以 dp[1][2][a] = INF，dp[1][2][b] = INF。

3. 区间长度 3 [0,2]（"aab"）：

   • 目标颜色 a：
     • 分割点 k=0：左 [0,0] 右 [1,2]。
       • 左颜色必须 = 右颜色 = x，才能合并成 a。
       • 对 x=a：左 dp[0][0]['a']=0，右 dp[1][2]['a']=INF → 不可能。
       • 对 x=b：左 dp[0][0]['b']=INF → 不可能。
     • 分割点 k=1：左 [0,1] 右 [2,2]。
       • 对 x=a：左 dp[0][1]['a']=1，右 dp[2][2]['a']=INF → 不可能。
       • 对 x=b：左 dp[0][1]['b']=2，右 dp[2][2]['b']=0 → 总 = 2+0=2，再看规则 (b,b,a,3) 可以合并成 a，成本 3，所以总=2+0+3=5 → 更新 dp[0][2]['a']=5。
   • 目标颜色 b：
     • 分割点 k=0：
       • 对 x=a：左 dp[0][0]['a']=0，右 dp[1][2]['a']=INF → 不可能。
       • 对 x=b：左 INF → 不可能。
     • 分割点 k=1：
       • 对 x=a：左 1，右 INF → 不可能。
       • 对 x=b：左 2，右 0 → 总=2，规则 (b,b,b,1) 合并成 b，成本 1，总=2+0+1=3 → 更新 dp[0][2]['b']=3。

4. 答案：
   合并整个区间成一个字符的最小成本 = min(dp[0][2]['a'], dp[0][2]['b']) = min(5, 3) = 3。

解释：
一种最小成本的合并顺序：

• 先合并前两个 'a' 为 'b'（成本 2），字符串变成 "bb"。
• 合并两个 'b' 为 'b'（成本 1），字符串变成 "b"。
  总成本 3。

总结

这个问题的核心在于：

• 状态定义为 dp[i][j][c] 表示区间 [i, j] 合并成单一颜色 c 的最小成本。
• 状态转移时，必须保证最后合并的两个子区间颜色相同，然后根据规则合并成目标颜色。
• 需要枚举分界点、左半部分的颜色、右半部分的颜色（必须相同）以及目标颜色。
• 时间复杂度 O(n^3 * m^2)，其中 n 是字符串长度，m 是颜色种类数（通常 ≤ 26），在合理范围内可解。

通过这个例子，你可以看到区间动态规划在处理合并类问题时的通用思路：从小区间合并到大区间，记录区间合并成各种可能状态的最优值。