非线性规划中的序列随机拟牛顿法 (Sequential Stochastic Quasi-Newton Method) 基础题

字数 5009 2025-12-21 05:15:55

非线性规划中的序列随机拟牛顿法 (Sequential Stochastic Quasi-Newton Method) 基础题

题目描述

考虑一个大规模的无约束非线性规划问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

其中，目标函数 $f(x)$ 是连续可微的，但具有以下特点：

高维度：变量 $n$ 很大（例如， $n \geq 10^4$ ）。
大数据/随机性：目标函数可以表示为大量子函数之和：$f(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f_i(x)$，其中 $N$ 非常大（例如， $N \geq 10^6$ ）。
计算瓶颈：在每次迭代中，计算完整的梯度 $\nabla f(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \nabla f_i(x)$ 的计算代价极高，而计算单个子函数的梯度 $\nabla f_i(x)$ 则相对廉价。

你的任务是：设计并实现一个序列随机拟牛顿法来解决此问题。该方法需结合随机梯度下降(SGD)的低计算成本和拟牛顿法利用曲率信息加速收敛的优点，通过迭代更新一个近似的Hessian逆矩阵 $H_k$，来生成搜索方向 $d_k = -H_k g_k$，其中 $g_k$ 是当前点的随机梯度估计。

要求最终算法能有效处理大规模数据，并在合理的迭代次数内收敛到一个稳定点（近似驻点）。

解题过程循序渐进讲解

第一步：理解问题核心与挑战

面对大规模求和形式的目标函数，传统拟牛顿法（如BFGS）需要计算完整梯度，这在每步迭代的代价是 $O(Nn)$，对于大数据集是不可行的。随机梯度下降(SGD)只使用单个或一小批数据的梯度，代价为 $O(bn)$（$b$ 为批次大小），但收敛慢，因为它忽略了目标函数的曲率信息。

序列随机拟牛顿法的核心思想是：在SGD的框架下，增量式地构建并更新一个对Hessian逆矩阵的近似 $H_k$，从而得到比纯SGD更优的搜索方向。

主要挑战：

如何用随机（有噪声）的梯度信息稳定地更新 $H_k$？
如何保证 $H_k$ 始终保持正定（以保证下降方向）？
如何设计步长 $\alpha_k$ 以适应随机噪声和曲率估计的不确定性？

第二步：算法框架设计

我们设计一个序列（在线） 的算法。在每一步 $k$：

随机采样：从 $\{1, ..., N\}$ 中均匀随机抽取一个索引 $i_k$（或一个小批量索引集 $\mathcal{B}_k$）。
计算随机梯度：$g_k = \nabla f_{i_k}(x_k)$（或 $g_k = \frac{1}{|\mathcal{B}_k|} \sum_{i \in \mathcal{B}_k} \nabla f_i(x_k)$）。
计算搜索方向：$d_k = -H_k g_k$。
执行更新：$x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k$。
更新Hessian逆近似：利用新得到的信息对 $H_k$ 进行更新，得到 $H_{k+1}$。

关键就在于第5步的更新规则。

第三步：确定更新规则（核心）

我们采用随机版本的BFGS更新（oBFGS或rescaled BFGS）。标准BFGS更新公式（对于确定性问题）为：
令 $s_k = x_{k+1} - x_k$， $y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)$。
BFGS更新公式为：

\[H_{k+1} = \left(I - \rho_k s_k y_k^T \right) H_k \left(I - \rho_k y_k s_k^T \right) + \rho_k s_k s_k^T, \quad \rho_k = \frac{1}{y_k^T s_k} \]

条件是 $y_k^T s_k > 0$（曲率条件），以保证 $H_{k+1}$ 正定。

在随机环境下，我们用随机梯度差 $\tilde{y}_k$ 代替真实的梯度差 $y_k$：

\[\tilde{y}_k = \nabla f_{i_k}(x_{k+1}) - \nabla f_{i_k}(x_k) \]

这里用同一个数据样本（或同一个小批量） 计算新旧两点的梯度差。这样做是为了保证更新满足随机曲率条件 $\mathbb{E}[\tilde{y}_k^T s_k] > 0$ 的期望，尽管单次采样可能有噪声。

然而，直接使用 $\tilde{y}_k$ 可能导致 $\tilde{y}_k^T s_k$ 为负或很小，破坏 $H_k$ 的正定性。一个经典的稳定化技巧是进行重缩放(Rescaling)：

\[y_k^{resc} = \theta_k \tilde{y}_k + (1-\theta_k) B_k^{0} s_k \]

其中 $B_k^0$ 是一个正定标度矩阵（常取 $B_k^0 = \delta_k I$， $\delta_k = \frac{\tilde{y}_k^T \tilde{y}_k}{\tilde{y}_k^T s_k}$ 或一个固定常数）， $\theta_k \in [0, 1]$ 是一个调节参数。当 $\tilde{y}_k^T s_k$ 足够大且为正时， $\theta_k \approx 1$；否则 $\theta_k$ 减小，使 $y_k^{resc}$ 更接近 $B_k^0 s_k$，从而保证 $(y_k^{resc})^T s_k > 0$。

为简化，在基础题中，我们可以采用一个更直接的稳定策略：仅当 $\tilde{y}_k^T s_k$ 大于一个正阈值 $\epsilon$ 时才执行BFGS更新，否则跳过更新，保持 $H_{k+1} = H_k$。

第四步：算法步骤详细分解

初始化：
- 选择初始点 $x_0 \in \mathbb{R}^n$。
- 初始化Hessian逆近似 $H_0 = \gamma I$，其中 $\gamma > 0$ 是一个小的正数（例如 $\gamma = 0.001$）或设置为 $1$。
- 选择初始步长 $\alpha_0$（如0.01），衰减率 $\beta$（如0.999），最小值 $\alpha_{min}$。
- 设置最大迭代次数 $K$，曲率阈值 $\epsilon > 0$。
主迭代循环（对于 $k = 0, 1, 2, ..., K-1$）：
a. 随机采样：随机选取一个样本索引 $i_k$（或一个小批量 $\mathcal{B}_k$）。
b. 计算随机梯度：$g_k = \nabla f_{i_k}(x_k)$。
c. 计算搜索方向：$d_k = -H_k g_k$。
d. 更新迭代点：$x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k$。
e. 准备更新信息：
* 计算位移：$s_k = x_{k+1} - x_k$。
* 用同一个样本 $i_k$ 计算随机梯度差：$\tilde{y}_k = \nabla f_{i_k}(x_{k+1}) - \nabla f_{i_k}(x_k)$。
f. 检查曲率条件：计算 $\rho_k = \tilde{y}_k^T s_k$。
* 如果 $\rho_k > \epsilon$，则执行BFGS更新：
* 计算 $\rho_k = 1 / \rho_k$。
* 计算中间向量 $v_k = I - \rho_k \tilde{y}_k s_k^T$。
* 更新：$H_{k+1} = v_k H_k v_k^T + \rho_k s_k s_k^T$。
* 否则，跳过更新：$H_{k+1} = H_k$。
g. 衰减步长：$\alpha_{k+1} = \max(\alpha_{min}, \beta \cdot \alpha_k)$。这是为了在后期抑制随机噪声的影响。
终止：达到最大迭代次数 $K$ 后，输出 $x_K$ 作为近似最优解。

第五步：关键点与注意事项

同一样本梯度差：步骤(e)中使用同一个样本 $i_k$ 计算 $x_k$ 和 $x_{k+1}$ 处的梯度至关重要。这确保了 $\mathbb{E}[\tilde{y}_k] \approx \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)$，且 $\tilde{y}_k^T s_k$ 的期望为正（如果函数是凸的或接近最优点时），满足BFGS更新的内在要求。
条件更新：曲率条件检查（ $\rho_k > \epsilon$ ）是算法的安全阀，防止因噪声导致 $H_k$ 变得不正定或数值不稳定。
步长衰减：使用衰减步长（如 $\alpha_k = \alpha_0 / (1 + \beta k)$ 或几何衰减）对于理论收敛至关重要。在随机优化中，通常需要满足 Robbins-Monro 条件：$\sum \alpha_k = \infty$， $\sum \alpha_k^2 < \infty$。
内存与计算：直接存储和更新 $n \times n$ 的矩阵 $H_k$ 在大规模（n很大）时不可行。因此，在实际的高维实现中，常采用有限内存L-BFGS的随机版本，即只存储最近的 $m$ 对 $(s, y)$ 向量，动态计算 $H_k g_k$，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 降至 $O(mn)$。本题为基础题，我们暂不涉及有限内存技巧。

第六步：简单示例（概念验证）

考虑一个简单的二次函数：$f(x) = \frac{1}{2} x^T A x$，其中 $A$ 是正定矩阵。我们可以将其分解为 $f(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} x^T A_i x$，其中 $A_i$ 是 $A$ 的某种分解（例如，外积形式）。用上述算法求解，可以观察到：

初期，由于随机梯度的噪声，收敛路径有波动。
随着迭代进行，步长衰减，且 $H_k$ 逐渐逼近 $A^{-1}$，搜索方向 $-H_k g_k$ 越来越接近牛顿方向 $-A^{-1} \nabla f(x_k)$。
最终，$x_k$ 会收敛到最优点 $x^* = 0$ 附近的一个邻域内，其大小由步长和噪声决定。

通过这个循序渐进的过程，你应该能够理解序列随机拟牛顿法的动机、核心思想、具体步骤以及实现时的关键考量。它巧妙地在随机优化中引入了二阶信息，旨在达到比SGD更快的收敛速度，同时保持每步较低的计算成本。

非线性规划中的序列随机拟牛顿法 (Sequential Stochastic Quasi-Newton Method) 基础题题目描述考虑一个大规模的无约束非线性规划问题： $$ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) $$ 其中，目标函数 $ f(x) $ 是连续可微的，但具有以下特点：高维度：变量 $ n $ 很大（例如， $ n \geq 10^4 $ ）。大数据/随机性：目标函数可以表示为大量子函数之和：$ f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^{N} f_ i(x) $，其中 $ N $ 非常大（例如， $ N \geq 10^6 $ ）。计算瓶颈：在每次迭代中，计算完整的梯度 $ \nabla f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^{N} \nabla f_ i(x) $ 的计算代价极高，而计算单个子函数的梯度 $ \nabla f_ i(x) $ 则相对廉价。你的任务是：设计并实现一个序列随机拟牛顿法来解决此问题。该方法需结合随机梯度下降(SGD)的低计算成本和拟牛顿法利用曲率信息加速收敛的优点，通过迭代更新一个近似的Hessian逆矩阵 $ H_ k $，来生成搜索方向 $ d_ k = -H_ k g_ k $，其中 $ g_ k $ 是当前点的随机梯度估计。要求最终算法能有效处理大规模数据，并在合理的迭代次数内收敛到一个稳定点（近似驻点）。解题过程循序渐进讲解第一步：理解问题核心与挑战面对大规模求和形式的目标函数，传统拟牛顿法（如BFGS）需要计算完整梯度，这在每步迭代的代价是 $ O(Nn) $，对于大数据集是不可行的。随机梯度下降(SGD)只使用单个或一小批数据的梯度，代价为 $ O(bn) $（$ b $ 为批次大小），但收敛慢，因为它忽略了目标函数的曲率信息。序列随机拟牛顿法的核心思想是：在SGD的框架下，增量式地构建并更新一个对Hessian逆矩阵的近似 $ H_ k $ ，从而得到比纯SGD更优的搜索方向。主要挑战：如何用随机（有噪声）的梯度信息稳定地更新 $ H_ k $？如何保证 $ H_ k $ 始终保持正定（以保证下降方向）？如何设计步长 $ \alpha_ k $ 以适应随机噪声和曲率估计的不确定性？第二步：算法框架设计我们设计一个序列（在线）的算法。在每一步 $ k $：随机采样：从 $ \{1, ..., N\} $ 中均匀随机抽取一个索引 $ i_ k $（或一个小批量索引集 $ \mathcal{B}_ k $）。计算随机梯度：$ g_ k = \nabla f_ {i_ k}(x_ k) $（或 $ g_ k = \frac{1}{|\mathcal{B} k|} \sum {i \in \mathcal{B}_ k} \nabla f_ i(x_ k) $）。计算搜索方向：$ d_ k = -H_ k g_ k $。执行更新：$ x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k d_ k $。更新Hessian逆近似：利用新得到的信息对 $ H_ k $ 进行更新，得到 $ H_ {k+1} $。关键就在于第5步的更新规则。第三步：确定更新规则（核心）我们采用随机版本的BFGS更新（oBFGS或rescaled BFGS）。标准BFGS更新公式（对于确定性问题）为：令 $ s_ k = x_ {k+1} - x_ k $， $ y_ k = \nabla f(x_ {k+1}) - \nabla f(x_ k) $。 BFGS更新公式为： $$ H_ {k+1} = \left(I - \rho_ k s_ k y_ k^T \right) H_ k \left(I - \rho_ k y_ k s_ k^T \right) + \rho_ k s_ k s_ k^T, \quad \rho_ k = \frac{1}{y_ k^T s_ k} $$ 条件是 $ y_ k^T s_ k > 0 $（曲率条件），以保证 $ H_ {k+1} $ 正定。在随机环境下，我们用随机梯度差 $ \tilde{y} k $ 代替真实的梯度差 $ y_ k $： $$ \tilde{y} k = \nabla f {i_ k}(x {k+1}) - \nabla f_ {i_ k}(x_ k) $$ 这里用同一个数据样本（或同一个小批量）计算新旧两点的梯度差。这样做是为了保证更新满足随机曲率条件 $ \mathbb{E}[ \tilde{y}_ k^T s_ k ] > 0 $ 的期望，尽管单次采样可能有噪声。然而，直接使用 $ \tilde{y}_ k $ 可能导致 $ \tilde{y}_ k^T s_ k $ 为负或很小，破坏 $ H_ k $ 的正定性。一个经典的稳定化技巧是进行重缩放(Rescaling) ： $$ y_ k^{resc} = \theta_ k \tilde{y}_ k + (1-\theta_ k) B_ k^{0} s_ k $$ 其中 $ B_ k^0 $ 是一个正定标度矩阵（常取 $ B_ k^0 = \delta_ k I $， $ \delta_ k = \frac{\tilde{y}_ k^T \tilde{y}_ k}{\tilde{y}_ k^T s_ k} $ 或一个固定常数）， $ \theta_ k \in [ 0, 1] $ 是一个调节参数。当 $ \tilde{y}_ k^T s_ k $ 足够大且为正时， $ \theta_ k \approx 1 $；否则 $ \theta_ k $ 减小，使 $ y_ k^{resc} $ 更接近 $ B_ k^0 s_ k $，从而保证 $ (y_ k^{resc})^T s_ k > 0 $。为简化，在基础题中，我们可以采用一个更直接的稳定策略：仅当 $ \tilde{y}_ k^T s_ k $ 大于一个正阈值 $ \epsilon $ 时才执行BFGS更新，否则跳过更新，保持 $ H_ {k+1} = H_ k $。第四步：算法步骤详细分解初始化：选择初始点 $ x_ 0 \in \mathbb{R}^n $。初始化Hessian逆近似 $ H_ 0 = \gamma I $，其中 $ \gamma > 0 $ 是一个小的正数（例如 $ \gamma = 0.001 $）或设置为 $ 1 $。选择初始步长 $ \alpha_ 0 $（如0.01），衰减率 $ \beta $（如0.999），最小值 $ \alpha_ {min} $。设置最大迭代次数 $ K $，曲率阈值 $ \epsilon > 0 $。主迭代循环（对于 $ k = 0, 1, 2, ..., K-1 $）： a. 随机采样：随机选取一个样本索引 $ i_ k $（或一个小批量 $ \mathcal{B} k $）。 b. 计算随机梯度：$ g_ k = \nabla f {i_ k}(x_ k) $。 c. 计算搜索方向：$ d_ k = -H_ k g_ k $。 d. 更新迭代点：$ x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k d_ k $。 e. 准备更新信息： * 计算位移：$ s_ k = x_ {k+1} - x_ k $。 * 用同一个样本 $ i_ k $ 计算随机梯度差：$ \tilde{y} k = \nabla f {i_ k}(x_ {k+1}) - \nabla f_ {i_ k}(x_ k) $。 f. 检查曲率条件：计算 $ \rho_ k = \tilde{y} k^T s_ k $。 * 如果 $ \rho_ k > \epsilon $，则执行BFGS更新： * 计算 $ \rho_ k = 1 / \rho_ k $。 * 计算中间向量 $ v_ k = I - \rho_ k \tilde{y} k s_ k^T $。 * 更新：$ H {k+1} = v_ k H_ k v_ k^T + \rho_ k s_ k s_ k^T $。 * 否则，跳过更新：$ H {k+1} = H_ k $。 g. 衰减步长：$ \alpha_ {k+1} = \max(\alpha_ {min}, \beta \cdot \alpha_ k) $。这是为了在后期抑制随机噪声的影响。终止：达到最大迭代次数 $ K $ 后，输出 $ x_ K $ 作为近似最优解。第五步：关键点与注意事项同一样本梯度差：步骤(e)中使用同一个样本 $ i_ k $ 计算 $ x_ k $ 和 $ x_ {k+1} $ 处的梯度至关重要。这确保了 $ \mathbb{E}[ \tilde{y} k] \approx \nabla f(x {k+1}) - \nabla f(x_ k) $，且 $ \tilde{y}_ k^T s_ k $ 的期望为正（如果函数是凸的或接近最优点时），满足BFGS更新的内在要求。条件更新：曲率条件检查（ $ \rho_ k > \epsilon $ ）是算法的安全阀，防止因噪声导致 $ H_ k $ 变得不正定或数值不稳定。步长衰减：使用衰减步长（如 $ \alpha_ k = \alpha_ 0 / (1 + \beta k) $ 或几何衰减）对于理论收敛至关重要。在随机优化中，通常需要满足 Robbins-Monro 条件：$ \sum \alpha_ k = \infty $， $ \sum \alpha_ k^2 < \infty $。内存与计算：直接存储和更新 $ n \times n $ 的矩阵 $ H_ k $ 在大规模（n很大）时不可行。因此，在实际的高维实现中，常采用有限内存L-BFGS 的随机版本，即只存储最近的 $ m $ 对 $ (s, y) $ 向量，动态计算 $ H_ k g_ k $，将空间复杂度从 $ O(n^2) $ 降至 $ O(mn) $。本题为基础题，我们暂不涉及有限内存技巧。第六步：简单示例（概念验证）考虑一个简单的二次函数：$ f(x) = \frac{1}{2} x^T A x $，其中 $ A $ 是正定矩阵。我们可以将其分解为 $ f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^{N} \frac{1}{2} x^T A_ i x $，其中 $ A_ i $ 是 $ A $ 的某种分解（例如，外积形式）。用上述算法求解，可以观察到：初期，由于随机梯度的噪声，收敛路径有波动。随着迭代进行，步长衰减，且 $ H_ k $ 逐渐逼近 $ A^{-1} $，搜索方向 $ -H_ k g_ k $ 越来越接近牛顿方向 $ -A^{-1} \nabla f(x_ k) $。最终，$ x_ k $ 会收敛到最优点 $ x^* = 0 $ 附近的一个邻域内，其大小由步长和噪声决定。通过这个循序渐进的过程，你应该能够理解序列随机拟牛顿法的动机、核心思想、具体步骤以及实现时的关键考量。它巧妙地在随机优化中引入了二阶信息，旨在达到比SGD更快的收敛速度，同时保持每步较低的计算成本。