基于线性规划的图最小生成树的逆优化问题求解示例
字数 4991 2025-12-21 03:35:23

基于线性规划的图最小生成树的逆优化问题求解示例

1. 题目描述

逆优化（Inverse Optimization）是线性规划和组合优化中的一个重要问题。给定一个已知的优化问题（例如，图的最小生成树问题），以及一个给定的可行解（例如，某个生成树），逆优化的目标是：在满足特定约束（如非负性、上下界等）的条件下，调整原问题的参数（例如，图中各条边的权重），使得给定的可行解成为调整后参数下的最优解，并且使得参数的调整量（如总调整成本、最大调整量等）最小。

具体到本题目：

  • 给定：
    1. 一个无向连通图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是顶点集，\(E\) 是边集。
    2. 一个已知的生成树 \(T \subseteq E\)。
    3. 原始边权向量 \(c \in \mathbb{R}^{|E|}\)，其中 \(c_e\) 表示边 \(e\) 的原始权重。
  • 目标：
    寻找一个新的边权向量 \(w \in \mathbb{R}^{|E|}\)，满足以下条件：
    1. 在权重 \(w\) 下，生成树 \(T\) 是图 \(G\) 的最小生成树。
    2. 新权重 \(w\) 与原始权重 \(c\) 的差异（即调整成本）最小。这里我们采用 \(L_1\) 范数（即绝对值和）作为差异度量，即最小化 \(\sum_{e \in E} |w_e - c_e|\)。
    3. 通常，权重需要满足非负约束 \(w_e \ge 0\) 或其他给定的上下界约束。
  • 输出：新的边权向量 \(w^*\)，以及最小调整成本。

2. 循序渐进解题过程

第一步：回顾最小生成树的最优性条件

对于一个无向连通图 \(G\) 及其边权 \(w\)，一棵生成树 \(T\) 是最小生成树的 充要条件 是：对于每一条不在树中的边 \(f = (u, v) \notin T\)，其权重 \(w_f\) 不小于在 \(T\) 中连接 \(u\) 和 \(v\) 的唯一路径 \(P_{uv}(T)\) 上任意一条边的权重。换言之：

\[w_f \ge w_e, \quad \forall e \in P_{uv}(T) \]

这个条件被称为“割条件”或“路径条件”。为了在优化模型中易于处理，我们通常使用一个更强但等价的线性不等式组来描述这个充要条件。

第二步：将最优性条件转化为线性不等式约束

引入对偶变量（或势）的概念。存在一个势向量 \(\pi \in \mathbb{R}^{|V|}\)，使得对于所有边 \(e = (i, j) \in E\)，满足：

\[w_e \ge \pi_i - \pi_j \quad \text{和} \quad w_e \ge \pi_j - \pi_i \]

即

\[w_e \ge |\pi_i - \pi_j| \]

并且，对于树边 \(e \in T\)，等号成立：

\[w_e = |\pi_i - \pi_j| \]

这等价于说，对于树边，权重等于其端点势的绝对差。对于非树边，权重必须至少不小于其端点势的绝对差。这个条件是线性可表达的，通过引入辅助变量 \(y_e\) 来表示 \(|\pi_i - \pi_j|\)，但为了避免绝对值，我们可以改写为：

\[w_e \ge \pi_i - \pi_j \quad \text{和} \quad w_e \ge \pi_j - \pi_i, \quad \forall e = (i,j) \in E \]

\[ w_e = \pi_i - \pi_j, \quad \forall e = (i,j) \in T \]

注意，对树边，由于 \(T\) 是树，我们可以固定一个顶点的势（比如 \(\pi_1 = 0\)），然后这些等式唯一决定了其他所有顶点的势。因此，对于树边，权重 \(w_e\) 必须等于其两端点势的差值（符号取决于方向，但绝对值相等）。实际上，我们可以直接利用这个等式关系，用 \(w\) 来表示 \(\pi\)。

一种更直接且常用的建模方法是：对每条非树边 \(f = (u, v) \notin T\)，以及树中 \(u\) 到 \(v\) 的唯一路径 \(P_{uv}(T)\) 上的每条边 \(e \in P_{uv}(T)\)，要求：

\[w_f \ge w_e \]

这个不等式集合是线性的。然而，这样不等式的数量可能很多（\(O(|E||V|)\) 量级）。不过，我们可以简化：实际上，只需要对每条非树边 \(f\)，要求其权重不小于其所在基本环（由 \(f\) 加入 \(T\) 形成的环）上最大的树边权重。但为了保持线性，我们可以等价地写成：

\[w_f \ge w_e, \quad \forall f \notin T, \forall e \in P_{uv}(T) \]

这就是我们要用的线性约束。

第三步：定义目标函数和整体线性规划模型

目标是调整成本最小化，即最小化 \(\sum_{e \in E} |w_e - c_e|\)。这是一个非线性的绝对值函数，但可以通过标准的线性化技巧转化为线性形式。对每条边 \(e\)，引入两个非负变量 \(d_e^+\) 和 \(d_e^-\)，分别表示权重增加量和减少量，满足：

\[w_e = c_e + d_e^+ - d_e^-, \quad d_e^+ \ge 0, \quad d_e^- \ge 0 \]

则绝对调整量 \(|w_e - c_e| = d_e^+ + d_e^-\)。目标函数变为：

\[\min \sum_{e \in E} (d_e^+ + d_e^-) \]

同时，我们需要保证权重非负（如果原问题要求权重非负）：

\[w_e \ge 0 \quad \Rightarrow \quad c_e + d_e^+ - d_e^- \ge 0 \]

结合第二步的最优性条件，我们可以建立完整的线性规划模型。

决策变量：

  • \(w_e \in \mathbb{R}\)：调整后的边权。
  • \(d_e^+, d_e^- \ge 0\)：边 \(e\) 的权重增加量和减少量。

线性规划模型：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E} (d_e^+ + d_e^-) \\ \text{s.t.} \quad & w_e = c_e + d_e^+ - d_e^-, \quad \forall e \in E \quad \text{(权重调整关系)} \\ & w_e \ge 0, \quad \forall e \in E \quad \text{(非负约束)} \\ & w_f \ge w_e, \quad \forall f = (u,v) \notin T, \forall e \in P_{uv}(T) \quad \text{(最小生成树最优性条件)} \\ & d_e^+ \ge 0, \quad d_e^- \ge 0, \quad \forall e \in E \end{aligned} \]

第四步：模型求解与分析

这是一个线性规划问题，可以直接用单纯形法或内点法求解。变量个数为 \(O(|E|)\)，约束个数为 \(O(|E||V|)\)（由最优性条件产生，可能较多）。不过，在实际中，我们可以利用问题的结构来减少约束数量。注意到，对于每条非树边 \(f\)，我们只需要求其权重大于等于其所在基本环上所有树边权重的最大值。但线性规划本身可以处理这些约束。

求解步骤：

  1. 输入图 \(G\)、生成树 \(T\)、原始权重 \(c\)。
  2. 对于每条非树边 \(f = (u,v) \notin T\)，通过深度优先搜索（DFS）或最近公共祖先（LCA）算法，找到 \(T\) 中 \(u\) 到 \(v\) 的路径 \(P_{uv}(T)\)。
  3. 对每条这样的路径 \(P_{uv}(T)\) 上的每条树边 \(e\)，生成约束 \(w_f \ge w_e\)。
  4. 建立上述线性规划模型。
  5. 调用线性规划求解器（如使用单纯形法）求解，得到最优的 \(w^*\) 和调整量 \(d^+^*, d^-^*\)。
  6. 输出 \(w^*\) 和最小调整成本 \(\sum (d_e^{+*} + d_e^{-*})\)。

第五步：简单示例

考虑一个简单的4个顶点的图（四边形加一条对角线），顶点集 \(V = \{1,2,3,4\}\)，边集 \(E = \{a=(1,2), b=(2,3), c=(3,4), d=(1,4), e=(2,4)\}\)，原始权重 \(c = (2, 3, 2, 4, 5)\)（顺序对应 a,b,c,d,e）。给定生成树 \(T = \{a, b, c\}\)（即一条路径 1-2-3-4）。

目标：调整权重，使 T 成为最小生成树。

非树边：\(d = (1,4)\) 和 \(e = (2,4)\)。

  • 对于非树边 \(d\)：在 T 中，连接顶点1和4的路径是 a-b-c。生成约束：
    • \(w_d \ge w_a\)
    • \(w_d \ge w_b\)
    • \(w_d \ge w_c\)
  • 对于非树边 \(e\)：在 T 中，连接顶点2和4的路径是 b-c。生成约束：
    • \(w_e \ge w_b\)
    • \(w_e \ge w_c\)

目标函数：最小化 \((d_a^+ + d_a^-) + (d_b^+ + d_b^-) + (d_c^+ + d_c^-) + (d_d^+ + d_d^-) + (d_e^+ + d_e^-)\)

约束：

  • \(w_a = 2 + d_a^+ - d_a^-\)
  • \(w_b = 3 + d_b^+ - d_b^-\)
  • \(w_c = 2 + d_c^+ - d_c^-\)
  • \(w_d = 4 + d_d^+ - d_d^-\)
  • \(w_e = 5 + d_e^+ - d_e^-\)
  • 所有权重非负。
  • 加上上述5个不等式。

求解这个线性规划，可以得到一组最优解。例如，一个可能的解是：保持树边权重不变（\(w_a=2, w_b=3, w_c=2\)），降低 \(w_d\) 和 \(w_e\) 至满足约束的最小值。对于 \(w_d\)，必须至少为 \(\max(w_a, w_b, w_c) = 3\)，所以可设 \(w_d = 3\)，调整量 \(d_d^- = 1\)。对于 \(w_e\)，必须至少为 \(\max(w_b, w_c) = 3\)，所以可设 \(w_e = 3\)，调整量 \(d_e^- = 2\)。总调整成本为 3。检查是否还有更好的调整方案：如果适当提高某些树边权重，可能允许非树边权重降低更少，但可能会增加树边的调整成本。线性规划会自动找到全局最优。

3. 总结

本问题展示了如何将图算法中的逆优化问题（针对最小生成树）转化为一个线性规划模型。核心步骤包括：

  1. 利用最小生成树的最优性条件（路径条件）生成线性不等式约束。
  2. 将绝对值目标线性化，通过引入增加量和减少量变量。
  3. 建立并求解线性规划，得到最小调整成本的新边权。

这种方法可以推广到其他优化问题的逆优化，如最短路径、最大流等，关键在于将原问题的最优性条件用线性（或线性化）不等式表示。

基于线性规划的图最小生成树的逆优化问题求解示例 1. 题目描述 逆优化（Inverse Optimization）是线性规划和组合优化中的一个重要问题。给定一个已知的优化问题（例如，图的最小生成树问题），以及一个给定的可行解（例如，某个生成树），逆优化的目标是：在满足特定约束（如非负性、上下界等）的条件下，调整原问题的参数（例如，图中各条边的权重），使得给定的可行解成为调整后参数下的最优解，并且使得参数的调整量（如总调整成本、最大调整量等）最小。 具体到本题目： 给定 ： 一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集，\( E \) 是边集。 一个已知的生成树 \( T \subseteq E \)。 原始边权向量 \( c \in \mathbb{R}^{|E|} \)，其中 \( c_ e \) 表示边 \( e \) 的原始权重。 目标 ： 寻找一个新的边权向量 \( w \in \mathbb{R}^{|E|} \)，满足以下条件： 在权重 \( w \) 下，生成树 \( T \) 是图 \( G \) 的最小生成树。 新权重 \( w \) 与原始权重 \( c \) 的差异（即调整成本）最小。这里我们采用 \( L_ 1 \) 范数（即绝对值和）作为差异度量，即最小化 \( \sum_ {e \in E} |w_ e - c_ e| \)。 通常，权重需要满足非负约束 \( w_ e \ge 0 \) 或其他给定的上下界约束。 输出 ：新的边权向量 \( w^* \)，以及最小调整成本。 2. 循序渐进解题过程 第一步：回顾最小生成树的最优性条件 对于一个无向连通图 \( G \) 及其边权 \( w \)，一棵生成树 \( T \) 是最小生成树的 充要条件 是：对于每一条不在树中的边 \( f = (u, v) \notin T \)，其权重 \( w_ f \) 不小于在 \( T \) 中连接 \( u \) 和 \( v \) 的唯一路径 \( P_ {uv}(T) \) 上任意一条边的权重。换言之： \[ w_ f \ge w_ e, \quad \forall e \in P_ {uv}(T) \] 这个条件被称为“割条件”或“路径条件”。为了在优化模型中易于处理，我们通常使用一个更强但等价的线性不等式组来描述这个充要条件。 第二步：将最优性条件转化为线性不等式约束 引入对偶变量（或势）的概念。存在一个势向量 \( \pi \in \mathbb{R}^{|V|} \)，使得对于所有边 \( e = (i, j) \in E \)，满足： \[ w_ e \ge \pi_ i - \pi_ j \quad \text{和} \quad w_ e \ge \pi_ j - \pi_ i \] 即 \[ w_ e \ge |\pi_ i - \pi_ j| \] 并且，对于树边 \( e \in T \)，等号成立： \[ w_ e = |\pi_ i - \pi_ j| \] 这等价于说，对于树边，权重等于其端点势的绝对差。对于非树边，权重必须至少不小于其端点势的绝对差。这个条件是线性可表达的，通过引入辅助变量 \( y_ e \) 来表示 \( |\pi_ i - \pi_ j| \)，但为了避免绝对值，我们可以改写为： \[ w_ e \ge \pi_ i - \pi_ j \quad \text{和} \quad w_ e \ge \pi_ j - \pi_ i, \quad \forall e = (i,j) \in E \] \[ w_ e = \pi_ i - \pi_ j, \quad \forall e = (i,j) \in T \] 注意，对树边，由于 \( T \) 是树，我们可以固定一个顶点的势（比如 \( \pi_ 1 = 0 \)），然后这些等式唯一决定了其他所有顶点的势。因此，对于树边，权重 \( w_ e \) 必须等于其两端点势的差值（符号取决于方向，但绝对值相等）。实际上，我们可以直接利用这个等式关系，用 \( w \) 来表示 \( \pi \)。 一种更直接且常用的建模方法是：对每条非树边 \( f = (u, v) \notin T \)，以及树中 \( u \) 到 \( v \) 的唯一路径 \( P_ {uv}(T) \) 上的每条边 \( e \in P_ {uv}(T) \)，要求： \[ w_ f \ge w_ e \] 这个不等式集合是线性的。然而，这样不等式的数量可能很多（\( O(|E||V|) \) 量级）。不过，我们可以简化：实际上，只需要对每条非树边 \( f \)，要求其权重不小于其所在基本环（由 \( f \) 加入 \( T \) 形成的环）上最大的树边权重。但为了保持线性，我们可以等价地写成： \[ w_ f \ge w_ e, \quad \forall f \notin T, \forall e \in P_ {uv}(T) \] 这就是我们要用的线性约束。 第三步：定义目标函数和整体线性规划模型 目标是调整成本最小化，即最小化 \( \sum_ {e \in E} |w_ e - c_ e| \)。这是一个非线性的绝对值函数，但可以通过标准的线性化技巧转化为线性形式。对每条边 \( e \)，引入两个非负变量 \( d_ e^+ \) 和 \( d_ e^- \)，分别表示权重增加量和减少量，满足： \[ w_ e = c_ e + d_ e^+ - d_ e^-, \quad d_ e^+ \ge 0, \quad d_ e^- \ge 0 \] 则绝对调整量 \( |w_ e - c_ e| = d_ e^+ + d_ e^- \)。目标函数变为： \[ \min \sum_ {e \in E} (d_ e^+ + d_ e^-) \] 同时，我们需要保证权重非负（如果原问题要求权重非负）： \[ w_ e \ge 0 \quad \Rightarrow \quad c_ e + d_ e^+ - d_ e^- \ge 0 \] 结合第二步的最优性条件，我们可以建立完整的线性规划模型。 决策变量 ： \( w_ e \in \mathbb{R} \)：调整后的边权。 \( d_ e^+, d_ e^- \ge 0 \)：边 \( e \) 的权重增加量和减少量。 线性规划模型 ： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in E} (d_ e^+ + d_ e^-) \\ \text{s.t.} \quad & w_ e = c_ e + d_ e^+ - d_ e^-, \quad \forall e \in E \quad \text{(权重调整关系)} \\ & w_ e \ge 0, \quad \forall e \in E \quad \text{(非负约束)} \\ & w_ f \ge w_ e, \quad \forall f = (u,v) \notin T, \forall e \in P_ {uv}(T) \quad \text{(最小生成树最优性条件)} \\ & d_ e^+ \ge 0, \quad d_ e^- \ge 0, \quad \forall e \in E \end{aligned} \] 第四步：模型求解与分析 这是一个线性规划问题，可以直接用单纯形法或内点法求解。变量个数为 \( O(|E|) \)，约束个数为 \( O(|E||V|) \)（由最优性条件产生，可能较多）。不过，在实际中，我们可以利用问题的结构来减少约束数量。注意到，对于每条非树边 \( f \)，我们只需要求其权重大于等于其所在基本环上所有树边权重的最大值。但线性规划本身可以处理这些约束。 求解步骤 ： 输入图 \( G \)、生成树 \( T \)、原始权重 \( c \)。 对于每条非树边 \( f = (u,v) \notin T \)，通过深度优先搜索（DFS）或最近公共祖先（LCA）算法，找到 \( T \) 中 \( u \) 到 \( v \) 的路径 \( P_ {uv}(T) \)。 对每条这样的路径 \( P_ {uv}(T) \) 上的每条树边 \( e \)，生成约束 \( w_ f \ge w_ e \)。 建立上述线性规划模型。 调用线性规划求解器（如使用单纯形法）求解，得到最优的 \( w^* \) 和调整量 \( d^+^ , d^-^ \)。 输出 \( w^* \) 和最小调整成本 \( \sum (d_ e^{+ } + d_ e^{- }) \)。 第五步：简单示例 考虑一个简单的4个顶点的图（四边形加一条对角线），顶点集 \( V = \{1,2,3,4\} \)，边集 \( E = \{a=(1,2), b=(2,3), c=(3,4), d=(1,4), e=(2,4)\} \)，原始权重 \( c = (2, 3, 2, 4, 5) \)（顺序对应 a,b,c,d,e）。给定生成树 \( T = \{a, b, c\} \)（即一条路径 1-2-3-4）。 目标：调整权重，使 T 成为最小生成树。 非树边：\( d = (1,4) \) 和 \( e = (2,4) \)。 对于非树边 \( d \)：在 T 中，连接顶点1和4的路径是 a-b-c。生成约束： \( w_ d \ge w_ a \) \( w_ d \ge w_ b \) \( w_ d \ge w_ c \) 对于非树边 \( e \)：在 T 中，连接顶点2和4的路径是 b-c。生成约束： \( w_ e \ge w_ b \) \( w_ e \ge w_ c \) 目标函数：最小化 \( (d_ a^+ + d_ a^-) + (d_ b^+ + d_ b^-) + (d_ c^+ + d_ c^-) + (d_ d^+ + d_ d^-) + (d_ e^+ + d_ e^-) \) 约束： \( w_ a = 2 + d_ a^+ - d_ a^- \) \( w_ b = 3 + d_ b^+ - d_ b^- \) \( w_ c = 2 + d_ c^+ - d_ c^- \) \( w_ d = 4 + d_ d^+ - d_ d^- \) \( w_ e = 5 + d_ e^+ - d_ e^- \) 所有权重非负。 加上上述5个不等式。 求解这个线性规划，可以得到一组最优解。例如，一个可能的解是：保持树边权重不变（\( w_ a=2, w_ b=3, w_ c=2 \)），降低 \( w_ d \) 和 \( w_ e \) 至满足约束的最小值。对于 \( w_ d \)，必须至少为 \( \max(w_ a, w_ b, w_ c) = 3 \)，所以可设 \( w_ d = 3 \)，调整量 \( d_ d^- = 1 \)。对于 \( w_ e \)，必须至少为 \( \max(w_ b, w_ c) = 3 \)，所以可设 \( w_ e = 3 \)，调整量 \( d_ e^- = 2 \)。总调整成本为 3。检查是否还有更好的调整方案：如果适当提高某些树边权重，可能允许非树边权重降低更少，但可能会增加树边的调整成本。线性规划会自动找到全局最优。 3. 总结 本问题展示了如何将图算法中的逆优化问题（针对最小生成树）转化为一个线性规划模型。核心步骤包括： 利用最小生成树的最优性条件（路径条件）生成线性不等式约束。 将绝对值目标线性化，通过引入增加量和减少量变量。 建立并求解线性规划，得到最小调整成本的新边权。 这种方法可以推广到其他优化问题的逆优化，如最短路径、最大流等，关键在于将原问题的最优性条件用线性（或线性化）不等式表示。