多边形的最优三角形剖分（最小弦长和） 题目描述： 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针（或逆时针）顺序标记为 \( v_ 0, v_ 1, \dots, v_ {n-1} \)，其中 \( n \geq 3 \)。用 \( n-3 \) 条不相交的弦（连接两个非相邻顶点的线段）将该多边形剖分为 \( n-2 \) 个三角形。每条弦的“长度”定义为连接的两个顶点之间的欧几里得距离（或其他给定的权重）。要求找到一种三角形剖分方案，使得所有弦的长度之和最小，并返回这个最小和。这里假设顶点坐标已知，弦长可以通过顶点坐标计算。为了简化，我们通常给定一个数组 \( values[ 0..n-1 ] \) 表示顶点，而弦长 \( \text{cost}(i, j) \) 可以直接给出或通过坐标计算。 解题步骤（区间动态规划） 1. 问题理解与状态定义 多边形顶点是固定的环形结构，但为了方便处理，我们通常将多边形看作线性区间 \([ 0, n-1 ]\)，并固定一条边（比如从顶点0到顶点n-1）作为多边形的“基边”，剖分时不会切割这条边。 我们需要在区间内部添加弦，形成三角形。一个三角形由三个顶点组成，且剖分后所有三角形覆盖整个多边形且互不重叠。 动态规划的状态通常表示为：设 \( dp[ i][ j ] \) 表示从顶点 \( i \) 到顶点 \( j \)（按顺序）形成的子多边形（顶点为 \( i, i+1, \dots, j \)）进行最优三角形剖分后，所有弦的最小长度和。注意：这里的子多边形是原多边形的一部分，由顶点 \( i, i+1, \dots, j \) 按顺序构成，并且包含边 \( (i, j) \) 作为其一条边。 初始时，当子多边形只有两个顶点时（即 \( j-i < 2 \)），它只是一条边，没有内部弦，所以 \( dp[ i][ j ] = 0 \)。 目标：求 \( dp[ 0][ n-1 ] \)。 2. 状态转移方程 考虑子多边形 \( [ i, j] \)（至少有三个顶点，即 \( j-i \geq 2 \)）。我们需要选择其中一个顶点 \( k \)（\( i < k < j \)），使得三角形 \( (i, k, j) \) 是剖分中的一个三角形。这个三角形将子多边形分成三部分： 三角形本身，它包含两条可能的新弦：\( (i, k) \) 和 \( (k, j) \)（但注意如果 \( k = i+1 \)，则 \( (i, k) \) 是多边形的边，不是弦；同理如果 \( k = j-1 \)，则 \( (k, j) \) 是边）。 左子多边形 \( [ i, k ] \)（顶点 \( i, i+1, \dots, k \)）。 右子多边形 \( [ k, j ] \)（顶点 \( k, k+1, \dots, j \)）。 关键点：三角形 \( (i, k, j) \) 中的弦只有可能是 \( (i, k) \) 和 \( (k, j) \)，但前提是它们不是多边形的原始边。而弦 \( (i, j) \) 已经是子多边形的边，所以不算入弦长和。 因此，在三角形 \( (i, k, j) \) 中，我们需要添加的弦长是： \[ \text{len}(i, k) + \text{len}(k, j) \] 但要注意：如果 \( k = i+1 \)，则 \( (i, k) \) 是原多边形的边，长度为0（或不计入弦长和）。同理，如果 \( k = j-1 \)，则 \( (k, j) \) 是原多边形的边，长度为0。 为了统一，我们可以定义弦长函数 \( \text{cost}(a, b) \)： 如果 \( |a-b| = 1 \) 或 \( a \) 和 \( b \) 是多边形的相邻顶点（即 \( (a, b) \) 是多边形的边），则 \( \text{cost}(a, b) = 0 \)。 否则，\( \text{cost}(a, b) \) 是顶点 \( a \) 和 \( b \) 之间的欧几里得距离（或题目给定的权重）。 于是，选择顶点 \( k \) 后，总弦长和为： \[ dp[ i][ j] = \min_ {i < k < j} \left( dp[ i][ k] + dp[ k][ j ] + \text{cost}(i, k) + \text{cost}(k, j) \right) \] 但这里 \( dp[ i][ k] \) 和 \( dp[ k][ j] \) 分别表示子多边形 \( [ i, k] \) 和 \( [ k, j] \) 的最优弦长和。注意：子多边形 \( [ i, k] \) 的边 \( (i, k) \) 和子多边形 \( [ k, j] \) 的边 \( (k, j) \) 在三角形 \( (i, k, j) \) 中被用作弦，但弦长已经在 \( \text{cost}(i, k) \) 和 \( \text{cost}(k, j) \) 中计算，而 \( dp[ i][ k] \) 和 \( dp[ k][ j ] \) 内部不会重复计算这些边。 因此，转移方程正确。 3. 边界条件 当 \( j - i < 2 \) 时（即子多边形只有两个顶点，是一条边），\( dp[ i][ j ] = 0 \)。 当 \( j - i = 2 \) 时（子多边形是三角形），没有内部弦，所以 \( dp[ i][ j ] = 0 \)（因为所有边都是原多边形的边）。 4. 计算顺序 由于 \( dp[ i][ j] \) 依赖于更小的区间 \( dp[ i][ k] \) 和 \( dp[ k][ j ] \)，其中 \( k \) 在 \( i \) 和 \( j \) 之间，我们需要按区间长度从小到大计算。 外层循环：区间长度 \( len \) 从 2 到 \( n-1 \)（因为长度为2表示三角形）。 内层循环：起点 \( i \) 从 0 到 \( n-1-len \)，终点 \( j = i + len \)。 内内层循环：遍历所有可能的分割点 \( k \)，\( i < k < j \)。 5. 时间复杂度与空间复杂度 状态数：\( O(n^2) \) 每个状态需要枚举 \( O(n) \) 个分割点 总时间复杂度：\( O(n^3) \) 空间复杂度：\( O(n^2) \)（dp表） 6. 实现细节 为了方便，我们可以用二维数组 \( dp[ n][ n ] \) 存储结果，初始化为0。 弦长 \( \text{cost}(a, b) \) 可以通过顶点坐标预先计算并存储在一个二维数组中，如果 \( |a-b| = 1 \) 或 \( a \) 和 \( b \) 是多边形的相邻顶点（注意多边形是环形的，所以顶点0和n-1也是相邻的），则弦长为0。但在这个线性化区间DP中，我们只考虑区间内部的弦，所以当 \( |a-b| = 1 \) 时弦长为0。 最终答案：\( dp[ 0][ n-1 ] \)。 7. 示例说明 假设有凸五边形，顶点坐标分别为 (0,0), (1,0), (2,1), (1,2), (0,1)。 我们需要计算最小弦长和。 顶点编号 0 到 4。 计算过程： 区间 [ 0,2 ]（三角形(0,1,2)）：无弦，dp=0。 区间 [ 0,3 ]：可能的分割点 k=1 或 k=2。 k=1：三角形(0,1,3)，弦(0,1)是边（cost=0），弦(1,3)是弦（需计算距离）。左子区间[ 0,1] dp=0，右子区间[ 1,3 ] 是三角形(1,2,3) dp=0。总= cost(1,3)。 k=2：类似，总= cost(0,2)+cost(2,3)。 取最小。 以此类推，直到区间[ 0,4 ]。 注意：实际计算时，弦长 cost 通过坐标用欧几里得距离公式计算。 8. 总结 这个问题是经典的区间DP，通过固定多边形的一条边，将环形问题转化为线性区间问题，然后递归地选择三角形的顶点，将大区间拆分为两个小区间，从而递推得到最优解。关键点在于理解状态表示和转移方程中弦长的计算方式。