基于线性规划的“最优定价策略”建模与求解示例

字数 4071 2025-12-20 23:36:12

基于线性规划的“最优定价策略”建模与求解示例

一、问题描述

一家公司生产并销售一种产品，其生产成本为每单位 $c$ 元。市场对该产品的需求与价格相关：设价格为 $p$ 时，需求函数为 $D(p) = a - b \cdot p$，其中 $a>0, b>0$ 为已知常数，且 $a > b \cdot c$ 确保有利润空间。公司要确定一个价格 $p$，使得利润最大化。

已知条件：

生产成本 $c = 4$ 元/单位
需求函数参数 $a = 100,\ b = 2$
价格 $p$ 需在合理范围 $[c, a/b]$ 内（否则需求非正）

二、建立线性规划模型

1. 利润表达式

利润 = 收入 - 成本
收入 = $p \cdot D(p) = p \cdot (a - b p)$
成本 = $c \cdot D(p) = c \cdot (a - b p)$
因此利润函数为：

\[\pi(p) = (p - c)(a - b p) \]

展开：

\[\pi(p) = -b p^2 + (a + b c) p - a c \]

由于是 $p$ 的二次函数，在 $p$ 无约束时可直接用导数求极值。但若存在分段定价或多产品联合定价等复杂约束，需用线性规划建模。下面我们增加约束将其转化为线性规划问题。

2. 引入辅助变量与线性化技巧

假设公司考虑两种定价策略：

低价策略 $p_1$，适用市场 A，需求 $D_1(p_1) = a_1 - b_1 p_1$
高价策略 $p_2$，适用市场 B，需求 $D_2(p_2) = a_2 - b_2 p_2$

但总产量有限制：$D_1(p_1) + D_2(p_2) \le M$（生产能力限制）。
设 $x_1 = D_1(p_1)$，$x_2 = D_2(p_2)$，则 $p_1 = \frac{a_1 - x_1}{b_1}$，$p_2 = \frac{a_2 - x_2}{b_2}$。

利润为：

\[\text{Profit} = (p_1 - c)x_1 + (p_2 - c)x_2 \]

代入 $p_1, p_2$：

\[\text{Profit} = \left(\frac{a_1 - x_1}{b_1} - c\right)x_1 + \left(\frac{a_2 - x_2}{b_2} - c\right)x_2 \]

展开：

\[= \left(\frac{a_1}{b_1} - c\right)x_1 - \frac{1}{b_1}x_1^2 + \left(\frac{a_2}{b_2} - c\right)x_2 - \frac{1}{b_2}x_2^2 \]

这是关于 $x_1,x_2$ 的二次函数，但若对 $x_i$ 做分段线性化，可转为线性规划。

3. 分段线性化示例

设 $x_1$ 的范围为 $[0, 50]$，将其分为 5 段，每段长度 10。
定义变量 $z_{1j}$ 表示 $x_1$ 在第 $j$ 段所占比例，$j=1,\dots,5$。
设第 $j$ 段起点为 $L_j$，终点为 $U_j$，对应价格为 $P_j = \frac{a_1 - (L_j+U_j)/2}{b_1}$（近似线性化）。
则 $x_1 = \sum_{j=1}^5 (L_j + \theta_j (U_j - L_j))$，其中 $0 \le \theta_j \le 1$ 且至多两个相邻 $\theta_j$ 非零（分段线性常用SOS2约束，在LP中可用额外变量和约束近似）。

简化：直接假设 $x_1$ 和 $x_2$ 的利润函数用分段的线性函数近似：
设利润函数 $f_i(x_i) = (a_i/b_i - c)x_i - (1/b_i)x_i^2$ 是凹函数，可用 $K$ 个割线近似其上界，转为线性规划。

4. 具体数值模型

设 $a_1=60, b_1=1.5, a_2=40, b_2=1, c=4, M=50$。
则 $f_1(x_1) = (60/1.5 - 4)x_1 - (1/1.5)x_1^2 = 36x_1 - 0.6667x_1^2$
$f_2(x_2) = (40/1 - 4)x_2 - (1/1)x_2^2 = 36x_2 - x_2^2$

在 $x_i \in [0,30]$ 内分别取 3 个点线性插值：
对 $f_1$：点 $(0,0), (15, 36\times 15 - 0.6667\times 225 = 540 - 150 = 390), (30, 36\times 30 - 0.6667\times 900 = 1080 - 600 = 480)$
得到两段直线：

段1：$0 \le x_1 \le 15$，斜率 $390/15 = 26$，截距 0 → 利润近似 $26x_1$
段2：$15 \le x_1 \le 30$，斜率 $(480-390)/(30-15) = 90/15 = 6$，截距 $390 - 6\times 15 = 300$ → 利润近似 $6x_1 + 300$

同理 $f_2$：点 $(0,0), (15, 36\times 15 - 225 = 315), (30, 36\times 30 - 900 = 180)$

段1：$0 \le x_2 \le 15$，斜率 $315/15 = 21$，利润近似 $21x_2$
段2：$15 \le x_2 \le 30$，斜率 $(180-315)/(30-15) = -135/15 = -9$，截距 $315 - (-9)\times 15 = 450$ → 利润近似 $-9x_2 + 450$

5. 最终线性规划模型

引入辅助变量 $y_1,y_2$ 表示 $x_1,x_2$ 所在段，用凸组合表示：
设 $x_1 = 0\cdot\lambda_{10} + 15\lambda_{11} + 30\lambda_{12}$
利润1近似 = $0\cdot\lambda_{10} + 390\lambda_{11} + 480\lambda_{12}$
同理 $x_2 = 0\cdot\lambda_{20} + 15\lambda_{21} + 30\lambda_{22}$
利润2近似 = $0\cdot\lambda_{20} + 315\lambda_{21} + 180\lambda_{22}$
约束：

$\lambda_{10}+\lambda_{11}+\lambda_{12}=1$，$\lambda_{20}+\lambda_{21}+\lambda_{22}=1$
$0 \le \lambda_{ij} \le 1$，且每个 $i$ 的 $\lambda_{i0},\lambda_{i1},\lambda_{i2}$ 中至多两个相邻非零（SOS2约束，可用二进制变量和附加约束实现，但若允许分段线性凸函数，则直接取角点可行）
生产能力：$x_1+x_2 \le 50$

目标：

\[\max\ 390\lambda_{11} + 480\lambda_{12} + 315\lambda_{21} + 180\lambda_{22} \]

由于 $f_1$ 是凹函数，其分段线性化是精确表示（在选定的断点上），因此线性规划可给出原二次利润函数的最优解。

三、求解步骤

忽略SOS2约束，先解线性规划（因为凹函数最大化在线性约束下，最优解会在断点上，自动满足至多两个相邻非零）。
写出单纯形表或使用线性规划求解器。
求解得：
- 检查利润函数，显然 $f_1$ 在 $x_1=15$ 到 $x_1=30$ 增加缓慢，$f_2$ 在 $x_2>15$ 后下降，因此尽量让 $x_1$ 接近 30，$x_2$ 接近 15，但受 $x_1+x_2\le 50$ 限制。
- 试 $x_1=30$，则 $x_2\le 20$，但 $x_2=15$ 时利润2=315，$x_2=20$ 时用插值：$20 = 15 + 5$，对应利润 $315 + 5\times(-9) = 270$。
- 总利润 = 480 + 315 = 795（当 $x_1=30,x_2=15$）
- 若 $x_1=25$，利润1 = 390 + 10×6 = 450，$x_2=25$ 利润2 = 315 + 10×(-9) = 225，总=675，更小。
- 因此最优为 $x_1=30, x_2=15$，对应价格 $p_1 = (60-30)/1.5=20$，$p_2=(40-15)/1=25$。
验证生产能力：$30+15=45 \le 50$，满足。

四、结果解释

最优定价策略：

市场A：价格 20 元，销量 30 单位，利润 = (20-4)×30=480 元
市场B：价格 25 元，销量 15 单位，利润 = (25-4)×15=315 元
总利润 795 元，产能剩余 5 单位。

五、扩展讨论

若需求函数非线性更强，可分更多段逼近。
若有多个市场，可建立大规模线性规划模型，用单纯形法或内点法求解。
此模型本质是价格歧视问题的线性规划近似，适用于可分割市场且需求函数为线性或可线性化的情况。

通过此例，你将需求曲线、价格、成本、产能整合为线性规划，并利用分段线性化处理二次利润函数，从而在复杂约束下得到最优定价。

基于线性规划的“最优定价策略”建模与求解示例一、问题描述一家公司生产并销售一种产品，其生产成本为每单位 $c$ 元。市场对该产品的需求与价格相关：设价格为 $p$ 时，需求函数为 $D(p) = a - b \cdot p$，其中 $a>0, b>0$ 为已知常数，且 $a > b \cdot c$ 确保有利润空间。公司要确定一个价格 $p$，使得利润最大化。已知条件：生产成本 $c = 4$ 元/单位需求函数参数 $a = 100,\ b = 2$ 价格 $p$ 需在合理范围 $[ c, a/b ]$ 内（否则需求非正）二、建立线性规划模型 1. 利润表达式利润 = 收入 - 成本收入 = $p \cdot D(p) = p \cdot (a - b p)$ 成本 = $c \cdot D(p) = c \cdot (a - b p)$ 因此利润函数为： $$ \pi(p) = (p - c)(a - b p) $$ 展开： $$ \pi(p) = -b p^2 + (a + b c) p - a c $$ 由于是 $p$ 的二次函数，在 $p$ 无约束时可直接用导数求极值。但若存在分段定价或多产品联合定价等复杂约束，需用线性规划建模。下面我们增加约束将其转化为线性规划问题。 2. 引入辅助变量与线性化技巧假设公司考虑两种定价策略：低价策略 $p_ 1$，适用市场 A，需求 $D_ 1(p_ 1) = a_ 1 - b_ 1 p_ 1$ 高价策略 $p_ 2$，适用市场 B，需求 $D_ 2(p_ 2) = a_ 2 - b_ 2 p_ 2$ 但总产量有限制：$D_ 1(p_ 1) + D_ 2(p_ 2) \le M$（生产能力限制）。设 $x_ 1 = D_ 1(p_ 1)$，$x_ 2 = D_ 2(p_ 2)$，则 $p_ 1 = \frac{a_ 1 - x_ 1}{b_ 1}$，$p_ 2 = \frac{a_ 2 - x_ 2}{b_ 2}$。利润为： $$ \text{Profit} = (p_ 1 - c)x_ 1 + (p_ 2 - c)x_ 2 $$ 代入 $p_ 1, p_ 2$： $$ \text{Profit} = \left(\frac{a_ 1 - x_ 1}{b_ 1} - c\right)x_ 1 + \left(\frac{a_ 2 - x_ 2}{b_ 2} - c\right)x_ 2 $$ 展开： $$ = \left(\frac{a_ 1}{b_ 1} - c\right)x_ 1 - \frac{1}{b_ 1}x_ 1^2 + \left(\frac{a_ 2}{b_ 2} - c\right)x_ 2 - \frac{1}{b_ 2}x_ 2^2 $$ 这是关于 $x_ 1,x_ 2$ 的二次函数，但若对 $x_ i$ 做分段线性化，可转为线性规划。 3. 分段线性化示例设 $x_ 1$ 的范围为 $[ 0, 50 ]$，将其分为 5 段，每段长度 10。定义变量 $z_ {1j}$ 表示 $x_ 1$ 在第 $j$ 段所占比例，$j=1,\dots,5$。设第 $j$ 段起点为 $L_ j$，终点为 $U_ j$，对应价格为 $P_ j = \frac{a_ 1 - (L_ j+U_ j)/2}{b_ 1}$（近似线性化）。则 $x_ 1 = \sum_ {j=1}^5 (L_ j + \theta_ j (U_ j - L_ j))$，其中 $0 \le \theta_ j \le 1$ 且至多两个相邻 $\theta_ j$ 非零（分段线性常用SOS2约束，在LP中可用额外变量和约束近似）。简化：直接假设 $x_ 1$ 和 $x_ 2$ 的利润函数用分段的线性函数近似：设利润函数 $f_ i(x_ i) = (a_ i/b_ i - c)x_ i - (1/b_ i)x_ i^2$ 是凹函数，可用 $K$ 个割线近似其上界，转为线性规划。 4. 具体数值模型设 $a_ 1=60, b_ 1=1.5, a_ 2=40, b_ 2=1, c=4, M=50$。则 $f_ 1(x_ 1) = (60/1.5 - 4)x_ 1 - (1/1.5)x_ 1^2 = 36x_ 1 - 0.6667x_ 1^2$ $f_ 2(x_ 2) = (40/1 - 4)x_ 2 - (1/1)x_ 2^2 = 36x_ 2 - x_ 2^2$ 在 $x_ i \in [ 0,30 ]$ 内分别取 3 个点线性插值：对 $f_ 1$：点 $(0,0), (15, 36\times 15 - 0.6667\times 225 = 540 - 150 = 390), (30, 36\times 30 - 0.6667\times 900 = 1080 - 600 = 480)$ 得到两段直线：段1：$0 \le x_ 1 \le 15$，斜率 $390/15 = 26$，截距 0 → 利润近似 $26x_ 1$ 段2：$15 \le x_ 1 \le 30$，斜率 $(480-390)/(30-15) = 90/15 = 6$，截距 $390 - 6\times 15 = 300$ → 利润近似 $6x_ 1 + 300$ 同理 $f_ 2$：点 $(0,0), (15, 36\times 15 - 225 = 315), (30, 36\times 30 - 900 = 180)$ 段1：$0 \le x_ 2 \le 15$，斜率 $315/15 = 21$，利润近似 $21x_ 2$ 段2：$15 \le x_ 2 \le 30$，斜率 $(180-315)/(30-15) = -135/15 = -9$，截距 $315 - (-9)\times 15 = 450$ → 利润近似 $-9x_ 2 + 450$ 5. 最终线性规划模型引入辅助变量 $y_ 1,y_ 2$ 表示 $x_ 1,x_ 2$ 所在段，用凸组合表示：设 $x_ 1 = 0\cdot\lambda_ {10} + 15\lambda_ {11} + 30\lambda_ {12}$ 利润1近似 = $0\cdot\lambda_ {10} + 390\lambda_ {11} + 480\lambda_ {12}$ 同理 $x_ 2 = 0\cdot\lambda_ {20} + 15\lambda_ {21} + 30\lambda_ {22}$ 利润2近似 = $0\cdot\lambda_ {20} + 315\lambda_ {21} + 180\lambda_ {22}$ 约束： $\lambda_ {10}+\lambda_ {11}+\lambda_ {12}=1$，$\lambda_ {20}+\lambda_ {21}+\lambda_ {22}=1$ $0 \le \lambda_ {ij} \le 1$，且每个 $i$ 的 $\lambda_ {i0},\lambda_ {i1},\lambda_ {i2}$ 中至多两个相邻非零（SOS2约束，可用二进制变量和附加约束实现，但若允许分段线性凸函数，则直接取角点可行）生产能力：$x_ 1+x_ 2 \le 50$ 目标： $$ \max\ 390\lambda_ {11} + 480\lambda_ {12} + 315\lambda_ {21} + 180\lambda_ {22} $$ 由于 $f_ 1$ 是凹函数，其分段线性化是精确表示（在选定的断点上），因此线性规划可给出原二次利润函数的最优解。三、求解步骤忽略SOS2约束，先解线性规划（因为凹函数最大化在线性约束下，最优解会在断点上，自动满足至多两个相邻非零）。写出单纯形表或使用线性规划求解器。求解得：检查利润函数，显然 $f_ 1$ 在 $x_ 1=15$ 到 $x_ 1=30$ 增加缓慢，$f_ 2$ 在 $x_ 2>15$ 后下降，因此尽量让 $x_ 1$ 接近 30，$x_ 2$ 接近 15，但受 $x_ 1+x_ 2\le 50$ 限制。试 $x_ 1=30$，则 $x_ 2\le 20$，但 $x_ 2=15$ 时利润2=315，$x_ 2=20$ 时用插值：$20 = 15 + 5$，对应利润 $315 + 5\times(-9) = 270$。总利润 = 480 + 315 = 795（当 $x_ 1=30,x_ 2=15$）若 $x_ 1=25$，利润1 = 390 + 10×6 = 450，$x_ 2=25$ 利润2 = 315 + 10×(-9) = 225，总=675，更小。因此最优为 $x_ 1=30, x_ 2=15$，对应价格 $p_ 1 = (60-30)/1.5=20$，$p_ 2=(40-15)/1=25$。验证生产能力：$30+15=45 \le 50$，满足。四、结果解释最优定价策略：市场A：价格 20 元，销量 30 单位，利润 = (20-4)×30=480 元市场B：价格 25 元，销量 15 单位，利润 = (25-4)×15=315 元总利润 795 元，产能剩余 5 单位。五、扩展讨论若需求函数非线性更强，可分更多段逼近。若有多个市场，可建立大规模线性规划模型，用单纯形法或内点法求解。此模型本质是价格歧视问题的线性规划近似，适用于可分割市场且需求函数为线性或可线性化的情况。通过此例，你将需求曲线、价格、成本、产能整合为线性规划，并利用分段线性化处理二次利润函数，从而在复杂约束下得到最优定价。