题目：切棍子的最小成本问题（基础版）
字数 4547 2025-12-20 21:06:14

好的，根据你提供的详尽历史记录，我随机选择一个在该列表中从未以独立标题形式出现过的经典区间动态规划题目：

题目：切棍子的最小成本问题（基础版）

题目描述

你有一根长度为 n 个单位的木棍，木棍从位置 0 到位置 n 进行标记。

同时，你有一个整数数组 cuts，其中 cuts[i] 表示你需要在木棍上的这个标记位置进行切割。

每次切割的成本等于当前被切割木棍的长度。
例如，如果你有一根长度为 5 的木棍，你在位置 2 进行切割，那么这次切割的成本是 5。
然后你会得到两根长度分别为 2 和 3 的木棍。后续的切割只针对这些更短的小棍进行。

你的任务是：按照任意顺序进行切割，使得所有 cuts 中指定的位置都被切割到，并且总成本最小。你需要计算并返回这个最小总成本。

示例 1：

输入：n = 7, cuts = [1, 3, 4, 5]
输出：16
解释：
一种最优的切割顺序是：
1. 先切位置 4，成本 = 7
2. 在长度 4 的木棍上切位置 1，成本 = 4
3. 在长度 6 的木棍上切位置 3，成本 = 6
4. 在长度 3 的木棍上切位置 5，成本 = 3
总成本 = 7 + 4 + 6 + 3 = 20 (这不是最优的)
实际上最优顺序是 [3, 5, 1, 4] 或 [4, 1, 5, 3]，总成本 = 16。

示例 2：

输入：n = 9, cuts = [5, 6, 1, 4, 2]
输出：22
解释：最优切割顺序可以是 [2, 4, 1, 5, 6]，总成本 = 22。

约束条件：

  • 2 <= n <= 10^6
  • 1 <= cuts.length <= min(n-1, 100) (注意：切割点数量较少)
  • 1 <= cuts[i] <= n-1
  • cuts 中的所有整数互不相同。

解题思路与步骤

这个问题的一个关键直觉是：切割的顺序会影响总成本。
比如一根长棍，如果你先在最中间切，成本很高；如果你先从两端切成小段，最后处理中间的剩余部分，长棍被保留到最后，成本也会很高。

我们需要一个系统的方法来找到最优的切割顺序，这正是区间动态规划（Interval DP）的用武之地。

1. 问题转化与预处理

我们首先将问题“映射”到一个更易处理的区间上。

  • 原始的棍子是 [0, n]。
  • 切割点 cuts 是这根棍子上的标记位置。
    为了处理方便，我们把棍子的两端（0 和 n）也看作是“虚拟的”切割点，因为它们是任何一段木棍的起点和终点。

预处理步骤：

  1. 将 cuts 数组排序。
  2. 创建一个新的数组 arr，内容为 [0] + sorted(cuts) + [n]。
  3. 设 m = len(arr)。现在，arr 中的元素代表了一根完整棍子上所有关键点的位置，相邻两点之间就是一段基本的木棍。

为什么这样做？
现在问题变为：我们有一个由 m-1 段基本木棍首尾相连组成的“超级棍子”（关键点在 arr[0], arr[1], ..., arr[m-1]）。我们需要在内部的关键点（即除了首尾 0 和 n 的点）进行切割。每次切割一个内部点，都会将当前正在处理的一段连续的“超级棍子”分成两段，成本是这段“超级棍子”的长度。

2. 定义动态规划状态

我们定义 dp[i][j]：

  • 含义：完成对原始棍子中从关键点 arr[i] 到关键点 arr[j] 这一段内部的**所有指定切割点（即所有属于 cuts 且位于 (arr[i], arr[j]) 之间的点）进行切割，所需的最小总成本。
  • 范围：0 <= i < j < m。
  • 最终答案：我们要求的是 dp[0][m-1]，即完成整根棍子 [0, n] 内部所有切割的最小成本。

注意：区间 [i, j] 对应棍子的实际长度是 arr[j] - arr[i]。

3. 状态转移方程

考虑区间 [i, j]。

  • 如果 j - i == 1，即区间内没有内部的切割点（因为 arr[i] 和 arr[j] 是相邻的关键点），那么不需要切割，成本为 0。dp[i][j] = 0。
  • 如果 j - i > 1，说明在 (arr[i], arr[j]) 之间存在至少一个切割点。我们必须选择一个内部的切割点 k （i < k < j）作为第一刀（在当前这个子问题视角下的第一刀）。
    • 选择切割点 k 意味着我们在位置 arr[k] 下刀。
    • 这一刀的成本是多少？就是当前这段棍子的长度，即 arr[j] - arr[i]。
    • 下完这一刀后，原棍子 [i, j] 被分成左右两段：[i, k] 和 [k, j]。
    • 接下来，我们需要独立地完成左段内部和右段内部的所有切割。根据 dp 的定义，完成左段的最小成本是 dp[i][k]，完成右段的最小成本是 dp[k][j]。
    • 因此，如果我们选择 k 作为第一刀，总成本为：(arr[j] - arr[i]) + dp[i][k] + dp[k][j]。

我们的目标是总成本最小，所以要遍历所有可能的第一刀位置 k（i < k < j），选择总成本最小的那个。

状态转移方程：
dp[i][j] = 0, 如果 j == i+1
dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k][j] ) + (arr[j] - arr[i]), 其中 k 从 i+1 遍历到 j-1

4. 计算顺序与初始化

这是一个典型的区间DP问题，我们需要按照区间长度从小到大的顺序来计算 dp 表。

  • 先计算所有长度为 2 的区间（即 j = i+1），成本为 0。
  • 然后计算长度为 3 的区间（j = i+2），这中间恰好有一个切割点。
  • 接着计算长度为 4，5，...，直到 m。

这样，当计算 dp[i][j] 时，它所依赖的更小的子区间 dp[i][k] 和 dp[k][j]（区间长度都小于 [i, j]）都已经被计算出来了。

5. 复杂度分析

  • 预处理排序：O(c log c)，其中 c = len(cuts)。
  • DP 状态数：O(m^2)，其中 m = c + 2。因为 c <= 100，所以 m <= 102，状态数约 10^4 量级。
  • 每个状态 dp[i][j] 需要遍历 O(m) 个 k。
  • 总时间复杂度：O(m^3)，在本问题限制下 (m <= 102) 是完全可行的（~10^6 次操作）。
  • 空间复杂度：O(m^2) 用于存储 dp 表。

示例演算（以 n=7, cuts=[1,3,4,5] 为例）

  1. 预处理：

    • 排序 cuts -> [1, 3, 4, 5]
    • arr = [0, 1, 3, 4, 5, 7]。m = 6。
    • 关键点索引与实际位置对应：0:0, 1:1, 2:3, 3:4, 4:5, 5:7。

  2. 初始化：所有 j == i+1 的 dp[i][j] = 0。

    • 例如 dp[0][1]=0, dp[1][2]=0, ..., dp[4][5]=0。

  3. 计算长度为 3 的区间（即中间恰好一个切割点）：

    • 计算 dp[0][2]：区间 [0, 2] 对应棍子 [0, 3]，内部切割点是 k=1（位置1）。
      • 成本 = (arr[2]-arr[0]) + dp[0][1] + dp[1][2] = (3-0) + 0 + 0 = 3。
      • dp[0][2] = 3。
    • 计算 dp[1][3]：区间 [1, 3] 对应 [1, 4]，内部点 k=2（位置3）。
      • 成本 = (4-1) + 0 + 0 = 3。dp[1][3]=3。
    • 类似地：
      • dp[2][4]: [3,5]，内部点 k=3(4)，成本=(5-3)+0+0=2。
      • dp[3][5]: [4,7]，内部点 k=4(5)，成本=(7-4)+0+0=3。
      • dp[0][1], dp[1][2] 等长度为2的已在初始化中。

  4. 计算长度为 4 的区间（中间有两个切割点）：

    • 计算 dp[0][3]：区间 [0,3] 对应 [0,4]，内部切割点可以是 k=1 或 k=2。
      • 若选 k=1: 成本 = (4-0) + dp[0][1] + dp[1][3] = 4 + 0 + 3 = 7
      • 若选 k=2: 成本 = (4-0) + dp[0][2] + dp[2][3] = 4 + 3 + 0 = 7
      • dp[0][3] = min(7, 7) = 7
    • 计算 dp[1][4]：区间 [1,4] 对应 [1,5]，内部点 k=2 或 k=3。
      • 选 k=2: (5-1) + dp[1][2] + dp[2][4] = 4 + 0 + 2 = 6
      • 选 k=3: (5-1) + dp[1][3] + dp[3][4] = 4 + 3 + 0 = 7
      • dp[1][4] = min(6, 7) = 6
    • 类似计算 dp[2][5]: [3,7]，内部点 k=3 或 k=4。
      • 选 k=3: (7-3) + dp[2][3] + dp[3][5] = 4 + 0 + 3 = 7
      • 选 k=4: (7-3) + dp[2][4] + dp[4][5] = 4 + 2 + 0 = 6
      • dp[2][5] = min(7, 6) = 6

  5. 计算更长的区间：

    • 计算 dp[0][4]：[0,5]，内部点 k=1,2,3。
      • k=1: (5-0) + dp[0][1] + dp[1][4] = 5 + 0 + 6 = 11
      • k=2: (5-0) + dp[0][2] + dp[2][4] = 5 + 3 + 2 = 10
      • k=3: (5-0) + dp[0][3] + dp[3][4] = 5 + 7 + 0 = 12
      • dp[0][4] = min(11, 10, 12) = 10
    • 计算 dp[1][5]：[1,7]，内部点 k=2,3,4。
      • k=2: (7-1) + dp[1][2] + dp[2][5] = 6 + 0 + 6 = 12
      • k=3: (7-1) + dp[1][3] + dp[3][5] = 6 + 3 + 3 = 12
      • k=4: (7-1) + dp[1][4] + dp[4][5] = 6 + 6 + 0 = 12
      • dp[1][5] = min(12, 12, 12) = 12

  6. 计算最终答案 dp[0][5]：[0,7]，内部点 k=1,2,3,4。

    • k=1: (7-0) + dp[0][1] + dp[1][5] = 7 + 0 + 12 = 19
    • k=2: (7-0) + dp[0][2] + dp[2][5] = 7 + 3 + 6 = 16
    • k=3: (7-0) + dp[0][3] + dp[3][5] = 7 + 7 + 3 = 17
    • k=4: (7-0) + dp[0][4] + dp[4][5] = 7 + 10 + 0 = 17
    • dp[0][5] = min(19, 16, 17, 17) = 16

最终得到最小总成本为 16，与题目示例一致。这个计算过程清晰地展示了如何通过组合小区间的最优解，得到大区间的最优解。

好的，根据你提供的详尽历史记录，我随机选择一个在该列表中从未以独立标题形式出现过的经典区间动态规划题目： 题目：切棍子的最小成本问题（基础版） 题目描述 你有一根长度为 n 个单位的木棍，木棍从位置 0 到位置 n 进行标记。 同时，你有一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要在木棍上的这个标记位置进行切割。 每次切割的成本等于当前被切割木棍的长度。 例如，如果你有一根长度为 5 的木棍，你在位置 2 进行切割，那么这次切割的成本是 5 。 然后你会得到两根长度分别为 2 和 3 的木棍。后续的切割只针对这些更短的小棍进行。 你的任务是： 按照任意顺序进行切割 ，使得所有 cuts 中指定的位置都被切割到，并且 总成本最小 。你需要计算并返回这个 最小总成本 。 示例 1： 示例 2： 约束条件： 2 <= n <= 10^6 1 <= cuts.length <= min(n-1, 100) (注意：切割点数量较少) 1 <= cuts[i] <= n-1 cuts 中的所有整数 互不相同 。 解题思路与步骤 这个问题的一个关键直觉是： 切割的顺序会影响总成本 。 比如一根长棍，如果你先在最中间切，成本很高；如果你先从两端切成小段，最后处理中间的剩余部分，长棍被保留到最后，成本也会很高。 我们需要一个系统的方法来找到最优的切割顺序，这正是 区间动态规划（Interval DP） 的用武之地。 1. 问题转化与预处理 我们首先将问题“映射”到一个更易处理的区间上。 原始的棍子是 [0, n] 。 切割点 cuts 是这根棍子上的标记位置。 为了处理方便，我们把棍子的两端（0 和 n）也看作是“虚拟的”切割点，因为它们是任何一段木棍的起点和终点。 预处理步骤： 将 cuts 数组排序。 创建一个新的数组 arr ，内容为 [0] + sorted(cuts) + [n] 。 设 m = len(arr) 。现在， arr 中的元素代表了一根完整棍子上所有 关键点 的位置，相邻两点之间就是一段基本的木棍。 为什么这样做？ 现在问题变为：我们有一个由 m-1 段基本木棍首尾相连组成的“超级棍子”（关键点在 arr[0], arr[1], ..., arr[m-1] ）。我们需要在 内部的 关键点（即除了首尾 0 和 n 的点）进行切割。每次切割一个内部点，都会将当前正在处理的一段连续的“超级棍子”分成两段，成本是这段“超级棍子”的长度。 2. 定义动态规划状态 我们定义 dp[i][j] ： 含义 ：完成对 原始棍子中从关键点 arr[i] 到关键点 arr[j] 这一段 内部的** 所有指定切割点（即所有属于 cuts 且位于 (arr[i], arr[j]) 之间的点）进行切割，所需的最小总成本。 范围 ： 0 <= i < j < m 。 最终答案 ：我们要求的是 dp[0][m-1] ，即完成整根棍子 [0, n] 内部所有切割的最小成本。 注意 ：区间 [i, j] 对应棍子的实际长度是 arr[j] - arr[i] 。 3. 状态转移方程 考虑区间 [i, j] 。 如果 j - i == 1 ，即区间内 没有 内部的切割点（因为 arr[i] 和 arr[j] 是相邻的关键点），那么不需要切割，成本为 0 。 dp[i][j] = 0 。 如果 j - i > 1 ，说明在 (arr[i], arr[j]) 之间存在至少一个切割点。我们 必须 选择一个内部的切割点 k （ i < k < j ）作为 第一刀 （在当前这个子问题视角下的第一刀）。 选择切割点 k 意味着我们在位置 arr[k] 下刀。 这一刀的成本是多少？ 就是当前这段棍子的长度 ，即 arr[j] - arr[i] 。 下完这一刀后，原棍子 [i, j] 被分成左右两段： [i, k] 和 [k, j] 。 接下来，我们需要 独立地 完成左段内部和右段内部的所有切割。根据 dp 的定义，完成左段的最小成本是 dp[i][k] ，完成右段的最小成本是 dp[k][j] 。 因此，如果我们选择 k 作为第一刀，总成本为： (arr[j] - arr[i]) + dp[i][k] + dp[k][j] 。 我们的目标是总成本最小，所以要遍历所有可能的第一刀位置 k （ i < k < j ），选择总成本最小的那个。 状态转移方程： dp[i][j] = 0, 如果 j == i+1 dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k][j] ) + (arr[j] - arr[i]), 其中 k 从 i+1 遍历到 j-1 4. 计算顺序与初始化 这是一个典型的区间DP问题，我们需要按照 区间长度 从小到大的顺序来计算 dp 表。 先计算所有长度为 2 的区间（即 j = i+1 ），成本为 0。 然后计算长度为 3 的区间（ j = i+2 ），这中间恰好有一个切割点。 接着计算长度为 4，5，...，直到 m 。 这样，当计算 dp[i][j] 时，它所依赖的更小的子区间 dp[i][k] 和 dp[k][j] （区间长度都小于 [i, j] ）都已经被计算出来了。 5. 复杂度分析 预处理排序： O(c log c) ，其中 c = len(cuts) 。 DP 状态数： O(m^2) ，其中 m = c + 2 。因为 c <= 100 ，所以 m <= 102 ，状态数约 10^4 量级。 每个状态 dp[i][j] 需要遍历 O(m) 个 k 。 总时间复杂度： O(m^3) ，在本问题限制下 ( m <= 102 ) 是完全可行的（~10^6 次操作）。 空间复杂度： O(m^2) 用于存储 dp 表。 示例演算（以 n=7, cuts=[ 1,3,4,5] 为例） 预处理 ： 排序 cuts -> [1, 3, 4, 5] arr = [0, 1, 3, 4, 5, 7] 。 m = 6 。 关键点索引与实际位置对应： 0:0, 1:1, 2:3, 3:4, 4:5, 5:7 。 初始化 ：所有 j == i+1 的 dp[i][j] = 0 。 例如 dp[0][1]=0 , dp[1][2]=0 , ..., dp[4][5]=0 。 计算长度为 3 的区间 （即中间恰好一个切割点）： 计算 dp[0][2] ：区间 [0, 2] 对应棍子 [0, 3] ，内部切割点是 k=1 （位置1）。 成本 = (arr[2]-arr[0]) + dp[0][1] + dp[1][2] = (3-0) + 0 + 0 = 3 。 dp[0][2] = 3 。 计算 dp[1][3] ：区间 [1, 3] 对应 [1, 4] ，内部点 k=2 （位置3）。 成本 = (4-1) + 0 + 0 = 3 。 dp[1][3]=3 。 类似地： dp[2][4] : [3,5] ，内部点 k=3 (4)，成本= (5-3)+0+0=2 。 dp[3][5] : [4,7] ，内部点 k=4 (5)，成本= (7-4)+0+0=3 。 dp[0][1] , dp[1][2] 等长度为2的已在初始化中。 计算长度为 4 的区间 （中间有两个切割点）： 计算 dp[0][3] ：区间 [0,3] 对应 [0,4] ，内部切割点可以是 k=1 或 k=2 。 若选 k=1 : 成本 = (4-0) + dp[0][1] + dp[1][3] = 4 + 0 + 3 = 7 若选 k=2 : 成本 = (4-0) + dp[0][2] + dp[2][3] = 4 + 3 + 0 = 7 dp[0][3] = min(7, 7) = 7 计算 dp[1][4] ：区间 [1,4] 对应 [1,5] ，内部点 k=2 或 k=3 。 选 k=2 : (5-1) + dp[1][2] + dp[2][4] = 4 + 0 + 2 = 6 选 k=3 : (5-1) + dp[1][3] + dp[3][4] = 4 + 3 + 0 = 7 dp[1][4] = min(6, 7) = 6 类似计算 dp[2][5] : [3,7] ，内部点 k=3 或 k=4 。 选 k=3 : (7-3) + dp[2][3] + dp[3][5] = 4 + 0 + 3 = 7 选 k=4 : (7-3) + dp[2][4] + dp[4][5] = 4 + 2 + 0 = 6 dp[2][5] = min(7, 6) = 6 计算更长的区间 ： 计算 dp[0][4] ： [0,5] ，内部点 k=1,2,3 。 k=1 : (5-0) + dp[0][1] + dp[1][4] = 5 + 0 + 6 = 11 k=2 : (5-0) + dp[0][2] + dp[2][4] = 5 + 3 + 2 = 10 k=3 : (5-0) + dp[0][3] + dp[3][4] = 5 + 7 + 0 = 12 dp[0][4] = min(11, 10, 12) = 10 计算 dp[1][5] ： [1,7] ，内部点 k=2,3,4 。 k=2 : (7-1) + dp[1][2] + dp[2][5] = 6 + 0 + 6 = 12 k=3 : (7-1) + dp[1][3] + dp[3][5] = 6 + 3 + 3 = 12 k=4 : (7-1) + dp[1][4] + dp[4][5] = 6 + 6 + 0 = 12 dp[1][5] = min(12, 12, 12) = 12 计算最终答案 dp[0][5] ： [0,7] ，内部点 k=1,2,3,4 。 k=1 : (7-0) + dp[0][1] + dp[1][5] = 7 + 0 + 12 = 19 k=2 : (7-0) + dp[0][2] + dp[2][5] = 7 + 3 + 6 = 16 k=3 : (7-0) + dp[0][3] + dp[3][5] = 7 + 7 + 3 = 17 k=4 : (7-0) + dp[0][4] + dp[4][5] = 7 + 10 + 0 = 17 dp[0][5] = min(19, 16, 17, 17) = 16 最终得到最小总成本为 16 ，与题目示例一致。这个计算过程清晰地展示了如何通过组合小区间的最优解，得到大区间的最优解。