SHA-256 哈希算法中 Σ0 和 Σ1 函数的定义、作用与计算过程详解
字数 3206 2025-12-20 18:32:20

SHA-256 哈希算法中 Σ0 和 Σ1 函数的定义、作用与计算过程详解

题目描述
在SHA-256哈希算法的压缩函数中，每一轮计算都会用到两个重要的中间函数，通常称为 Σ0（Sigma0）和 Σ1（Sigma1）。本题要求详细解释这两个函数的数学定义、它们在压缩函数中的具体作用，以及每一步的计算过程。

1. SHA-256压缩函数的整体结构回顾

为了使你理解Σ0和Σ1的上下文，我们先快速回顾SHA-256压缩函数的核心结构。压缩函数处理一个512位的消息块，并更新一个256位的中间哈希值（由8个32位字A, B, C, D, E, F, G, H表示）。

在每一轮（共64轮）计算中，压缩函数会：

  1. 计算两个中间值：Ch(E, F, G) 和 Maj(A, B, C)。
  2. 计算两个“求和”函数：Σ0(A) 和 Σ1(E)。
  3. 使用一个预定义的常数 K_t 和当前消息扩展后的字 W_t。
  4. 更新临时变量，并最终轮换更新A到H的值。

Σ0和Σ1是其中关键的线性变换部分，它们的作用是引入扩散（diffusion），即让输入字的每一位变化能够扩散到输出的多个位上。

2. Σ0 和 Σ1 的数学定义

这两个函数都作用于一个32位的输入字（记作x），输出也是一个32位的字。它们是通过对输入x进行循环右移（rotate right, 记作 ROTR）和逻辑右移（shift right, 记作 SHR）操作，然后将结果进行异或（XOR, 记作 ⊕）而定义的。

具体定义如下：

  • Σ0(x) = ROTR⁽²⁾(x) ⊕ ROTR⁽¹³⁾(x) ⊕ ROTR⁽²²⁾(x)
  • Σ1(x) = ROTR⁽⁶⁾(x) ⊕ ROTR⁽¹¹⁾(x) ⊕ ROTR⁽²⁵⁾(x)

关键概念解释：

  • 循环右移 (ROTRⁿ)： 将32位字视为一个首尾相接的环，整体向右移动n位。右边移出的n位，从左边重新移入。
    • 示例（用8位简化说明）：设 x = 11010010 (二进制)，ROTR³(x) 的结果是：最右边的3位 010 被移出，然后放到最左边，得到 01011010。
  • 逻辑右移 (SHRⁿ)： 将32位字整体向右移动n位，左边空出的n位用0填充。在Σ0和Σ1的定义中，使用的是循环右移，不是逻辑右移。请注意，在SHA-256的消息扩展过程中使用的σ0和σ1函数，才用到了SHR操作，不要与这里的Σ0/Σ1混淆。
  • 异或 (⊕)： 按位异或操作。对应位相同则输出0，不同则输出1。

3. 计算步骤分解（以Σ0为例）

假设我们有一个具体的32位输入字 A。计算 Σ0(A) 的步骤如下：

步骤1：计算三个循环右移的结果

  1. a = ROTR²(A): 将A的二进制表示向右循环移动2位。
  2. b = ROTR¹³(A): 将A的二进制表示向右循环移动13位。
  3. c = ROTR²²(A): 将A的二进制表示向右循环移动22位。

步骤2：对三个结果进行异或
4. 结果 = a ⊕ b ⊕ c
由于异或运算满足结合律和交换律，顺序可以任意。

一个微型数值示例（为简化，用8位字演示原理）：
设 A = 10110010 (二进制，十进制178)。

  • ROTR²(A): 10110010 -> 移出最右10，放到最左 -> 10101100

  • ROTR¹³(A): 对8位字，移动13位等价于移动 13 mod 8 = 5位。ROTR⁵(A): 10110010 -> 移出最右10010，放到最左 -> 01010110

  • ROTR²²(A): 22 mod 8 = 6位。ROTR⁶(A): 10110010 -> 移出最右100010，放到最左 -> 00101011 (注意：这里10110010移出右6位100010后，剩下左2位10，组合后为10001010？更正：应为10110010循环右移6位：将100010移到左边，剩下10在右边，结果为10001010。我们重新计算以确保清晰)
    让我们更仔细地手动计算8位示例：
    A = b1 0 1 1 0 0 1 0
    索引(从高位到低位): 位7 位6 位5 位4 位3 位2 位1 位0
    值: 1 0 1 1 0 0 1 0

    ROTR²: 将最后2位(位1,0: 1 0)移到前面。前6位(位7-位2: 1 0 1 1 0 0)移到右边。
    结果: (1 0) + (1 0 1 1 0 0) = 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 10101100 (与之前一致)

    ROTR¹³: 13 mod 8 = 5. ROTR⁵: 将最后5位(位4-位0: 1 0 0 1 0)移到前面。前3位(位7-位5: 1 0 1)移到右边。
    结果: (1 0 0 1 0) + (1 0 1) = 1 0 0 1 0 1 0 1 -> 10010101 (修正之前错误)

    ROTR²²: 22 mod 8 = 6. ROTR⁶: 将最后6位(位5-位0: 1 1 0 0 1 0)移到前面。前2位(位7-位6: 1 0)移到右边。
    结果: (1 1 0 0 1 0) + (1 0) = 1 1 0 0 1 0 1 0 -> 11001010

  • 现在计算 Σ0(A) = 10101100 ⊕ 10010101 ⊕ 11001010

    • 先计算 10101100 ⊕ 10010101 = 00111001
    • 再计算 00111001 ⊕ 11001010 = 11110011

  • 所以 Σ0(A) = 11110011 (二进制)。

Σ1(E)的计算过程完全类似，只是移动的位数变成了6、11、25。

4. Σ0 和 Σ1 在SHA-256轮函数中的作用

在SHA-256压缩函数的轮函数中，主要更新方程如下（对于轮次t）：
T1 = H + Σ1(E) + Ch(E, F, G) + K_t + W_t
T2 = Σ0(A) + Maj(A, B, C)
然后更新：
H = G
G = F
...
A = T1 + T2

作用分析：

  1. 非线性扩散： Σ0和Σ1是纯线性的比特混合函数（只有循环移位和异或）。它们接收当前状态字（A或E），通过不同距离的循环移位，将输入字的每一个比特散布到输出的多个不同位置上，然后进行组合。这极大地增强了算法的扩散特性，使得输入中任何微小的变化，经过多轮迭代后，能迅速影响到哈希结果的每一个比特。
  2. 与非线性函数配合： Σ0(A)与非线性函数Maj(A,B,C)相加，Σ1(E)与非线性函数Ch(E,F,G)相加。这种“线性变换+非线性变换”的组合是构建强密码学哈希函数压缩函数的经典模式，同时提供了良好的混淆（confusion）和扩散。
  3. 打破对称性： 对A和E使用不同的位移常数（2,13,22 和 6,11,25），确保从两个不同路径（经由A的路径和经由E的路径）进行的计算具有不同的扩散模式，增加了算法的复杂性和抗分析能力。

5. 总结

  • Σ0 和 Σ1 是SHA-256压缩函数轮计算中的两个关键的、线性的比特混合函数。
  • 它们的定义是固定位移量的循环右移操作的异或和：Σ0(x)=ROTR²(x)⊕ROTR¹³(x)⊕ROTR²²(x)；Σ1(x)=ROTR⁶(x)⊕ROTR¹¹(x)⊕ROTR²⁵(x)。
  • 它们的核心作用是提供强大的比特扩散，与非线性函数Ch、Maj以及加法模2³²运算结合，共同确保SHA-256对输入消息高度敏感，满足密码学哈希函数的安全要求。
SHA-256 哈希算法中 Σ0 和 Σ1 函数的定义、作用与计算过程详解 题目描述 在SHA-256哈希算法的压缩函数中，每一轮计算都会用到两个重要的中间函数，通常称为 Σ0（Sigma0）和 Σ1（Sigma1）。本题要求详细解释这两个函数的数学定义、它们在压缩函数中的具体作用，以及每一步的计算过程。 1. SHA-256压缩函数的整体结构回顾 为了使你理解Σ0和Σ1的上下文，我们先快速回顾SHA-256压缩函数的核心结构。压缩函数处理一个512位的消息块，并更新一个256位的中间哈希值（由8个32位字A, B, C, D, E, F, G, H表示）。 在每一轮（共64轮）计算中，压缩函数会： 计算两个中间值：Ch(E, F, G) 和 Maj(A, B, C)。 计算两个“求和”函数：Σ0(A) 和 Σ1(E)。 使用一个预定义的常数 K_ t 和当前消息扩展后的字 W_ t。 更新临时变量，并最终轮换更新A到H的值。 Σ0和Σ1是其中关键的线性变换部分，它们的作用是引入扩散（diffusion），即让输入字的每一位变化能够扩散到输出的多个位上。 2. Σ0 和 Σ1 的数学定义 这两个函数都作用于一个32位的输入字（记作x），输出也是一个32位的字。它们是通过对输入x进行循环右移（rotate right, 记作 ROTR）和逻辑右移（shift right, 记作 SHR）操作，然后将结果进行异或（XOR, 记作 ⊕）而定义的。 具体定义如下： Σ0(x) = ROTR⁽²⁾(x) ⊕ ROTR⁽¹³⁾(x) ⊕ ROTR⁽²²⁾(x) Σ1(x) = ROTR⁽⁶⁾(x) ⊕ ROTR⁽¹¹⁾(x) ⊕ ROTR⁽²⁵⁾(x) 关键概念解释 ： 循环右移 (ROTRⁿ) ： 将32位字视为一个首尾相接的环，整体向右移动n位。右边移出的n位，从左边重新移入。 示例（用8位简化说明）：设 x = 11010010 (二进制)，ROTR³(x) 的结果是：最右边的3位 010 被移出，然后放到最左边，得到 01011010 。 逻辑右移 (SHRⁿ) ： 将32位字整体向右移动n位，左边空出的n位用0填充。在Σ0和Σ1的定义中，使用的是循环右移， 不是 逻辑右移。请注意，在SHA-256的 消息扩展 过程中使用的σ0和σ1函数，才用到了SHR操作，不要与这里的Σ0/Σ1混淆。 异或 (⊕) ： 按位异或操作。对应位相同则输出0，不同则输出1。 3. 计算步骤分解（以Σ0为例） 假设我们有一个具体的32位输入字 A。计算 Σ0(A) 的步骤如下： 步骤1：计算三个循环右移的结果 a = ROTR²(A) : 将A的二进制表示向右循环移动2位。 b = ROTR¹³(A) : 将A的二进制表示向右循环移动13位。 c = ROTR²²(A) : 将A的二进制表示向右循环移动22位。 步骤2：对三个结果进行异或 4. 结果 = a ⊕ b ⊕ c 由于异或运算满足结合律和交换律，顺序可以任意。 一个微型数值示例（为简化，用8位字演示原理） ： 设 A = 10110010 (二进制，十进制178)。 ROTR²(A): 10110010 -> 移出最右 10 ，放到最左 -> 10101100 ROTR¹³(A): 对8位字，移动13位等价于移动 13 mod 8 = 5位。ROTR⁵(A): 10110010 -> 移出最右 10010 ，放到最左 -> 01010110 ROTR²²(A): 22 mod 8 = 6位。ROTR⁶(A): 10110010 -> 移出最右 100010 ，放到最左 -> 00101011 (注意：这里 10110010 移出右6位 100010 后，剩下左2位 10 ，组合后为 10001010 ？更正：应为 10110010 循环右移6位：将 100010 移到左边，剩下 10 在右边，结果为 10001010 。我们重新计算以确保清晰) 让我们更仔细地手动计算8位示例： A = b1 0 1 1 0 0 1 0 索引(从高位到低位): 位7 位6 位5 位4 位3 位2 位1 位0 值: 1 0 1 1 0 0 1 0 ROTR²: 将最后2位(位1,0: 1 0 )移到前面。前6位(位7-位2: 1 0 1 1 0 0 )移到右边。 结果: ( 1 0 ) + ( 1 0 1 1 0 0 ) = 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 10101100 (与之前一致) ROTR¹³: 13 mod 8 = 5. ROTR⁵: 将最后5位(位4-位0: 1 0 0 1 0 )移到前面。前3位(位7-位5: 1 0 1 )移到右边。 结果: ( 1 0 0 1 0 ) + ( 1 0 1 ) = 1 0 0 1 0 1 0 1 -> 10010101 (修正之前错误) ROTR²²: 22 mod 8 = 6. ROTR⁶: 将最后6位(位5-位0: 1 1 0 0 1 0 )移到前面。前2位(位7-位6: 1 0 )移到右边。 结果: ( 1 1 0 0 1 0 ) + ( 1 0 ) = 1 1 0 0 1 0 1 0 -> 11001010 现在计算 Σ0(A) = 10101100 ⊕ 10010101 ⊕ 11001010 先计算 10101100 ⊕ 10010101 = 00111001 再计算 00111001 ⊕ 11001010 = 11110011 所以 Σ0(A) = 11110011 (二进制)。 Σ1(E)的计算过程完全类似，只是移动的位数变成了6、11、25。 4. Σ0 和 Σ1 在SHA-256轮函数中的作用 在SHA-256压缩函数的轮函数中，主要更新方程如下（对于轮次t）： T1 = H + Σ1(E) + Ch(E, F, G) + K_t + W_t T2 = Σ0(A) + Maj(A, B, C) 然后更新： H = G G = F ... A = T1 + T2 作用分析 ： 非线性扩散 ： Σ0和Σ1是纯线性的比特混合函数（只有循环移位和异或）。它们接收当前状态字（A或E），通过不同距离的循环移位，将输入字的每一个比特散布到输出的多个不同位置上，然后进行组合。这极大地增强了算法的扩散特性，使得输入中任何微小的变化，经过多轮迭代后，能迅速影响到哈希结果的每一个比特。 与非线性函数配合 ： Σ0(A)与非线性函数Maj(A,B,C)相加，Σ1(E)与非线性函数Ch(E,F,G)相加。这种“线性变换+非线性变换”的组合是构建强密码学哈希函数压缩函数的经典模式，同时提供了良好的混淆（confusion）和扩散。 打破对称性 ： 对A和E使用不同的位移常数（2,13,22 和 6,11,25），确保从两个不同路径（经由A的路径和经由E的路径）进行的计算具有不同的扩散模式，增加了算法的复杂性和抗分析能力。 5. 总结 Σ0 和 Σ1 是SHA-256压缩函数轮计算中的两个关键的、 线性 的比特混合函数。 它们的 定义 是固定位移量的循环右移操作的异或和：Σ0(x)=ROTR²(x)⊕ROTR¹³(x)⊕ROTR²²(x)；Σ1(x)=ROTR⁶(x)⊕ROTR¹¹(x)⊕ROTR²⁵(x)。 它们的 核心作用 是提供强大的 比特扩散 ，与非线性函数Ch、Maj以及加法模2³²运算结合，共同确保SHA-256对输入消息高度敏感，满足密码学哈希函数的安全要求。