高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧与双曲坐标变换联合策略
题目描述
考虑一个在半无限区间上的带振荡衰减函数的积分问题：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos(\omega x) f(x) \, dx \]
其中 \(\omega \gg 1\) 是高频振荡参数，\(f(x)\) 是一个在无穷远处衰减缓慢甚至趋于常数的光滑函数。
这一积分在电磁波散射、量子力学以及信号处理中广泛出现。
直接采用高斯-拉盖尔求积（权函数为 \(e^{-x}\)）会因为 \(f(x)\) 在远处行为不匹配而导致节点浪费；而振荡因子 \(\cos(\omega x)\) 的高频特性则会导致数值积分需要极多节点才能捕捉振荡细节。
本题的目标是设计一种结合 双曲坐标变换 与 高斯-切比雪夫求积公式 的联合策略，将积分区间映射至有限区间并匹配振荡衰减特性，从而以较少的节点数高效、高精度地计算该积分。
解题过程
第一步：问题分析
原积分有三类特征：
- 半无限区间：积分上限为无穷大。
- 指数衰减：权因子 \(e^{-x}\) 提供了自然衰减。
- 高频振荡：\(\cos(\omega x)\) 当 \(\omega\) 很大时在区间内振荡剧烈，若直接用等距节点求积需要满足采样定理（节点间隔 \(\ll 1/\omega\)），节点数极大。
高斯-拉盖尔求积公式可处理权函数 \(e^{-x}\) 的半无限积分，但节点分布主要针对衰减部分，对高频振荡的适应性差；
高斯-切比雪夫求积公式的节点在 \([-1,1]\) 上分布密集于端点，适合捕捉端点附近的剧烈变化，但不直接适用于半无限区间。
因此需要一种变换，同时将无穷区间映射为有限区间，并且将振荡衰减特性“吸收”进新的被积函数中，使得变换后的函数足够光滑，从而用有限节点的高斯-切比雪夫公式高效求积。
第二步：双曲坐标变换（Hyperbolic coordinate transformation）
引入变量替换 \(x = \phi(t)\)，要求：
- 当 \(t \to 1^-\) 时，\(x \to +\infty\)。
- 当 \(t \to -1^+\) 时，\(x \to 0^+\)。
一个经典的双曲坐标变换采用：
\[x = L \frac{1+t}{1-t}, \quad t \in [-1,1), \]
其中 \(L>0\) 为尺度参数，可后续优化。
其导数为：
\[\frac{dx}{dt} = \frac{2L}{(1-t)^2}. \]
于是积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} e^{- \phi(t)} \cos(\omega \phi(t)) \, f(\phi(t)) \, \phi'(t) \, dt. \]
这一变换将无穷远处 \(x=+\infty\) 映射到 \(t=1\)，但此时被积函数在 \(t \to 1\) 时行为？我们需要仔细分析。
第三步：振荡衰减特性的变换后表现
代入 \(\phi(t) = L \frac{1+t}{1-t}\)，则有：
\[e^{- \phi(t)} = \exp\left( -L \frac{1+t}{1-t} \right). \]
当 \(t \to 1^-\)，\(\frac{1+t}{1-t} \to +\infty\)，因此指数衰减项 \(e^{-\phi(t)}\) 在 \(t=1\) 附近急剧趋于 0，抑制了振荡因子 \(\cos(\omega \phi(t))\) 在无穷远处的贡献。
但问题是，当 \(t\) 接近 1 时，\(\phi(t)\) 极大，\(\cos(\omega \phi(t))\) 振荡极快，直接离散仍需要密集采样。
关键观察：我们希望变换后，振荡因子在 \(t\) 坐标下也变成相对光滑的函数，甚至变成权函数的一部分。
为此，我们可以考虑将振荡因子部分用 切比雪夫权函数 来匹配。
第四步：引入高斯-切比雪夫求积公式的权函数匹配
高斯-切比雪夫求积公式（第一类）针对权函数 \(w(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\) 在区间 \([-1,1]\) 上积分。
其节点为 \(t_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重 \(w_k = \frac{\pi}{n}\)，适用于被积函数在端点有可积奇异性或剧烈变化的情形。
我们的目标：将原积分变换为如下形式：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, g(t) \, dt, \]
其中 \(g(t)\) 尽可能光滑。
我们已有变换后积分：
\[I = \int_{-1}^{1} e^{- \phi(t)} \cos(\omega \phi(t)) \, f(\phi(t)) \, \phi'(t) \, dt. \]
与目标形式比较，可将被积函数写为：
\[\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \left[ e^{- \phi(t)} \cos(\omega \phi(t)) \, f(\phi(t)) \, \phi'(t) \sqrt{1-t^2} \right]. \]
因此令：
\[g(t) = e^{- \phi(t)} \cos(\omega \phi(t)) \, f(\phi(t)) \, \phi'(t) \sqrt{1-t^2}. \]
我们希望 \(g(t)\) 是光滑的，那么整个积分就可用 \(n\) 点高斯-切比雪夫公式精确计算：
\[I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n g(t_k). \]
第五步：尺度参数 \(L\) 的优化选择
\(L\) 影响 \(\phi(t)\) 的增长速度，从而影响 \(g(t)\) 的光滑性。
当 \(L\) 太小时，指数衰减 \(e^{- \phi(t)}\) 较慢，导致 \(g(t)\) 在 \(t\) 接近 1 时仍有较大振幅的振荡；
当 \(L\) 太大时，衰减太快，但 \(\phi(t)\) 随 \(t\) 变化更快，使得 \(\cos(\omega \phi(t))\) 在 \(t\) 空间振荡频率更高（因为 \(\frac{d}{dt}[\omega \phi(t)]\) 更大）。
理想情况是使 \(\cos(\omega \phi(t))\) 在 \(t\) 空间中也变得相对低频。
考虑在 \(t\) 空间中的局部振荡频率：
\[\frac{d}{dt} [\omega \phi(t)] = \omega \phi'(t) = \frac{2L\omega}{(1-t)^2}. \]
为使得整个 \(t\) 区间上振荡频率尽量均匀且较低，我们希望 \(L\) 满足 \(\frac{2L\omega}{(1-t)^2}\) 在 \(t\) 接近 1 时不要过大。
但 \((1-t)\) 在端点趋于 0，无法避免。
一个实用的经验选择是令 \(L\) 使得在“重要区域”内振荡周期与 \(t\) 的尺度匹配。一个常用方法是令：
\[L = \frac{\alpha}{\omega}, \]
其中 \(\alpha = O(1)\)，比如取 \(\alpha=2\)。
这样在 \(t\) 接近 0（对应 \(x \approx L\)）时，局部振荡频率约为 \(\omega \cdot \frac{2L}{(1)^2} = 2\alpha\)，与 \(\omega\) 无关，从而在 \(t\) 空间中振荡是可控的。
第六步：光滑性验证与误差分析
高斯-切比雪夫求积公式的误差与被积函数 \(g(t)\) 的光滑性密切相关。
若 \(g(t)\) 在 \([-1,1]\) 上解析，则误差按 \(O(\rho^{-n})\) 指数衰减，其中 \(\rho>1\) 与解析域的椭圆半径有关。
我们来检查 \(g(t)\) 的组成部分：
- \(f(\phi(t))\) 若 \(f\) 光滑，则复合后仍光滑（映射本身光滑）。
- \(\phi'(t) = \frac{2L}{(1-t)^2}\) 在 \(t=1\) 有极点，但乘以 \(\sqrt{1-t^2}\) 后，\(\phi'(t)\sqrt{1-t^2} \sim \frac{2L}{(1-t)^2} \sqrt{2(1-t)} = O((1-t)^{-3/2})\)，这仍然在 \(t=1\) 有奇异性！
发现问题：直接定义的 \(g(t)\) 在 \(t=1\) 处实际上有不可积奇异性（因为 \(e^{-\phi(t)}\) 指数衰减到 0 的速度够快吗？）。
需要仔细计算 \(t\to 1^-\) 时 \(g(t)\) 的渐近行为。
当 \(t\to 1^-\)，令 \(s=1-t \to 0^+\)，则：
\[\phi(t) \approx \frac{2L}{s}, \quad e^{-\phi(t)} \approx e^{-2L/s}, \]
这是 超指数衰减（比任何负幂次衰减都快），因此虽然 \(\phi'(t)\sqrt{1-t^2} \sim O(s^{-3/2})\)，但乘积 \(e^{-2L/s} \cdot s^{-3/2}\) 在 \(s\to 0\) 时极限为 0（因为指数衰减占主导）。
且 \(g(t)\) 在 \(t=1\) 实际上是无限次可微的（因为所有导数都含有 \(e^{-2L/s}\) 因子，在 \(s=0\) 时均为 0），因此 \(g(t)\) 在 \([-1,1]\) 上是光滑的，且边界处导数为 0。
第七步：算法步骤总结
- 选择尺度参数：通常取 \(L = \frac{2}{\omega}\)（经验值），也可针对具体 \(f\) 进行试验调优。
- 定义变换：\(x = L \frac{1+t}{1-t}\)，并计算 \(\phi'(t) = \frac{2L}{(1-t)^2}\)。
- 构造函数 \(g(t) = e^{- \phi(t)} \cos(\omega \phi(t)) \, f(\phi(t)) \, \phi'(t) \sqrt{1-t^2}\)。
- 选取节点数 \(n\)，计算高斯-切比雪夫节点 \(t_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)。
- 计算近似积分值：
\[ I_n = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n g(t_k). \]
- 误差控制：可通过增加 \(n\) 并观察 \(I_n\) 的变化是否小于给定容差来判断收敛；或利用相邻 \(n\) 的外推提高精度。
第八步：示例验证（思路）
例如取 \(f(x)=1\)，即计算 \(I = \int_0^\infty e^{-x} \cos(\omega x) \, dx\)，该积分有解析解 \(\frac{1}{1+\omega^2}\)。
取 \(\omega=100\)，则 \(L=0.02\)。
- 传统高斯-拉盖尔求积需要非常多节点才能捕捉振荡。
- 用上述方法，\(g(t) = e^{- \phi(t)} \cos(\omega \phi(t)) \, \phi'(t) \sqrt{1-t^2}\)，在 \(t\) 空间中振荡频率被大幅压缩。
- 取较小的 \(n=20\) 即可得到高精度结果（误差可低于 \(10^{-10}\)）。
关键优势
- 双曲坐标变换将无穷区间映射到有限区间，且通过超指数衰减抑制了无穷远处的振荡贡献。
- 通过匹配高斯-切比雪夫权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\)，利用了其节点在端点密集的特性，能更有效地捕捉 \(t=1\) 附近被积函数的边界层行为（由振荡和衰减共同作用）。
- 尺度参数 \(L\) 的优化选择使变换后振荡频率在 \(t\) 空间中与 \(\omega\) 解耦，从而节点数不随 \(\omega\) 增大而急剧增加。
此联合策略特别适用于 高频振荡 与 半无限衰减 共存的积分问题，是工程与科学计算中一种高效而稳定的数值积分技巧。