基于线性规划的无线通信中基于信道状态信息的功率与子载波联合分配优化问题
问题描述
在正交频分多址（OFDMA）无线通信系统中，一个基站需要为多个用户分配有限的无线资源（如功率和子载波），以最大化系统总传输速率或满足用户服务质量要求。
- 系统有 \(N\) 个子载波和 \(K\) 个用户。
- 每个子载波在同一时刻只能分配给一个用户。
- 每个用户在不同子载波上的信道增益已知（由信道状态信息 CSI 决定）。
- 基站总发射功率受限。
- 目标：通过联合优化子载波分配和功率分配，最大化系统总数据传输速率（即和速率）。
解题过程
步骤1：问题建模
- 定义决策变量：
- 二进制变量 \(x_{k,n} \in \{0,1\}\) 表示子载波 \(n\) 是否分配给用户 \(k\)。
- 连续变量 \(p_{k,n} \geq 0\) 表示在子载波 \(n\) 上分配给用户 \(k\) 的功率。
- 信道模型：
在子载波 \(n\) 上，用户 \(k\) 的信道增益为 \(h_{k,n}\)，噪声功率为 \(\sigma^2\)。则该子载波上的可达传输速率为：
\[ r_{k,n} = \log_2\left(1 + \frac{p_{k,n} h_{k,n}}{\sigma^2}\right) \quad \text{(单位：bps/Hz)} \]
- 约束条件：
- 每个子载波只能分配给一个用户：
\[ \sum_{k=1}^{K} x_{k,n} = 1, \quad \forall n=1,\dots,N \]
- 功率非负，且仅当子载波分配给用户时才能分配功率：
\[ p_{k,n} \geq 0, \quad p_{k,n} \leq x_{k,n} P_{\max}, \quad \forall k,n \]
其中 $P_{\max}$ 是一个足够大的常数（例如总功率约束的倍数）。
- 总功率约束：
\[ \sum_{k=1}^{K} \sum_{n=1}^{N} p_{k,n} \leq P_{\text{total}} \]
- 目标函数：最大化系统和速率：
\[ \max \sum_{k=1}^{K} \sum_{n=1}^{N} x_{k,n} \log_2\left(1 + \frac{p_{k,n} h_{k,n}}{\sigma^2}\right) \]
该模型是一个混合整数非线性规划（MINLP），因为目标函数中包含 \(x_{k,n}\) 与 \(\log(\cdot)\) 的乘积，且变量含整数。
步骤2：问题线性化与松弛
原问题难以直接求解。常用方法是将其分解为两个子问题，并利用线性规划思想近似：
子问题1：子载波分配（固定功率）
若假设功率平均分配或按给定比例分配，则 \(p_{k,n}\) 可视为常数 \(\bar{p}_{k,n}\)。目标变为：
\[\max \sum_{k,n} x_{k,n} c_{k,n}, \quad c_{k,n} = \log_2\left(1 + \frac{\bar{p}_{k,n} h_{k,n}}{\sigma^2}\right) \]
约束为 \(\sum_k x_{k,n}=1, x_{k,n} \in \{0,1\}\)。
这实际上是一个指派问题，可以用整数规划（或松弛为线性规划后舍入）求解。
子问题2：功率分配（固定子载波分配）
若子载波分配 \(x_{k,n}\) 已确定，则问题简化为：
\[\max \sum_{k,n} \log_2\left(1 + \frac{p_{k,n} h_{k,n}}{\sigma^2}\right) \]
约束为 \(\sum_{k,n} p_{k,n} \leq P_{\text{total}}, p_{k,n} \geq 0\)，且对未分配的 \(k,n\) 有 \(p_{k,n}=0\)。
这是一个凸优化问题，其最优解由注水算法给出。
步骤3：迭代联合优化算法
由于两个子问题耦合，可采用交替优化迭代：
- 初始化：平均分配功率 \(p_{k,n}^{(0)} = P_{\text{total}} / (KN)\)。
- 迭代步骤 \(t=1,2,\dots\)：
a. 子载波分配：用当前功率 \(p_{k,n}^{(t-1)}\) 计算 \(c_{k,n}\)，求解指派问题得到 \(x_{k,n}^{(t)}\)。
b. 功率分配：固定 \(x_{k,n}^{(t)}\)，用注水算法重新计算 \(p_{k,n}^{(t)}\)。
c. 若目标和变化小于阈值，则停止。
该迭代会收敛到一个局部最优解，且每次迭代的子问题均可高效求解。
步骤4：算法实现细节
- 指派问题可建模为线性规划，并用匈牙利算法或单纯形法求解。
- 注水算法步骤：
对每个已分配的子载波 \((k,n)\)，计算等效信道增益 \(g_{k,n} = h_{k,n}/\sigma^2\)。
注水功率公式为：
\[ p_{k,n}^* = \left[ \lambda - \frac{1}{g_{k,n}} \right]^+ \]
其中 \(\lambda\) 是使总功率等于 \(P_{\text{total}}\) 的“水位”，\([z]^+ = \max(z,0)\)。可通过二分搜索求解 \(\lambda\)。
步骤5：性能与扩展
- 该联合优化能显著提升系统和速率，相比固定分配方案可增益 20%~50%。
- 扩展方向：
- 考虑用户最小速率要求（加入约束 \(\sum_n r_{k,n} \geq R_k^{\min}\)）。
- 考虑多小区干扰（引入干扰项到速率公式）。
- 使用拉格朗日对偶将原问题转化为线性规划可处理的近似形式。
总结
本问题通过分解为“子载波指派”与“注水功率分配”两个子问题，并交替优化，将复杂的 MINLP 转化为线性规划与凸优化的组合，从而得到高效可行的联合资源分配方案。该方法广泛应用于 OFDMA 系统（如 LTE、5G NR）的资源调度中。