AES加密算法的密钥加（AddRoundKey）变换的数学本质与列混合（MixColumns）变换的线性代数解释

我注意到您提供的已讲题目列表中没有对AES的AddRoundKey和MixColumns变换进行过深入的线性代数视角讲解。我将为您解析AES中这两个核心变换的数学本质及其相互作用。

题目描述

在AES（高级加密标准）算法中，轮密钥加（AddRoundKey）和列混合（MixColumns）是两个核心变换。从数学角度看，AddRoundKey是有限域GF(2⁸)上的向量加法，而MixColumns是同一有限域上的线性变换。本题将详细讲解：

1. AES状态矩阵在GF(2⁸)上的表示
2. AddRoundKey作为仿射变换的一部分
3. MixColumns作为GF(2⁸)上的可逆线性变换
4. 两者组合形成的扩散效果

解题过程详解

第一步：理解AES状态的有限域表示

AES将16字节的明文/密文块排列为4×4的状态矩阵S：

S = [[s₀₀, s₀₁, s₀₂, s₀₃],
     [s₁₀, s₁₁, s₁₂, s₁₃],
     [s₂₀, s₂₁, s₂₂, s₂₃],
     [s₃₀, s₃₁, s₃₂, s₃₃]]

其中每个元素sᵢⱼ ∈ GF(2⁸)，即每个字节可视为系数在GF(2)上的次数小于8的多项式。

例如，字节0x57 = 01010111₂对应多项式：

x⁶ + x⁴ + x² + x + 1

有限域GF(2⁸)的不可约多项式为：

m(x) = x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1

所有运算在该域上进行。

第二步：AddRoundKey的数学本质

设当前状态矩阵为S，轮密钥矩阵为K（同样4×4），AddRoundKey变换为：

S' = S ⊕ K

其中⊕表示按字节异或。

在GF(2⁸)上，异或运算等价于加法，因为该域的特征是2：

• 加法：a + b = a ⊕ b
• 减法：a - b = a ⊕ b（相同）

因此，AddRoundKey实际上是GF(2⁸)上的向量加法：

s'ᵢⱼ = sᵢⱼ + kᵢⱼ  (在GF(2⁸)中)

重要观察：

1. AddRoundKey是线性变换（在GF(2)上）
2. 它提供了算法的密钥依赖性
3. 在最后一轮后执行，确保算法对称性（加密和解密结构相同）

从线性代数角度看，如果我们把状态矩阵展平为16维向量v ∈ (GF(2⁸))¹⁶，AddRoundKey可表示为：

v' = v + k

其中k是展平的轮密钥向量。这是一个仿射变换而非纯线性变换（因为有常数项k）。

第三步：MixColumns的线性代数解释

MixColumns对状态矩阵的每一列独立进行变换。考虑第j列：

c_j = [s₀ⱼ, s₁ⱼ, s₂ⱼ, s₃ⱼ]ᵀ

MixColumns变换由以下矩阵乘法定义：

c'_j = M × c_j

其中M是4×4的固定矩阵，元素在GF(2⁸)中：

M = [[0x02, 0x03, 0x01, 0x01],
     [0x01, 0x02, 0x03, 0x01],
     [0x01, 0x01, 0x02, 0x03],
     [0x03, 0x01, 0x01, 0x02]]

展开为：

s'₀ⱼ = (0x02)·s₀ⱼ + (0x03)·s₁ⱼ + (0x01)·s₂ⱼ + (0x01)·s₃ⱼ
s'₁ⱼ = (0x01)·s₀ⱼ + (0x02)·s₁ⱼ + (0x03)·s₂ⱼ + (0x01)·s₃ⱼ
s'₂ⱼ = (0x01)·s₀ⱼ + (0x01)·s₁ⱼ + (0x02)·s₂ⱼ + (0x03)·s₃ⱼ
s'₃ⱼ = (0x03)·s₀ⱼ + (0x01)·s₁ⱼ + (0x01)·s₂ⱼ + (0x02)·s₃ⱼ

数学性质：

1. M是可逆矩阵，其逆矩阵M⁻¹用于解密
2. 系数{0x01, 0x02, 0x03}是GF(2⁸)中的元素：
   • 0x01 = 多项式1
   • 0x02 = 多项式x
   • 0x03 = 多项式x+1 = 0x02 + 0x01
3. 乘法是GF(2⁸)上的乘法，模不可约多项式m(x)

第四步：组合变换的代数结构

考虑一轮AES中SubBytes(S-box)后的步骤。设状态经过SubBytes后为S，则：

1. 执行ShiftRows得到状态S₁
2. 执行MixColumns得到状态S₂ = M×S₁
3. 执行AddRoundKey得到状态S₃ = S₂ + K

从线性代数角度，我们可以将整个过程视为：

S₃ = M×P×S + K

其中：

• S是SubBytes后的状态
• P是ShiftRows的置换矩阵（在GF(2⁸)上是置换矩阵）
• M是MixColumns的线性变换矩阵
• K是轮密钥矩阵

注意：SubBytes是非线性变换（由S-box实现），而后续步骤是线性的。

第五步：解密过程的对应变换

在AES解密中，逆变换按相反顺序执行：

解密时，一轮的核心操作为：

1. 逆向AddRoundKey：S' = S + K⁻¹
   （注意：在GF(2⁸)中加法逆元是自身，所以K⁻¹ = K）
2. 逆向MixColumns：S'' = M⁻¹×S'
3. 逆向ShiftRows

其中逆向MixColumns矩阵为：

M⁻¹ = [[0x0E, 0x0B, 0x0D, 0x09],
       [0x09, 0x0E, 0x0B, 0x0D],
       [0x0D, 0x09, 0x0E, 0x0B],
       [0x0B, 0x0D, 0x09, 0x0E]]

关键等式（验证解密正确性）：

M⁻¹×(M×S + K) + K = M⁻¹×M×S + M⁻¹×K + K
                 = S + M⁻¹×K + K

但注意在解密时使用的轮密钥是经过逆向列混合的：K' = M⁻¹×K
因此：

M⁻¹×(M×S + K) + K' = S + M⁻¹×K + M⁻¹×K = S

第六步：扩散特性分析

MixColumns和AddRoundKey共同提供扩散：

1. 列混合的扩散：

   • 一个输入字节影响同一列的4个输出字节
   • 经过一轮，单个字节的变更扩散到整列
   • 经过两轮，扩散到整个状态矩阵

2. 轮密钥加的作用：

   • 确保每轮的变换与密钥相关
   • 防止基于固定变换的密码分析
   • 与列混合结合，增强非线性

3. 代数次数增长：

   • 设S-box的代数次数为7（在GF(2)上）
   • MixColumns是线性变换，不改变代数次数
   • 但S-box、ShiftRows、MixColumns、AddRoundKey的组合使得多轮后整体变换具有高的代数复杂度

第七步：计算示例

假设某列状态为：

c = [0x32, 0x88, 0x31, 0xE0]ᵀ
轮密钥对应列为：
k = [0x2B, 0x28, 0xAB, 0x09]ᵀ

加密过程：

1. 计算MixColumns：

   0x02·0x32 = 0x64
   0x03·0x88 = 0x18  (因为0x03·0x88 = (0x02+0x01)·0x88 = 0x11+0x88=0x99? 实际计算：)
   

   正确计算：

   • 0x02·0x32 = 0x64

   • 0x03·0x88 = 0x18? 让我们仔细计算：
     0x88 = 10001000₂ = x⁷+x³
     0x02 = x，所以0x02·0x88 = x·(x⁷+x³) = x⁸+x⁴
     模m(x)=x⁸+x⁴+x³+x+1，x⁸ ≡ x⁴+x³+x+1
     所以x⁸+x⁴ ≡ (x⁴+x³+x+1)+x⁴ = x³+x+1 = 00001011₂ = 0x0B

     0x03 = x+1，所以0x03·0x88 = 0x02·0x88 + 0x88 = 0x0B + 0x88 = 0x83

   继续计算完整列：

   第一字节：0x02·0x32 + 0x03·0x88 + 0x01·0x31 + 0x01·0xE0
           = 0x64 + 0x83 + 0x31 + 0xE0
           = 0x64⊕0x83⊕0x31⊕0xE0 = 0x04
   

2. 计算AddRoundKey：

   新列 = MixColumns结果 + 轮密钥
   [0x04, ..., ...]ᵀ + [0x2B, 0x28, 0xAB, 0x09]ᵀ
   第一字节：0x04 + 0x2B = 0x2F
   

这个示例展示了有限域上的精确计算过程。

总结

AES的AddRoundKey和MixColumns变换在数学上分别对应有限域上的向量加法和线性变换。它们的精心设计确保了：

1. 完全性：每个输出比特依赖所有输入比特
2. 非线性：与S-box结合提供足够的非线性
3. 可逆性：存在明确的逆变换用于解密
4. 效率：在硬件和软件中高效实现

理解这些变换的代数结构有助于深入分析AES的安全性，特别是对抗线性密码分析和差分密码分析的能力。