非线性规划中的自适应松弛-序列凸近似(Adaptive Relaxation - Sequential Convex Approximation)算法进阶题：处理非凸非光滑等式约束与可行性保持
字数 4566 2025-12-20 16:56:24

非线性规划中的自适应松弛-序列凸近似(Adaptive Relaxation - Sequential Convex Approximation)算法进阶题：处理非凸非光滑等式约束与可行性保持

题目描述：

考虑如下非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & h_j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ & x \in \mathcal{X}, \end{aligned} \]

其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是光滑但非凸的。不等式约束函数 \(g_i\) 是光滑且凸的，等式约束函数 \(h_j\) 是Lipschitz连续但非光滑且非凸的（例如，包含绝对值、最大值等操作）。集合 \(\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n\) 是闭凸集（例如，一个多面体或盒子约束）。本问题要求使用“自适应松弛-序列凸近似(Adaptive Relaxation - Sequential Convex Approximation, AR-SCA)”算法求解。该算法的核心思想是：在每一步，对非凸非光滑的等式约束 \(h_j(x) = 0\) 进行凸近似（例如，通过一阶泰勒展开或 Moreau 包络），并引入自适应的松弛变量和罚参数，以确保子问题的可行性，并引导迭代点逐步满足原始约束。难点在于如何处理非光滑等式约束的近似，以及如何自适应调整松弛和罚参数以保证全局收敛性和可行性恢复。

解题过程循序渐进讲解：

步骤1：问题重构与可行性松弛

由于等式约束 \(h_j(x)=0\) 非光滑且非凸，直接对其线性化可能导致子问题不可行。因此，第一步是引入松弛变量 \(s_j \in \mathbb{R}\) 将其转化为不等式约束，并加到目标函数中作为惩罚项：

\[\begin{aligned} \min_{x, s} \quad & f(x) + \rho \sum_{j=1}^{p} \phi(s_j) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & |h_j(x)| \le s_j, \quad j = 1, \dots, p, \\ & x \in \mathcal{X}, \quad s_j \ge 0, \end{aligned} \]

其中，\(\rho > 0\) 是罚参数，\(\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是一个非负、递增的惩罚函数，通常取 \(\phi(s) = s\) 或 \(\phi(s) = s^2\)。松弛变量 \(s_j\) 衡量等式约束的违反程度。问题转化为含有非光滑项 \(|h_j(x)|\) 的约束。

步骤2：非光滑项的凸近似与序列凸化

在当前迭代点 \(x^k\) 处，对非光滑的绝对值函数和 \(h_j(x)\) 进行联合近似。由于 \(h_j\) 是 Lipschitz 连续的，其 Clarke 广义梯度 \(\partial h_j(x^k)\) 存在。我们构造一个凸的替代函数 \(\tilde{h}_j(x; x^k)\)，它满足：

  1. 一阶近似性质：\(\tilde{h}_j(x^k; x^k) = h_j(x^k)\)。
  2. 梯度一致性：在 \(x^k\) 处，\(\tilde{h}_j(\cdot; x^k)\) 的次梯度集合包含 \(h_j\) 在 \(x^k\) 处的一个广义梯度。
  3. 凸性：\(\tilde{h}_j(\cdot; x^k)\) 是凸函数。

一种常见做法是：若 \(h_j\) 可分解为 \(h_j(x) = \psi_j(a_j^T x + b_j)\)，其中 \(\psi_j\) 是非光滑的（如绝对值），则可用一阶展开得到分段线性凸近似。更一般地，可利用 Moreau 包络或对 \(h_j\) 进行光滑化再线性化。这里，为简单起见，假设我们使用线性近似加上一个正定二次项来保证凸性和稳定性：

\[\tilde{h}_j(x; x^k) = h_j(x^k) + \xi_j^{kT}(x - x^k) + \frac{\tau}{2} \|x - x^k\|^2, \]

其中，\(\xi_j^k \in \partial h_j(x^k)\) 是 \(h_j\) 在 \(x^k\) 处的一个广义梯度（例如，对 \(h_j(x) = |\tilde{h}_j(x)|\)，可取 \(\xi_j^k \in \partial |\cdot|(\tilde{h}_j(x^k)) \cdot \nabla \tilde{h}_j(x^k)\)），\(\tau > 0\) 是一个正则化参数，确保 \(\tilde{h}_j(\cdot; x^k)\) 是强凸的。

于是，在点 \(x^k\) 处的凸近似子问题为：

\[\begin{aligned} \min_{x, s} \quad & f(x) + \rho \sum_{j=1}^{p} \phi(s_j) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & |\tilde{h}_j(x; x^k)| \le s_j, \quad j = 1, \dots, p, \\ & x \in \mathcal{X}, \quad s_j \ge 0. \end{aligned} \]

注意，约束 \(|\tilde{h}_j(x; x^k)| \le s_j\) 等价于两个线性不等式约束，因为 \(\tilde{h}_j(\cdot; x^k)\) 是仿射函数加上一个凸二次项，其绝对值约束可转化为两个凸不等式约束。

步骤3：自适应松弛与可行性与解的接受

由于近似可能引入误差，子问题的解 \((x^{k+1}, s^{k+1})\) 可能不使原始约束 \(h_j(x^{k+1}) = 0\) 满足，因此需要自适应调整松弛。定义当前迭代的等式约束违反量：

\[\eta^k = \max_{1 \le j \le p} |h_j(x^k)|. \]

算法维护一个目标函数值的参考值 \(f_{\text{ref}}^k\) 和违反量阈值 \(\epsilon_{\text{feas}}^k\)。在每一步，我们要求子问题产生的候选点 \(x^{k+1}\) 满足“充分下降”条件：

\[f(x^{k+1}) + \beta \eta^{k+1} \le f_{\text{ref}}^k - \alpha (\eta^{k+1})^2, \]

其中，\(\beta > 0\) 是权重参数，\(\alpha > 0\) 是下降系数。若不满足，则增加罚参数 \(\rho\) 或减小信赖域半径（如果使用了移动限界）并重新求解子问题。此外，更新 \(f_{\text{ref}}^k\) 为当前目标值与违反量的加权和。

为了保证可行性恢复，还需监控松弛变量 \(s_j\)。如果 \(s_j^{k+1}\) 过大，说明近似误差大，可能需要收缩近似区域（即缩小信赖域半径或增加正则化参数 \(\tau\)）。

步骤4：算法迭代框架

  1. 初始化：给定初始点 \(x^0\)，罚参数 \(\rho^0 > 0\)，正则化参数 \(\tau^0 > 0\)，参考值 \(f_{\text{ref}}^0 = f(x^0) + \beta \eta^0\)，违反量容忍度 \(\epsilon > 0\)，以及增长因子 \(\gamma > 1\)，缩减因子 \(0 < \theta < 1\)。设 \(k = 0\)。

  2. 子问题构造：在当前点 \(x^k\)，计算广义梯度 \(\xi_j^k \in \partial h_j(x^k)\)，构造凸近似 \(\tilde{h}_j(x; x^k) = h_j(x^k) + \xi_j^{kT}(x - x^k) + \frac{\tau^k}{2} \|x - x^k\|^2\)。

  3. 求解凸子问题：求解步骤2中的凸优化问题（例如，用凸优化求解器），得到候选解 \((x^{k+1}, s^{k+1})\)。

  4. 接受性检验：计算 \(\eta^{k+1} = \max_j |h_j(x^{k+1})|\)。若

\[ f(x^{k+1}) + \beta \eta^{k+1} \le f_{\text{ref}}^k - \alpha (\eta^{k+1})^2, \]

则接受该点：设 \(x^{k+1}\) 为下一个迭代点，更新 \(f_{\text{ref}}^{k+1} = f(x^{k+1}) + \beta \eta^{k+1}\)，并进入步骤5。否则，拒绝该点，增加罚参数 \(\rho^{k+1} = \gamma \rho^k\)，并可能减小信赖域半径或增加 \(\tau^k\)，然后返回步骤3用新的参数重新求解子问题。

  1. 参数更新与收敛检查：如果 \(\eta^{k+1} \le \epsilon\) 且子问题的 KKT 残差足够小，则停止，输出 \(x^{k+1}\) 作为近似解。否则，根据 \(s^{k+1}\) 的大小调整正则化参数：若 \(\max_j s_j^{k+1}\) 较大，则增加 \(\tau^{k+1} = \gamma \tau^k\) 以加强凸性；若较小，则保持或减小 \(\tau^{k+1} = \theta \tau^k\) 以加速收敛。令 \(k := k+1\)，返回步骤2。

步骤5：收敛性说明

该算法属于可行方向法框架。由于每次子问题是凸的且可行，保证可解。自适应松弛机制（通过罚参数 \(\rho\) 和正则化参数 \(\tau\)）确保迭代点逐渐满足等式约束，同时目标函数下降。在适当条件下（如 \(f\) 下有界，约束满足某些约束品性），算法产生的序列的任何极限点都是原问题的稳定点（即满足 KKT 条件）。关键在于近似函数 \(\tilde{h}_j\) 需满足一致逼近性质，且自适应调整策略能平衡可行性与最优性。

总结：AR-SCA 算法通过将非凸非光滑等式约束转化为带松弛变量的凸近似子问题，并利用自适应罚参数和正则化参数控制可行性与近似精度，逐步逼近原问题的解。它结合了序列凸近似（SCA）的局部迭代思想和松弛法的可行性处理，适用于具有非光滑等式约束的工程优化问题。

非线性规划中的自适应松弛-序列凸近似(Adaptive Relaxation - Sequential Convex Approximation)算法进阶题：处理非凸非光滑等式约束与可行性保持 题目描述： 考虑如下非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & h_ j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ & x \in \mathcal{X}, \end{aligned} \] 其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是光滑但非凸的。不等式约束函数 \(g_ i\) 是光滑且凸的，等式约束函数 \(h_ j\) 是Lipschitz连续但非光滑且非凸的（例如，包含绝对值、最大值等操作）。集合 \(\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n\) 是闭凸集（例如，一个多面体或盒子约束）。本问题要求使用“自适应松弛-序列凸近似(Adaptive Relaxation - Sequential Convex Approximation, AR-SCA)”算法求解。该算法的核心思想是：在每一步，对非凸非光滑的等式约束 \(h_ j(x) = 0\) 进行凸近似（例如，通过一阶泰勒展开或 Moreau 包络），并引入自适应的松弛变量和罚参数，以确保子问题的可行性，并引导迭代点逐步满足原始约束。难点在于如何处理非光滑等式约束的近似，以及如何自适应调整松弛和罚参数以保证全局收敛性和可行性恢复。 解题过程循序渐进讲解： 步骤1：问题重构与可行性松弛 由于等式约束 \(h_ j(x)=0\) 非光滑且非凸，直接对其线性化可能导致子问题不可行。因此，第一步是引入松弛变量 \(s_ j \in \mathbb{R}\) 将其转化为不等式约束，并加到目标函数中作为惩罚项： \[ \begin{aligned} \min_ {x, s} \quad & f(x) + \rho \sum_ {j=1}^{p} \phi(s_ j) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & |h_ j(x)| \le s_ j, \quad j = 1, \dots, p, \\ & x \in \mathcal{X}, \quad s_ j \ge 0, \end{aligned} \] 其中，\(\rho > 0\) 是罚参数，\(\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是一个非负、递增的惩罚函数，通常取 \(\phi(s) = s\) 或 \(\phi(s) = s^2\)。松弛变量 \(s_ j\) 衡量等式约束的违反程度。问题转化为含有非光滑项 \(|h_ j(x)|\) 的约束。 步骤2：非光滑项的凸近似与序列凸化 在当前迭代点 \(x^k\) 处，对非光滑的绝对值函数和 \(h_ j(x)\) 进行联合近似。由于 \(h_ j\) 是 Lipschitz 连续的，其 Clarke 广义梯度 \(\partial h_ j(x^k)\) 存在。我们构造一个凸的替代函数 \(\tilde{h}_ j(x; x^k)\)，它满足： 一阶近似性质：\(\tilde{h}_ j(x^k; x^k) = h_ j(x^k)\)。 梯度一致性：在 \(x^k\) 处，\(\tilde{h}_ j(\cdot; x^k)\) 的次梯度集合包含 \(h_ j\) 在 \(x^k\) 处的一个广义梯度。 凸性：\(\tilde{h}_ j(\cdot; x^k)\) 是凸函数。 一种常见做法是：若 \(h_ j\) 可分解为 \(h_ j(x) = \psi_ j(a_ j^T x + b_ j)\)，其中 \(\psi_ j\) 是非光滑的（如绝对值），则可用一阶展开得到分段线性凸近似。更一般地，可利用 Moreau 包络或对 \(h_ j\) 进行光滑化再线性化。这里，为简单起见，假设我们使用线性近似加上一个正定二次项来保证凸性和稳定性： \[ \tilde{h}_ j(x; x^k) = h_ j(x^k) + \xi_ j^{kT}(x - x^k) + \frac{\tau}{2} \|x - x^k\|^2, \] 其中，\(\xi_ j^k \in \partial h_ j(x^k)\) 是 \(h_ j\) 在 \(x^k\) 处的一个广义梯度（例如，对 \(h_ j(x) = |\tilde{h}_ j(x)|\)，可取 \(\xi_ j^k \in \partial |\cdot|(\tilde{h}_ j(x^k)) \cdot \nabla \tilde{h}_ j(x^k)\)），\(\tau > 0\) 是一个正则化参数，确保 \(\tilde{h}_ j(\cdot; x^k)\) 是强凸的。 于是，在点 \(x^k\) 处的凸近似子问题为： \[ \begin{aligned} \min_ {x, s} \quad & f(x) + \rho \sum_ {j=1}^{p} \phi(s_ j) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & |\tilde{h}_ j(x; x^k)| \le s_ j, \quad j = 1, \dots, p, \\ & x \in \mathcal{X}, \quad s_ j \ge 0. \end{aligned} \] 注意，约束 \(|\tilde{h}_ j(x; x^k)| \le s_ j\) 等价于两个线性不等式约束，因为 \(\tilde{h}_ j(\cdot; x^k)\) 是仿射函数加上一个凸二次项，其绝对值约束可转化为两个凸不等式约束。 步骤3：自适应松弛与可行性与解的接受 由于近似可能引入误差，子问题的解 \((x^{k+1}, s^{k+1})\) 可能不使原始约束 \(h_ j(x^{k+1}) = 0\) 满足，因此需要自适应调整松弛。定义当前迭代的等式约束违反量： \[ \eta^k = \max_ {1 \le j \le p} |h_ j(x^k)|. \] 算法维护一个目标函数值的参考值 \(f_ {\text{ref}}^k\) 和违反量阈值 \(\epsilon_ {\text{feas}}^k\)。在每一步，我们要求子问题产生的候选点 \(x^{k+1}\) 满足“充分下降”条件： \[ f(x^{k+1}) + \beta \eta^{k+1} \le f_ {\text{ref}}^k - \alpha (\eta^{k+1})^2, \] 其中，\(\beta > 0\) 是权重参数，\(\alpha > 0\) 是下降系数。若不满足，则增加罚参数 \(\rho\) 或减小信赖域半径（如果使用了移动限界）并重新求解子问题。此外，更新 \(f_ {\text{ref}}^k\) 为当前目标值与违反量的加权和。 为了保证可行性恢复，还需监控松弛变量 \(s_ j\)。如果 \(s_ j^{k+1}\) 过大，说明近似误差大，可能需要收缩近似区域（即缩小信赖域半径或增加正则化参数 \(\tau\)）。 步骤4：算法迭代框架 初始化 ：给定初始点 \(x^0\)，罚参数 \(\rho^0 > 0\)，正则化参数 \(\tau^0 > 0\)，参考值 \(f_ {\text{ref}}^0 = f(x^0) + \beta \eta^0\)，违反量容忍度 \(\epsilon > 0\)，以及增长因子 \(\gamma > 1\)，缩减因子 \(0 < \theta < 1\)。设 \(k = 0\)。 子问题构造 ：在当前点 \(x^k\)，计算广义梯度 \(\xi_ j^k \in \partial h_ j(x^k)\)，构造凸近似 \(\tilde{h}_ j(x; x^k) = h_ j(x^k) + \xi_ j^{kT}(x - x^k) + \frac{\tau^k}{2} \|x - x^k\|^2\)。 求解凸子问题 ：求解步骤2中的凸优化问题（例如，用凸优化求解器），得到候选解 \((x^{k+1}, s^{k+1})\)。 接受性检验 ：计算 \(\eta^{k+1} = \max_ j |h_ j(x^{k+1})|\)。若 \[ f(x^{k+1}) + \beta \eta^{k+1} \le f_ {\text{ref}}^k - \alpha (\eta^{k+1})^2, \] 则接受该点：设 \(x^{k+1}\) 为下一个迭代点，更新 \(f_ {\text{ref}}^{k+1} = f(x^{k+1}) + \beta \eta^{k+1}\)，并进入步骤5。否则，拒绝该点，增加罚参数 \(\rho^{k+1} = \gamma \rho^k\)，并可能减小信赖域半径或增加 \(\tau^k\)，然后返回步骤3用新的参数重新求解子问题。 参数更新与收敛检查 ：如果 \(\eta^{k+1} \le \epsilon\) 且子问题的 KKT 残差足够小，则停止，输出 \(x^{k+1}\) 作为近似解。否则，根据 \(s^{k+1}\) 的大小调整正则化参数：若 \(\max_ j s_ j^{k+1}\) 较大，则增加 \(\tau^{k+1} = \gamma \tau^k\) 以加强凸性；若较小，则保持或减小 \(\tau^{k+1} = \theta \tau^k\) 以加速收敛。令 \(k := k+1\)，返回步骤2。 步骤5：收敛性说明 该算法属于可行方向法框架。由于每次子问题是凸的且可行，保证可解。自适应松弛机制（通过罚参数 \(\rho\) 和正则化参数 \(\tau\)）确保迭代点逐渐满足等式约束，同时目标函数下降。在适当条件下（如 \(f\) 下有界，约束满足某些约束品性），算法产生的序列的任何极限点都是原问题的稳定点（即满足 KKT 条件）。关键在于近似函数 \(\tilde{h}_ j\) 需满足一致逼近性质，且自适应调整策略能平衡可行性与最优性。 总结 ：AR-SCA 算法通过将非凸非光滑等式约束转化为带松弛变量的凸近似子问题，并利用自适应罚参数和正则化参数控制可行性与近似精度，逐步逼近原问题的解。它结合了序列凸近似（SCA）的局部迭代思想和松弛法的可行性处理，适用于具有非光滑等式约束的工程优化问题。