非线性规划中的可行顺序线性规划（FSLP）算法进阶题
字数 5086 2025-12-20 16:50:41

非线性规划中的可行顺序线性规划（FSLP）算法进阶题

题目描述

我们考虑以下非线性规划问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

\[ \text{s.t.} \quad g_i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m \]

其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和约束函数 \(g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 都是二次连续可微的，并且可能非凸。可行顺序线性规划（Feasible Sequential Linear Programming, FSLP）是一种迭代算法，它在每一步构造当前迭代点处的线性化子问题，并求解该线性规划以获得搜索方向，同时通过适当的步长控制确保迭代点始终严格可行（即满足 \(g_i(x) < 0\)）。本题要求你深入理解FSLP的核心思想，掌握其迭代步骤、可行性保持机制、收敛性条件，并能针对一个具体例子实施算法。

具体实例：

\[\min f(x) = (x_1 - 3)^2 + (x_2 - 2)^2 \]

\[ \text{s.t.} \quad g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \le 0 \]

\[ g_2(x) = -x_1 - x_2 + 1 \le 0 \]

\[ x_1 \ge 0, \quad x_2 \ge 0 \]

初始点 \(x^0 = (1, 1)\)，该点满足 \(g_1(x^0) = -2 < 0\)，\(g_2(x^0) = -1 < 0\)，且 \(x_1, x_2 > 0\)，故严格可行。

解题过程

第一步：理解FSLP的基本思想

FSLP属于序列线性规划（SLP）的一种，其核心是在每一步迭代时，将原非线性问题在当前点 \(x^k\) 处进行一阶泰勒展开，得到一个线性规划子问题。但与传统SLP不同，FSLP通过引入可行性恢复步骤或严格内点步长控制，确保每一次迭代后的新点仍然严格可行（即满足所有不等式约束的严格小于0形式）。这能避免约束违反，并允许使用较简单的线性规划求解器。

关键点：

  • 线性化：在 \(x^k\) 处，对 \(f\) 和 \(g_i\) 做线性近似。
  • 子问题是线性规划（LP），可用单纯形法或内点法求解。
  • 步长选择需保证新点严格可行，通常通过回溯线搜索（backtracking line search）或信任域（trust region）策略实现。

第二步：构造线性规划子问题

在当前迭代点 \(x^k\)，我们计算目标函数和约束函数的梯度：

\[\nabla f(x) = \begin{bmatrix} 2(x_1 - 3) \\ 2(x_2 - 2) \end{bmatrix}, \quad \nabla g_1(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 \\ 2x_2 \end{bmatrix}, \quad \nabla g_2(x) = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} \]

线性化后的子问题为（决策变量为搜索方向 \(d \in \mathbb{R}^n\)）：

\[\min_{d} \ \nabla f(x^k)^\top d \]

\[ \text{s.t.} \quad g_i(x^k) + \nabla g_i(x^k)^\top d \le 0, \quad i=1,2 \]

\[ x^k + d \ge 0 \quad (\text{即 } d \ge -x^k) \]

注意：这里我们没有在目标中加入二阶项（如 \(f(x^k)\) 是常数，可忽略），因为线性规划的目标必须是线性的。同时，线性化只针对非线性约束，对于简单的边界约束 \(x \ge 0\)，我们直接将其转化为对 \(d\) 的线性约束 \(d \ge -x^k\)，以确保新点 \(x^{k+1} = x^k + d\) 仍满足边界。

解释：线性化约束 \(g_i(x^k) + \nabla g_i(x^k)^\top d \le 0\) 确保了如果 \(d\) 很小，则 \(g_i(x^k + d) \approx g_i(x^k) + \nabla g_i(x^k)^\top d \le 0\)，从而近似满足原约束。但由于线性近似只在局部有效，我们需要限制步长（即 \(d\) 的范数）来保证可行性。

第三步：引入信任域约束以控制步长

为了控制线性近似的误差，我们添加一个信任域约束：

\[\|d\|_\infty \le \Delta^k \]

其中 \(\Delta^k > 0\) 是当前信任域半径，\(\|d\|_\infty = \max_j |d_j|\) 易于线性化（可转化为 \(- \Delta^k \le d_j \le \Delta^k\)）。这样，子问题变为：

\[\min_{d} \ \nabla f(x^k)^\top d \]

\[ \text{s.t.} \quad g_i(x^k) + \nabla g_i(x^k)^\top d \le 0, \quad i=1,2 \]

\[ d \ge -x^k \]

\[ -\Delta^k \le d_j \le \Delta^k, \quad j=1,2 \]

这是一个线性规划，可用标准方法求解，得到搜索方向 \(d^k\)。

第四步：可行性保持与步长接受准则

即使有信任域约束，线性化子问题的解 \(d^k\) 也可能导致新点 \(x^k + d^k\) 违反原约束（因为线性近似有误差）。因此，FSLP通常采用以下步骤：

  1. 求解线性规划子问题，得到 \(d^k\)。
  2. 检查可行性：计算 \(x_{\text{temp}} = x^k + d^k\)，验证是否满足 \(g_i(x_{\text{temp}}) < 0\) 和 \(x_{\text{temp}} > 0\)。如果满足，则接受 \(d^k\) 作为搜索方向；否则，减少信任域半径 \(\Delta^k\)（例如 \(\Delta^k := \beta \Delta^k, \beta \in (0,1)\)）并重新求解子问题，直到得到严格可行的 \(x_{\text{temp}}\)。
  3. 步长选择：一旦得到可行的 \(d^k\)，我们可进一步进行线搜索以确保目标函数下降。但由于子问题已考虑了目标梯度，有时直接接受全步 \(x^{k+1} = x^k + d^k\)，或进行简单回溯：令 \(\alpha = 1\)，当 \(f(x^k + \alpha d^k) > f(x^k)\) 时，设置 \(\alpha := \gamma \alpha\)（\(\gamma \in (0,1)\)），直至满足下降条件。

注意：FSLP的关键是每次迭代后点严格可行，这简化了后续迭代，并允许在工业软件中直接调用LP求解器。

第五步：信任域半径的更新

根据线性近似的拟合程度调整 \(\Delta^k\)：

  • 定义实际下降：\(\text{ared} = f(x^k) - f(x^{k+1})\)
  • 定义预测下降：\(\text{pred} = -\nabla f(x^k)^\top d^k\)（因为线性模型预测的下降）
  • 计算比值 \(r^k = \frac{\text{ared}}{\text{pred}}\)
    更新规则：
  • 若 \(r^k > 0.75\)（模型拟合很好），扩大信任域：\(\Delta^{k+1} = 2 \Delta^k\)
  • 若 \(0.25 \le r^k \le 0.75\)，保持：\(\Delta^{k+1} = \Delta^k\)
  • 若 \(r^k < 0.25\)，缩小信任域：\(\Delta^{k+1} = 0.5 \Delta^k\)

第六步：算法框架

总结FSLP算法步骤：

  1. 初始化：严格可行点 \(x^0\)，初始信任域半径 \(\Delta^0 > 0\)（例如 \(\Delta^0=1\)），容差 \(\epsilon > 0\)，置 \(k=0\)。
  2. 循环直到 \(\|d^k\| < \epsilon\)：
    a. 求解上述线性规划子问题得 \(d^k\)。
    b. 若 \(x^k + d^k\) 不严格可行，则减小 \(\Delta^k\) 并返回步骤a。
    c. 计算比值 \(r^k\)。
    d. 如果 \(r^k > 0\)，接受步长：\(x^{k+1} = x^k + d^k\)；否则拒绝（\(x^{k+1} = x^k\)）。
    e. 按上述规则更新 \(\Delta^{k+1}\)。
    f. \(k := k+1\)。

第七步：应用于具体例子

以初始点 \(x^0=(1,1)\)，\(\Delta^0=1\) 为例演示第一次迭代：

  • 计算梯度：

\[ \nabla f(1,1)=[-4, -2]^\top, \quad \nabla g_1(1,1)=[2, 2]^\top, \quad \nabla g_2(1,1)=[-1, -1]^\top \]

约束值：\(g_1(1,1)=-2, \ g_2(1,1)=-1\)。

  • 构造线性规划：

\[ \min_{d_1,d_2} -4d_1 - 2d_2 \]

\[ \text{s.t.} \quad -2 + 2d_1 + 2d_2 \le 0 \quad (g_1 \text{线性化}) \]

\[ -1 - d_1 - d_2 \le 0 \quad (g_2 \text{线性化}) \]

\[ d_1 \ge -1, \quad d_2 \ge -1 \quad (\text{边界 } x \ge 0) \]

\[ -1 \le d_1 \le 1, \quad -1 \le d_2 \le 1 \quad (\text{信任域}) \]

  • 求解此LP（可用图解法或单纯形法）：最优解在顶点取得，经计算得 \(d^0 = (1, -0.5)\)（满足所有约束，且使目标最小化）。此时 \(x^0 + d^0 = (2, 0.5)\)。

  • 检查可行性：
    \(g_1(2,0.5)=4+0.25-4=0.25 > 0\)，违反！因此需要减小 \(\Delta^0\)，比如设 \(\Delta^0 = 0.5\)，重新求解LP（此时信任域约束为 \(|d_j| \le 0.5\)）。新解为 \(d^0 = (0.5, -0.5)\)，则 \(x^0+d^0=(1.5,0.5)\)，计算得 \(g_1(1.5,0.5)=2.25+0.25-4=-1.5 <0\)，\(g_2(1.5,0.5)=-1.5-0.5+1=-1<0\)，且 \(x>0\)，故严格可行。

  • 计算比值：\(f(1,1)=5\)，\(f(1.5,0.5)= (1.5-3)^2+(0.5-2)^2=2.25+2.25=4.5\)，实际下降 \(=0.5\)；预测下降 \(= -[-4, -2]^\top [0.5, -0.5] = 4*0.5+2*0.5=3\)；比值 \(r=0.5/3\approx0.167<0.25\)，故应缩小信任域：\(\Delta^1=0.5*0.5=0.25\)。

  • 接受新点 \(x^1=(1.5,0.5)\)，继续迭代。

第八步：收敛性说明

FSLP在适当条件下（如约束梯度线性独立、目标与约束光滑、严格互补等）可证明迭代点序列的任一极限点满足一阶必要最优条件（KKT条件）。由于每次迭代均严格可行，算法很稳定，尤其适合需要严格保持可行性的工程应用。

关键优势：每次迭代只需解线性规划，计算简单，且严格可行性便于在线调整和实时优化。

注意事项：线性化可能导致收敛慢（仅线性收敛），且对非凸问题可能陷入局部最优。实际中可与二阶信息或全局策略结合改进。

通过以上步骤，你应能理解FSLP的原理与实现，并应用到其他非线性规划问题中。

非线性规划中的可行顺序线性规划（FSLP）算法进阶题 题目描述 我们考虑以下非线性规划问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] \[ \text{s.t.} \quad g_ i(x) \le 0, \quad i = 1, \dots, m \] 其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和约束函数 \(g_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 都是二次连续可微的，并且可能非凸。可行顺序线性规划（Feasible Sequential Linear Programming, FSLP）是一种迭代算法，它在每一步构造当前迭代点处的线性化子问题，并求解该线性规划以获得搜索方向，同时通过适当的步长控制确保迭代点始终严格可行（即满足 \(g_ i(x) < 0\)）。本题要求你深入理解FSLP的核心思想，掌握其迭代步骤、可行性保持机制、收敛性条件，并能针对一个具体例子实施算法。 具体实例 ： \[ \min f(x) = (x_ 1 - 3)^2 + (x_ 2 - 2)^2 \] \[ \text{s.t.} \quad g_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \le 0 \] \[ g_ 2(x) = -x_ 1 - x_ 2 + 1 \le 0 \] \[ x_ 1 \ge 0, \quad x_ 2 \ge 0 \] 初始点 \(x^0 = (1, 1)\)，该点满足 \(g_ 1(x^0) = -2 < 0\)，\(g_ 2(x^0) = -1 < 0\)，且 \(x_ 1, x_ 2 > 0\)，故严格可行。 解题过程 第一步：理解FSLP的基本思想 FSLP属于序列线性规划（SLP）的一种，其核心是 在每一步迭代时，将原非线性问题在当前点 \(x^k\) 处进行一阶泰勒展开，得到一个线性规划子问题 。但与传统SLP不同，FSLP通过引入 可行性恢复步骤 或 严格内点步长控制 ，确保每一次迭代后的新点仍然严格可行（即满足所有不等式约束的严格小于0形式）。这能避免约束违反，并允许使用较简单的线性规划求解器。 关键点 ： 线性化：在 \(x^k\) 处，对 \(f\) 和 \(g_ i\) 做线性近似。 子问题是线性规划（LP），可用单纯形法或内点法求解。 步长选择需保证新点严格可行，通常通过回溯线搜索（backtracking line search）或信任域（trust region）策略实现。 第二步：构造线性规划子问题 在当前迭代点 \(x^k\)，我们计算目标函数和约束函数的梯度： \[ \nabla f(x) = \begin{bmatrix} 2(x_ 1 - 3) \\ 2(x_ 2 - 2) \end{bmatrix}, \quad \nabla g_ 1(x) = \begin{bmatrix} 2x_ 1 \\ 2x_ 2 \end{bmatrix}, \quad \nabla g_ 2(x) = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} \] 线性化后的子问题为（决策变量为搜索方向 \(d \in \mathbb{R}^n\)）： \[ \min_ {d} \ \nabla f(x^k)^\top d \] \[ \text{s.t.} \quad g_ i(x^k) + \nabla g_ i(x^k)^\top d \le 0, \quad i=1,2 \] \[ x^k + d \ge 0 \quad (\text{即 } d \ge -x^k) \] 注意：这里我们 没有 在目标中加入二阶项（如 \(f(x^k)\) 是常数，可忽略），因为线性规划的目标必须是线性的。同时， 线性化只针对非线性约束 ，对于简单的边界约束 \(x \ge 0\)，我们直接将其转化为对 \(d\) 的线性约束 \(d \ge -x^k\)，以确保新点 \(x^{k+1} = x^k + d\) 仍满足边界。 解释 ：线性化约束 \(g_ i(x^k) + \nabla g_ i(x^k)^\top d \le 0\) 确保了如果 \(d\) 很小，则 \(g_ i(x^k + d) \approx g_ i(x^k) + \nabla g_ i(x^k)^\top d \le 0\)，从而近似满足原约束。但由于线性近似只在局部有效，我们需要限制步长（即 \(d\) 的范数）来保证可行性。 第三步：引入信任域约束以控制步长 为了控制线性近似的误差，我们添加一个 信任域约束 ： \[ \|d\| \infty \le \Delta^k \] 其中 \(\Delta^k > 0\) 是当前信任域半径，\(\|d\| \infty = \max_ j |d_ j|\) 易于线性化（可转化为 \(- \Delta^k \le d_ j \le \Delta^k\)）。这样，子问题变为： \[ \min_ {d} \ \nabla f(x^k)^\top d \] \[ \text{s.t.} \quad g_ i(x^k) + \nabla g_ i(x^k)^\top d \le 0, \quad i=1,2 \] \[ d \ge -x^k \] \[ -\Delta^k \le d_ j \le \Delta^k, \quad j=1,2 \] 这是一个 线性规划 ，可用标准方法求解，得到搜索方向 \(d^k\)。 第四步：可行性保持与步长接受准则 即使有信任域约束，线性化子问题的解 \(d^k\) 也可能导致新点 \(x^k + d^k\) 违反原约束（因为线性近似有误差）。因此，FSLP通常采用以下步骤： 求解线性规划子问题 ，得到 \(d^k\)。 检查可行性 ：计算 \(x_ {\text{temp}} = x^k + d^k\)，验证是否满足 \(g_ i(x_ {\text{temp}}) < 0\) 和 \(x_ {\text{temp}} > 0\)。如果满足，则接受 \(d^k\) 作为搜索方向；否则，减少信任域半径 \(\Delta^k\)（例如 \(\Delta^k := \beta \Delta^k, \beta \in (0,1)\)）并重新求解子问题，直到得到严格可行的 \(x_ {\text{temp}}\)。 步长选择 ：一旦得到可行的 \(d^k\)，我们可进一步进行线搜索以确保目标函数下降。但由于子问题已考虑了目标梯度，有时直接接受全步 \(x^{k+1} = x^k + d^k\)，或进行简单回溯：令 \(\alpha = 1\)，当 \(f(x^k + \alpha d^k) > f(x^k)\) 时，设置 \(\alpha := \gamma \alpha\)（\(\gamma \in (0,1)\)），直至满足下降条件。 注意 ：FSLP的关键是 每次迭代后点严格可行 ，这简化了后续迭代，并允许在工业软件中直接调用LP求解器。 第五步：信任域半径的更新 根据线性近似的拟合程度调整 \(\Delta^k\)： 定义实际下降：\(\text{ared} = f(x^k) - f(x^{k+1})\) 定义预测下降：\(\text{pred} = -\nabla f(x^k)^\top d^k\)（因为线性模型预测的下降） 计算比值 \(r^k = \frac{\text{ared}}{\text{pred}}\) 更新规则： 若 \(r^k > 0.75\)（模型拟合很好），扩大信任域：\(\Delta^{k+1} = 2 \Delta^k\) 若 \(0.25 \le r^k \le 0.75\)，保持：\(\Delta^{k+1} = \Delta^k\) 若 \(r^k < 0.25\)，缩小信任域：\(\Delta^{k+1} = 0.5 \Delta^k\) 第六步：算法框架 总结FSLP算法步骤： 初始化：严格可行点 \(x^0\)，初始信任域半径 \(\Delta^0 > 0\)（例如 \(\Delta^0=1\)），容差 \(\epsilon > 0\)，置 \(k=0\)。 循环直到 \(\|d^k\| < \epsilon\)： a. 求解上述线性规划子问题得 \(d^k\)。 b. 若 \(x^k + d^k\) 不严格可行，则减小 \(\Delta^k\) 并返回步骤a。 c. 计算比值 \(r^k\)。 d. 如果 \(r^k > 0\)，接受步长：\(x^{k+1} = x^k + d^k\)；否则拒绝（\(x^{k+1} = x^k\)）。 e. 按上述规则更新 \(\Delta^{k+1}\)。 f. \(k := k+1\)。 第七步：应用于具体例子 以初始点 \(x^0=(1,1)\)，\(\Delta^0=1\) 为例演示第一次迭代： 计算梯度： \[ \nabla f(1,1)=[ -4, -2]^\top, \quad \nabla g_ 1(1,1)=[ 2, 2]^\top, \quad \nabla g_ 2(1,1)=[ -1, -1 ]^\top \] 约束值：\(g_ 1(1,1)=-2, \ g_ 2(1,1)=-1\)。 构造线性规划： \[ \min_ {d_ 1,d_ 2} -4d_ 1 - 2d_ 2 \] \[ \text{s.t.} \quad -2 + 2d_ 1 + 2d_ 2 \le 0 \quad (g_ 1 \text{线性化}) \] \[ -1 - d_ 1 - d_ 2 \le 0 \quad (g_ 2 \text{线性化}) \] \[ d_ 1 \ge -1, \quad d_ 2 \ge -1 \quad (\text{边界 } x \ge 0) \] \[ -1 \le d_ 1 \le 1, \quad -1 \le d_ 2 \le 1 \quad (\text{信任域}) \] 求解此LP（可用图解法或单纯形法）：最优解在顶点取得，经计算得 \(d^0 = (1, -0.5)\)（满足所有约束，且使目标最小化）。此时 \(x^0 + d^0 = (2, 0.5)\)。 检查可行性： \(g_ 1(2,0.5)=4+0.25-4=0.25 > 0\)， 违反 ！因此需要减小 \(\Delta^0\)，比如设 \(\Delta^0 = 0.5\)，重新求解LP（此时信任域约束为 \(|d_ j| \le 0.5\)）。新解为 \(d^0 = (0.5, -0.5)\)，则 \(x^0+d^0=(1.5,0.5)\)，计算得 \(g_ 1(1.5,0.5)=2.25+0.25-4=-1.5 <0\)，\(g_ 2(1.5,0.5)=-1.5-0.5+1=-1 <0\)，且 \(x>0\)，故严格可行。 计算比值：\(f(1,1)=5\)，\(f(1.5,0.5)= (1.5-3)^2+(0.5-2)^2=2.25+2.25=4.5\)，实际下降 \(=0.5\)；预测下降 \(= -[ -4, -2]^\top [ 0.5, -0.5] = 4 0.5+2 0.5=3\)；比值 \(r=0.5/3\approx0.167<0.25\)，故应缩小信任域：\(\Delta^1=0.5* 0.5=0.25\)。 接受新点 \(x^1=(1.5,0.5)\)，继续迭代。 第八步：收敛性说明 FSLP在适当条件下（如约束梯度线性独立、目标与约束光滑、严格互补等）可证明迭代点序列的任一极限点满足一阶必要最优条件（KKT条件）。由于每次迭代均严格可行，算法很稳定，尤其适合需要严格保持可行性的工程应用。 关键优势 ：每次迭代只需解线性规划，计算简单，且严格可行性便于在线调整和实时优化。 注意事项 ：线性化可能导致收敛慢（仅线性收敛），且对非凸问题可能陷入局部最优。实际中可与二阶信息或全局策略结合改进。 通过以上步骤，你应能理解FSLP的原理与实现，并应用到其他非线性规划问题中。