并行与分布式系统中的并行图同构测试：Nauty算法并行化

字数 3972 2025-12-20 13:50:56

并行与分布式系统中的并行图同构测试：Nauty算法并行化

题目描述

在图论中，图同构（Graph Isomorphism, GI）问题是指：给定两个图 G 和 H，判断它们是否“本质上相同”——即是否存在一个顶点的一一对应关系（同构映射），使得G中任意两个顶点之间有边当且仅当H中对应的两个顶点之间也有边。这是一个经典的、计算上非常困难的问题，其确切的计算复杂性类别（属于P、NP-complete还是介于两者之间）是开放问题。但在实践中，许多算法能高效处理绝大多数实际图例，其中Nauty算法是应用最广泛、最成熟的工具之一。

Nauty（No automorphisms, yes?）算法由Brendan McKay开发，其核心思想是通过生成图的正则标号（canonical labeling）来判定同构：如果两个图同构，则它们的正则标号（通常是一个特定的邻接矩阵排列）完全相同。因此，同构判定被转化为比较两个由算法计算出的标准字符串或矩阵。

然而，计算正则标号本身是一个复杂的搜索与剪枝过程，涉及自同构群的计算和划分精化，对于大规模或高度对称的图可能非常耗时。因此，并行化Nauty算法成为了一个有意义的研究方向。本题的目标是理解Nauty算法的核心步骤，并探讨如何设计一个高效的并行化版本，以利用多核或分布式计算资源加速正则标号的计算。

解题过程循序渐进讲解

我们将分为几个部分：首先理解串行Nauty的核心机制，然后分析其中的可并行部分，最后设计一个并行化策略。关键在于认识到Nauty算法的搜索树结构及其对动态分区（划分）的依赖。

第一部分：串行Nauty算法核心思想

Nauty算法的目标是：给定一个图G，为它找到一个唯一的、与顶点初始标号无关的邻接矩阵表示，即正则形式。其核心流程可概括为：

着色/划分：为图的每个顶点分配一个初始“颜色”。相同颜色的顶点被认为是“不可区分的”。这个初始划分可以非常简单，比如根据顶点的度（相邻边的数量）来着色。度相同的顶点初始颜色相同。
划分精化：
- 这是一个迭代过程，类似于图着色算法中的“颜色传播”。
- 对于当前划分中的每个颜色类（一组同色顶点），算法检查这些顶点的邻居颜色组成。例如，两个同色的顶点，如果它们连接到不同数量（或不同模式）的其他颜色顶点，那么它们实际上是可以区分的。
- 根据邻居颜色信息，算法将这个颜色类进一步分裂成更细的颜色类。这个过程不断重复，直到划分变得稳定——即同一颜色类内的所有顶点，其邻居的颜色组成都完全相同。此时得到的划分称为离散划分（如果每个顶点自成一类）或均衡划分。
搜索树构建与回溯：
- 如果精化后得到的划分不是离散的（即至少有一个颜色类包含多于一个顶点），意味着算法还不能唯一地区分所有顶点。这时，算法需要“猜测”来打破对称性。
- 算法选择一个大小大于1的颜色类，取出其中一个顶点v，将其“个体化”——即赋予它一个新的、独特的颜色，从而创建两个新的子节点（子问题）：
  1. 一个分支假设v属于一个新的、独立的颜色类。
  2. 另一个分支处理剩下的顶点（原来颜色类中除v外的顶点）。
- 对每个分支，重新应用“划分精化”步骤。这个过程形成了一个搜索树。每个叶节点对应一个离散划分，即将顶点完全排序成一种排列。
叶节点处理与正则标号生成：
- 到达叶节点（离散划分）时，我们就得到了顶点的一种全序排列。根据这个排列，可以生成一个邻接矩阵。
- 算法在整个搜索树的遍历过程中，会记录下“最好”（根据某种字典序或预定规则）的邻接矩阵排列。这个“最好”的排列就被定义为图的正则形式。
- 自同构群检测与剪枝：在搜索过程中，如果发现两个叶节点产生的顶点排列导出了完全相同的邻接矩阵，这意味着找到了图的一个自同构（图到自身的一个同构映射）。这些自同构构成自同构群。发现自同构是强大的剪枝工具：如果一个分支的搜索路径与之前探索过的、在自同构群作用下等价的路径重合，那么这个分支可以立即被剪掉，无需继续深入，因为不可能产生比已知更好的正则形式。
输出：返回最终记录的那个“最好”的邻接矩阵（即正则标号）。对于同构测试，只需比较两个图的正则标号是否相同。

第二部分：Nauty算法中的并行性潜力分析

串行Nauty的主要计算开销在于：

划分精化的迭代计算。
搜索树的构建与遍历，特别是当图具有高度对称性时，搜索树可能很深或很宽。

潜在的并行性来源：

搜索树级的并行（粗粒度并行）：
- 这是最直观和有效的并行化策略。搜索树的各个分支（特别是顶层的分支）在很大程度上是独立的。我们可以将不同的子树分配给不同的处理器（或计算节点）进行并行探索。
- 挑战：负载均衡。某些子树可能非常大（需要大量计算），而另一些可能很快被剪枝。需要动态的任务分配机制。
划分精化步骤内的并行（细粒度并行）：
- 在单个划分精化步骤中，计算每个顶点的“颜色签名”（根据其邻居颜色计算出的一个特征值）是可以并行进行的，因为顶点间的计算是独立的。
- 对颜色签名进行排序以分裂颜色类，这个排序操作也可以并行化（例如使用并行排序算法）。
- 挑战：这个步骤的计算量通常远小于搜索树的遍历开销，且并行化可能引入同步和通信开销，需要权衡。
自同构群计算的并行：
- 发现自同构可以加速剪枝。检查两个叶节点的排列是否对应自同构，这一比较操作可以并行化。但自同构群的生成和运用是顺序逻辑较强的部分，完全并行化较复杂。

第三部分：并行化Nauty算法设计（基于任务窃取模型的并行搜索树探索）

这里我们设计一个基于共享内存多核架构的并行Nauty算法。其核心思想是将搜索树的探索转化为一个动态任务池，工作线程（处理器核）从池中窃取任务执行。

数据结构：

全局任务队列：一个线程安全的双端队列（deque），存储待探索的搜索树节点。每个节点包含当前图的着色/划分状态、当前的顶点排列、已发现的最佳正则标号（引用）、以及用于剪枝的自同构群信息（引用）。
全局最佳正则标号：一个共享的、受互斥锁保护的数据结构，存储当前全局找到的“最好”的邻接矩阵排列。所有线程在找到一个叶节点时，都需要与此比较并可能更新。
全局自同构群：一个共享的、用于记录已发现的自同构的数据库。用于剪枝。

算法步骤：

初始化：
- 主线程（线程0）运行串行Nauty，直到首次需要进行分支选择（即遇到第一个非离散划分）。
- 将这个初始节点生成多个顶层分支任务（例如，对选中的颜色类中的每个顶点进行个体化，产生一系列子任务），并将这些任务放入全局任务队列。
工作线程主循环：
- 每个工作线程（包括主线程）循环执行以下操作，直到任务队列为空且所有线程空闲（全局终止检测）：
  a. 任务获取：线程尝试从本地任务队列（每个线程维护一个）的头部弹出任务。如果本地队列为空，则执行工作窃取：随机选择另一个受害者线程，从其任务队列的尾部窃取一个任务。这是一种负载均衡策略，有助于处理大小不一的任务。
  b. 任务处理：获得一个任务（搜索树节点）后，线程在其上执行串行Nauty的深度优先搜索，但做如下修改：
  * 子任务生成：当串行算法需要分支（遇到非离散划分）时，它生成一组子任务。线程不会立即递归处理所有这些子任务，而是将其中一个子任务压入自己的本地队列头部（作为下一个要处理的任务），其余的子任务推入全局任务队列，供其他空闲线程窃取。这实现了搜索树的广度优先展开，有利于并行性。
  * 剪枝与更新：
  * 在本地搜索过程中，如果发现当前路径不可能产生比全局最佳正则标号更好的结果（基于部分排列的比较），则立即剪枝该分支。
  * 当到达一个叶节点时，线程计算其正则标号，并与全局最佳正则标号（加锁）比较。如果更好，则更新全局最佳值。
  * 如果发现一个新的自同构，将其加入全局自同构群。这个自同构信息可以用于未来其他任务的剪枝。线程在开始处理一个新任务时，会先检查当前状态是否与已知自同构作用下的某个状态等价，若是则直接剪枝该任务。
  c. 深度优先与广度优先的平衡：上述策略意味着每个线程在其“窃取”到的任务内部进行深度优先搜索（利于局部性和减少内存占用），而线程之间通过窃取实现任务在搜索树上的广度优先探索（利于负载均衡）。这被称为深度优先窃取，广度优先赠送策略。
终止与输出：
- 当所有工作线程都找不到任务可执行（全局任务队列和所有本地队列为空，且所有线程都处于窃取失败状态），算法终止。
- 最终，全局最佳正则标号即为图G的正则形式。

用于同构测试：
要判断图G和图H是否同构，只需并行运行上述算法分别计算它们的正则标号Canon(G)和Canon(H)，然后比较这两个标号是否完全相同。由于正则标号的唯一性，Canon(G) == Canon(H) 当且仅当 G 和 H 同构。

总结

并行化Nauty算法的关键在于将其内在的搜索树结构暴露出来，并通过动态任务调度（如工作窃取）来并行探索搜索树的不同分支。主要挑战在于：

负载均衡：搜索子树大小差异巨大，工作窃取机制是应对此问题的经典方案。
共享状态同步：全局最佳正则标号和自同构群需要被所有线程安全地访问和更新，锁或无锁数据结构是必要的，但可能成为性能瓶颈。
剪枝信息的传播：在一个线程中发现的、能导致剪枝的自同构或次优标号信息，需要高效地传播给其他线程，以避免无用计算。

通过精心设计任务粒度（在分支点生成任务）和采用“深度优先本地搜索结合广度优先任务分发”的策略，可以有效地将Nauty算法并行化，从而加速大规模图或具有复杂对称性的图的正则标号计算与同构判定。

并行与分布式系统中的并行图同构测试：Nauty算法并行化题目描述在图论中，图同构（Graph Isomorphism, GI）问题是指：给定两个图 G 和 H，判断它们是否“本质上相同”——即是否存在一个顶点的一一对应关系（同构映射），使得G中任意两个顶点之间有边当且仅当H中对应的两个顶点之间也有边。这是一个经典的、计算上非常困难的问题，其确切的计算复杂性类别（属于P、NP-complete还是介于两者之间）是开放问题。但在实践中，许多算法能高效处理绝大多数实际图例，其中Nauty算法是应用最广泛、最成熟的工具之一。 Nauty（No automorphisms, yes?）算法由Brendan McKay开发，其核心思想是通过生成图的正则标号（canonical labeling）来判定同构：如果两个图同构，则它们的正则标号（通常是一个特定的邻接矩阵排列）完全相同。因此，同构判定被转化为比较两个由算法计算出的标准字符串或矩阵。然而，计算正则标号本身是一个复杂的搜索与剪枝过程，涉及自同构群的计算和划分精化，对于大规模或高度对称的图可能非常耗时。因此，并行化Nauty算法成为了一个有意义的研究方向。本题的目标是理解Nauty算法的核心步骤，并探讨如何设计一个高效的并行化版本，以利用多核或分布式计算资源加速正则标号的计算。解题过程循序渐进讲解我们将分为几个部分：首先理解串行Nauty的核心机制，然后分析其中的可并行部分，最后设计一个并行化策略。关键在于认识到Nauty算法的搜索树结构及其对动态分区（划分）的依赖。第一部分：串行Nauty算法核心思想 Nauty算法的目标是：给定一个图G，为它找到一个唯一的、与顶点初始标号无关的邻接矩阵表示，即正则形式。其核心流程可概括为：着色/划分：为图的每个顶点分配一个初始“颜色”。相同颜色的顶点被认为是“不可区分的”。这个初始划分可以非常简单，比如根据顶点的度（相邻边的数量）来着色。度相同的顶点初始颜色相同。划分精化：这是一个迭代过程，类似于图着色算法中的“颜色传播”。对于当前划分中的每个颜色类（一组同色顶点），算法检查这些顶点的邻居颜色组成。例如，两个同色的顶点，如果它们连接到不同数量（或不同模式）的其他颜色顶点，那么它们实际上是可以区分的。根据邻居颜色信息，算法将这个颜色类进一步分裂成更细的颜色类。这个过程不断重复，直到划分变得稳定——即同一颜色类内的所有顶点，其邻居的颜色组成都完全相同。此时得到的划分称为离散划分（如果每个顶点自成一类）或均衡划分。搜索树构建与回溯：如果精化后得到的划分不是离散的（即至少有一个颜色类包含多于一个顶点），意味着算法还不能唯一地区分所有顶点。这时，算法需要“猜测”来打破对称性。算法选择一个大小大于1的颜色类，取出其中一个顶点v，将其“个体化”——即赋予它一个新的、独特的颜色，从而创建两个新的子节点（子问题）：一个分支假设v属于一个新的、独立的颜色类。另一个分支处理剩下的顶点（原来颜色类中除v外的顶点）。对每个分支，重新应用“划分精化”步骤。这个过程形成了一个搜索树。每个叶节点对应一个离散划分，即将顶点完全排序成一种排列。叶节点处理与正则标号生成：到达叶节点（离散划分）时，我们就得到了顶点的一种全序排列。根据这个排列，可以生成一个邻接矩阵。算法在整个搜索树的遍历过程中，会记录下“最好”（根据某种字典序或预定规则）的邻接矩阵排列。这个“最好”的排列就被定义为图的正则形式。自同构群检测与剪枝：在搜索过程中，如果发现两个叶节点产生的顶点排列导出了完全相同的邻接矩阵，这意味着找到了图的一个自同构（图到自身的一个同构映射）。这些自同构构成自同构群。发现自同构是强大的剪枝工具：如果一个分支的搜索路径与之前探索过的、在自同构群作用下等价的路径重合，那么这个分支可以立即被剪掉，无需继续深入，因为不可能产生比已知更好的正则形式。输出：返回最终记录的那个“最好”的邻接矩阵（即正则标号）。对于同构测试，只需比较两个图的正则标号是否相同。第二部分：Nauty算法中的并行性潜力分析串行Nauty的主要计算开销在于：划分精化的迭代计算。搜索树的构建与遍历，特别是当图具有高度对称性时，搜索树可能很深或很宽。潜在的并行性来源：搜索树级的并行（粗粒度并行）：这是最直观和有效的并行化策略。搜索树的各个分支（特别是顶层的分支）在很大程度上是独立的。我们可以将不同的子树分配给不同的处理器（或计算节点）进行并行探索。挑战：负载均衡。某些子树可能非常大（需要大量计算），而另一些可能很快被剪枝。需要动态的任务分配机制。划分精化步骤内的并行（细粒度并行）：在单个划分精化步骤中，计算每个顶点的“颜色签名”（根据其邻居颜色计算出的一个特征值）是可以并行进行的，因为顶点间的计算是独立的。对颜色签名进行排序以分裂颜色类，这个排序操作也可以并行化（例如使用并行排序算法）。挑战：这个步骤的计算量通常远小于搜索树的遍历开销，且并行化可能引入同步和通信开销，需要权衡。自同构群计算的并行：发现自同构可以加速剪枝。检查两个叶节点的排列是否对应自同构，这一比较操作可以并行化。但自同构群的生成和运用是顺序逻辑较强的部分，完全并行化较复杂。第三部分：并行化Nauty算法设计（基于任务窃取模型的并行搜索树探索）这里我们设计一个基于共享内存多核架构的并行Nauty算法。其核心思想是将搜索树的探索转化为一个动态任务池，工作线程（处理器核）从池中窃取任务执行。数据结构：全局任务队列：一个线程安全的双端队列（deque），存储待探索的搜索树节点。每个节点包含当前图的着色/划分状态、当前的顶点排列、已发现的最佳正则标号（引用）、以及用于剪枝的自同构群信息（引用）。全局最佳正则标号：一个共享的、受互斥锁保护的数据结构，存储当前全局找到的“最好”的邻接矩阵排列。所有线程在找到一个叶节点时，都需要与此比较并可能更新。全局自同构群：一个共享的、用于记录已发现的自同构的数据库。用于剪枝。算法步骤：初始化：主线程（线程0）运行串行Nauty，直到首次需要进行分支选择（即遇到第一个非离散划分）。将这个初始节点生成多个顶层分支任务（例如，对选中的颜色类中的每个顶点进行个体化，产生一系列子任务），并将这些任务放入全局任务队列。工作线程主循环：每个工作线程（包括主线程）循环执行以下操作，直到任务队列为空且所有线程空闲（全局终止检测）： a. 任务获取：线程尝试从本地任务队列（每个线程维护一个）的头部弹出任务。如果本地队列为空，则执行工作窃取：随机选择另一个受害者线程，从其任务队列的尾部窃取一个任务。这是一种负载均衡策略，有助于处理大小不一的任务。 b. 任务处理：获得一个任务（搜索树节点）后，线程在其上执行串行Nauty的深度优先搜索，但做如下修改： * 子任务生成：当串行算法需要分支（遇到非离散划分）时，它生成一组子任务。线程不会立即递归处理所有这些子任务，而是将其中一个子任务压入自己的本地队列头部（作为下一个要处理的任务），其余的子任务推入全局任务队列，供其他空闲线程窃取。这实现了搜索树的广度优先展开，有利于并行性。 * 剪枝与更新： * 在本地搜索过程中，如果发现当前路径不可能产生比全局最佳正则标号更好的结果（基于部分排列的比较），则立即剪枝该分支。 * 当到达一个叶节点时，线程计算其正则标号，并与全局最佳正则标号（加锁）比较。如果更好，则更新全局最佳值。 * 如果发现一个新的自同构，将其加入全局自同构群。这个自同构信息可以用于未来其他任务的剪枝。线程在开始处理一个新任务时，会先检查当前状态是否与已知自同构作用下的某个状态等价，若是则直接剪枝该任务。 c. 深度优先与广度优先的平衡：上述策略意味着每个线程在其“窃取”到的任务内部进行深度优先搜索（利于局部性和减少内存占用），而线程之间通过窃取实现任务在搜索树上的广度优先探索（利于负载均衡）。这被称为深度优先窃取，广度优先赠送策略。终止与输出：当所有工作线程都找不到任务可执行（全局任务队列和所有本地队列为空，且所有线程都处于窃取失败状态），算法终止。最终，全局最佳正则标号即为图G的正则形式。用于同构测试：要判断图G和图H是否同构，只需并行运行上述算法分别计算它们的正则标号 Canon(G) 和 Canon(H) ，然后比较这两个标号是否完全相同。由于正则标号的唯一性， Canon(G) == Canon(H) 当且仅当 G 和 H 同构。总结并行化Nauty算法的关键在于将其内在的搜索树结构暴露出来，并通过动态任务调度（如工作窃取）来并行探索搜索树的不同分支。主要挑战在于：负载均衡：搜索子树大小差异巨大，工作窃取机制是应对此问题的经典方案。共享状态同步：全局最佳正则标号和自同构群需要被所有线程安全地访问和更新，锁或无锁数据结构是必要的，但可能成为性能瓶颈。剪枝信息的传播：在一个线程中发现的、能导致剪枝的自同构或次优标号信息，需要高效地传播给其他线程，以避免无用计算。通过精心设计任务粒度（在分支点生成任务）和采用“深度优先本地搜索结合广度优先任务分发”的策略，可以有效地将Nauty算法并行化，从而加速大规模图或具有复杂对称性的图的正则标号计算与同构判定。