线性规划的Karmarkar内点法求解示例
字数 2813 2025-10-26 09:00:43

线性规划的Karmarkar内点法求解示例

我将为你讲解线性规划的Karmarkar内点法。这个算法是另一个重要的内点法，与之前讲过的内点法有所不同，它通过投影变换将当前点映射到单纯形的中心，从而更有效地逼近最优解。

题目描述

考虑以下线性规划问题：

最小化：
\(z = -x_1 - x_2\)

约束条件：
\(x_1 + 2x_2 \leq 6\)
\(2x_1 + x_2 \leq 6\)
\(x_1, x_2 \geq 0\)

要求使用Karmarkar内点法求解该问题。

解题过程

1. 标准化问题形式

Karmarkar算法要求问题具有特定的标准形式：最小化目标函数，约束为等式，且解位于一个单纯形内。我们首先将问题转化为更接近Karmarkar要求的形式。

引入松弛变量 \(x_3, x_4 \geq 0\) 将不等式转为等式：

  • \(x_1 + 2x_2 + x_3 = 6\)
  • \(2x_1 + x_2 + x_4 = 6\)

目标函数变为：
最小化 \(z = -x_1 - x_2\)

为了符合Karmarkar的框架，我们进一步调整问题。Karmarkar的标准形式要求目标函数在可行域中心处为0，且可行域包含在一个单纯形内。实际操作中，我们通过以下步骤实现：

  1. 将问题转化为等价形式：
    定义新的变量向量 \(\mathbf{y} = [y_1, y_2, y_3, y_4]^T\)，使得问题约束变为 \(A\mathbf{y} = 0\)，且 \(\mathbf{y}\) 位于一个单纯形内（即 \(\sum y_i = 1, y_i \geq 0\)）。这通常需要引入一个齐次坐标系统。

  2. 投影变换：
    算法核心是通过投影变换将当前点映射到单纯形的中心，从而沿一个“势函数”下降方向移动。

由于原问题不是齐次的，我们直接展示Karmarkar法的核心迭代步骤，而不做完整的标准形式转化（那会非常复杂）。我们聚焦于算法原理和关键计算。

2. 算法初始化

Karmarkar法从一个严格内点开始（即所有变量 > 0）。我们选择初始点：
\(x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 6 - 1 - 2 = 3, x_4 = 6 - 2 - 1 = 3\)
即 \(\mathbf{x}^{(0)} = [1, 1, 3, 3]^T\)，满足所有约束且 \(x_i > 0\)。

目标函数值：
\(z^{(0)} = -1 - 1 = -2\)

3. 迭代步骤（以第一次迭代为例）

Karmarkar法的每次迭代包含以下步骤：

步骤 3.1: 计算投影梯度方向

  • 定义缩放矩阵 \(D_k = \text{diag}(x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, x_3^{(k)}, x_4^{(k)})\)，即对角元素为当前点各分量。

  • 对于初始点 \(\mathbf{x}^{(0)} = [1, 1, 3, 3]^T\)，有：
    \(D_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

  • 目标函数系数向量 \(\mathbf{c} = [-1, -1, 0, 0]^T\)。
    计算缩放后的目标函数梯度：
    \(\mathbf{c}_D = D_0 \mathbf{c} = [1 \cdot (-1), 1 \cdot (-1), 3 \cdot 0, 3 \cdot 0]^T = [-1, -1, 0, 0]^T\)

  • 约束矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
    缩放后的约束矩阵：
    \(A_D = A D_0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

  • 投影算子计算：
    \(P = I - A_D^T (A_D A_D^T)^{-1} A_D\)
    先计算 \(A_D A_D^T = \begin{pmatrix} 1^2+2^2+3^2+0^2 & 1\cdot2+2\cdot1+3\cdot0+0\cdot3 \\ 2\cdot1+1\cdot2+0\cdot3+3\cdot0 & 2^2+1^2+0^2+3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 4 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}\)
    逆矩阵：
    \((A_D A_D^T)^{-1} = \frac{1}{14\cdot14 - 4\cdot4} \begin{pmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 14 \end{pmatrix} = \frac{1}{180} \begin{pmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 14 \end{pmatrix}\)

  • 计算投影梯度方向：
    \(\mathbf{d} = -P \mathbf{c}_D\)（负号是因为最小化问题）
    具体计算略（因篇幅），但方向 \(\mathbf{d}\) 指示了目标函数下降的方向。

步骤 3.2: 确定步长

  • 在单纯形空间内，沿 \(\mathbf{d}\) 移动，但需保证新点 > 0。
    步长 \(\alpha\) 通常取一个固定值（如 0.5）或根据势函数调整。

步骤 3.3: 更新点

  • 新点：
    \(\mathbf{x}^{(1)} = \mathbf{x}^{(0)} + \alpha D_0 \mathbf{d}\)
    然后归一化（如果需要）以保持可行性。

4. 收敛判断

重复迭代，直到目标函数变化很小或满足其他停止准则。
对于本例，最优解在 \(x_1 = 2, x_2 = 2\) 处（代入约束验证：\(2 + 4 = 6\), \(4 + 2 = 6\)），目标函数 \(z = -4\)。

Karmarkar法通过投影变换避免靠近边界，从而比单纯形法更高效处理大规模问题。

关键点总结

  • 投影变换：将当前点映射到中心，避免边界障碍。
  • 势函数：指导迭代方向，确保快速收敛。
  • 多项式时间性：Karmarkar法是第一个具有多项式时间复杂度的线性规划算法。

通过以上步骤，你可以理解Karmarkar内点法的基本思想。实际实现需处理更多细节，如初始化和收敛条件。

线性规划的Karmarkar内点法求解示例 我将为你讲解线性规划的Karmarkar内点法。这个算法是另一个重要的内点法，与之前讲过的内点法有所不同，它通过投影变换将当前点映射到单纯形的中心，从而更有效地逼近最优解。 题目描述 考虑以下线性规划问题： 最小化： \( z = -x_ 1 - x_ 2 \) 约束条件： \( x_ 1 + 2x_ 2 \leq 6 \) \( 2x_ 1 + x_ 2 \leq 6 \) \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \) 要求使用Karmarkar内点法求解该问题。 解题过程 1. 标准化问题形式 Karmarkar算法要求问题具有特定的标准形式：最小化目标函数，约束为等式，且解位于一个单纯形内。我们首先将问题转化为更接近Karmarkar要求的形式。 引入松弛变量 \( x_ 3, x_ 4 \geq 0 \) 将不等式转为等式： \( x_ 1 + 2x_ 2 + x_ 3 = 6 \) \( 2x_ 1 + x_ 2 + x_ 4 = 6 \) 目标函数变为： 最小化 \( z = -x_ 1 - x_ 2 \) 为了符合Karmarkar的框架，我们进一步调整问题。Karmarkar的标准形式要求目标函数在可行域中心处为0，且可行域包含在一个单纯形内。实际操作中，我们通过以下步骤实现： 将问题转化为等价形式 ： 定义新的变量向量 \( \mathbf{y} = [ y_ 1, y_ 2, y_ 3, y_ 4]^T \)，使得问题约束变为 \( A\mathbf{y} = 0 \)，且 \( \mathbf{y} \) 位于一个单纯形内（即 \( \sum y_ i = 1, y_ i \geq 0 \)）。这通常需要引入一个齐次坐标系统。 投影变换 ： 算法核心是通过投影变换将当前点映射到单纯形的中心，从而沿一个“势函数”下降方向移动。 由于原问题不是齐次的，我们直接展示Karmarkar法的核心迭代步骤，而不做完整的标准形式转化（那会非常复杂）。我们聚焦于算法原理和关键计算。 2. 算法初始化 Karmarkar法从一个严格内点开始（即所有变量 > 0）。我们选择初始点： \( x_ 1 = 1, x_ 2 = 1, x_ 3 = 6 - 1 - 2 = 3, x_ 4 = 6 - 2 - 1 = 3 \) 即 \( \mathbf{x}^{(0)} = [ 1, 1, 3, 3]^T \)，满足所有约束且 \( x_ i > 0 \)。 目标函数值： \( z^{(0)} = -1 - 1 = -2 \) 3. 迭代步骤（以第一次迭代为例） Karmarkar法的每次迭代包含以下步骤： 步骤 3.1: 计算投影梯度方向 定义缩放矩阵 \( D_ k = \text{diag}(x_ 1^{(k)}, x_ 2^{(k)}, x_ 3^{(k)}, x_ 4^{(k)}) \)，即对角元素为当前点各分量。 对于初始点 \( \mathbf{x}^{(0)} = [ 1, 1, 3, 3 ]^T \)，有： \( D_ 0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) 目标函数系数向量 \( \mathbf{c} = [ -1, -1, 0, 0 ]^T \)。 计算缩放后的目标函数梯度： \( \mathbf{c}_ D = D_ 0 \mathbf{c} = [ 1 \cdot (-1), 1 \cdot (-1), 3 \cdot 0, 3 \cdot 0]^T = [ -1, -1, 0, 0 ]^T \) 约束矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) 缩放后的约束矩阵： \( A_ D = A D_ 0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) 投影算子计算： \( P = I - A_ D^T (A_ D A_ D^T)^{-1} A_ D \) 先计算 \( A_ D A_ D^T = \begin{pmatrix} 1^2+2^2+3^2+0^2 & 1\cdot2+2\cdot1+3\cdot0+0\cdot3 \\ 2\cdot1+1\cdot2+0\cdot3+3\cdot0 & 2^2+1^2+0^2+3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 4 \\ 4 & 14 \end{pmatrix} \) 逆矩阵： \( (A_ D A_ D^T)^{-1} = \frac{1}{14\cdot14 - 4\cdot4} \begin{pmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 14 \end{pmatrix} = \frac{1}{180} \begin{pmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 14 \end{pmatrix} \) 计算投影梯度方向： \( \mathbf{d} = -P \mathbf{c}_ D \)（负号是因为最小化问题） 具体计算略（因篇幅），但方向 \( \mathbf{d} \) 指示了目标函数下降的方向。 步骤 3.2: 确定步长 在单纯形空间内，沿 \( \mathbf{d} \) 移动，但需保证新点 > 0。 步长 \( \alpha \) 通常取一个固定值（如 0.5）或根据势函数调整。 步骤 3.3: 更新点 新点： \( \mathbf{x}^{(1)} = \mathbf{x}^{(0)} + \alpha D_ 0 \mathbf{d} \) 然后归一化（如果需要）以保持可行性。 4. 收敛判断 重复迭代，直到目标函数变化很小或满足其他停止准则。 对于本例，最优解在 \( x_ 1 = 2, x_ 2 = 2 \) 处（代入约束验证：\( 2 + 4 = 6 \), \( 4 + 2 = 6 \)），目标函数 \( z = -4 \)。 Karmarkar法通过投影变换避免靠近边界，从而比单纯形法更高效处理大规模问题。 关键点总结 投影变换 ：将当前点映射到中心，避免边界障碍。 势函数 ：指导迭代方向，确保快速收敛。 多项式时间性 ：Karmarkar法是第一个具有多项式时间复杂度的线性规划算法。 通过以上步骤，你可以理解Karmarkar内点法的基本思想。实际实现需处理更多细节，如初始化和收敛条件。