非线性规划中的自适应随机梯度法 (Adaptive Stochastic Gradient Method) 进阶题：非凸、非光滑、大规模随机优化问题
字数 5328 2025-12-20 12:08:38

非线性规划中的自适应随机梯度法 (Adaptive Stochastic Gradient Method) 进阶题：非凸、非光滑、大规模随机优化问题

题目描述：

考虑以下大规模随机优化问题，其目标函数是数学期望形式的非凸、非光滑（可能带不可微点）函数，且约束条件为确定性的凸集约束：

\[\min_{x \in \mathcal{X}} \; F(x) = \mathbb{E}_{\xi \sim \mathcal{D}} [f(x; \xi)] + r(x). \]

其中：

  • \(x \in \mathbb{R}^d\) 是决策变量，维度 \(d\) 非常大（例如 \(d > 10^4\)）。
  • \(\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^d\) 是一个闭凸集，例如一个简单的框约束 \(\{x | l \le x \le u\}\)。
  • \(\xi\) 是一个服从未知分布 \(\mathcal{D}\) 的随机向量。我们无法直接计算 \(F(x)\) 或其梯度 \(\nabla F(x)\)，只能通过采样得到一个随机样本 \(\xi_i\)，从而获得随机函数值 \(f(x; \xi_i)\) 和其（次）梯度 \(G(x; \xi_i) \in \partial_x f(x; \xi_i)\)。
  • \(f(\cdot; \xi)\) 对于每个固定的 \(\xi\) 是非凸的，并且可能是非光滑的（例如，包含 \(L_1\) 范数、ReLU激活函数、hinge损失等结构）。其期望 \(F(x)\) 同样是整体非凸、非光滑的。
  • \(r(x)\) 是一个已知的、可能非光滑但“结构简单”的凸正则化项（如 \(L_1\) 范数 \(r(x) = \lambda \|x\|_1\)），使得其邻近算子 \(\text{prox}_{\eta r}(v) = \arg\min_{x} \{ r(x) + \frac{1}{2\eta} \|x - v\|^2 \}\) 易于高效计算。

你的任务是：
设计一个基于自适应随机梯度法（AdaGrad风格）的算法，结合邻近算子（Proximal Operator）来处理非光滑正则项 \(r(x)\)，并引入动量（Momentum）或自适应步长调整机制，以有效处理这个大规模、非凸、非光滑的随机复合优化问题。详细说明算法的迭代格式、自适应矩阵的更新规则、邻近算子的作用，并解释为何这样的设计有助于在非凸、非光滑的随机场景下实现稳定收敛和良好的性能。

解题过程循序渐进讲解：

第一步：问题分解与算法选择动机

  1. 问题特性识别：

    • 大规模 (Large-scale)：\(d\) 很大，排除了需要计算或存储完整Hessian矩阵或其精确逆的算法（如标准牛顿法）。
    • 随机性 (Stochastic)：目标函数是期望形式，只能获取无偏随机（次）梯度 \(g_t = G(x_t; \xi_t)\)，这决定了我们只能使用基于随机梯度的方法。
    • 非光滑 (Non-smooth)：\(f\) 和 \(r\) 都可能导致整体目标 \(F(x) + r(x)\) 不可微。对于 \(r(x)\)，我们可以用邻近算子精确处理；对于 \(f\) 的非光滑性，我们利用随机次梯度。
    • 非凸 (Non-convex)：我们无法保证找到全局最优解，算法设计的目标是找到一个稳定点（Stationary Point），即满足一阶最优性条件的点。

  2. 算法框架选择：随机近端梯度法 (Stochastic Proximal Gradient Method) 是处理“光滑（随机近似）+ 简单非光滑”复合问题的自然选择。其基本迭代为：

\[x_{t+1} = \text{prox}_{\eta_t r} (x_t - \eta_t g_t) \]

其中 $g_t$ 是 $f$ 在 $x_t$ 处的随机（次）梯度，$\eta_t$ 是步长。
  1. 挑战与改进方向：基本随机近端梯度法在非凸、非光滑问题中收敛速度可能很慢，且对步长 \(\eta_t\) 的选择非常敏感。自适应随机梯度法（如 AdaGrad, RMSProp, Adam） 通过利用历史梯度信息为每个参数分量自适应地调整学习率，在处理稀疏特征、非平稳目标或病态曲率问题时表现优异。因此，我们将自适应学习率机制与随机近端梯度法结合。

第二步：算法核心组件——自适应矩阵与迭代格式

我们设计一个 AdaGrad-Prox 算法（结合了AdaGrad的自适应性和近端算子）。

  1. 初始化：

    • 选择初始点 \(x_1 \in \mathcal{X}\)。
    • 选择全局步长（或称“基准学习率”）\(\alpha > 0\)，通常是一个较小的正数（如 0.01）。
    • 选择一个小常数 \(\epsilon > 0\)（如 \(10^{-8}\)），用于数值稳定性，防止除以零。
    • 初始化累积梯度平方矩阵 \(S_0 = 0 \in \mathbb{R}^{d \times d}\)（对角矩阵，通常只维护对角向量 \(s_0 = \mathbf{0}_d\)）。

  2. 主循环（对于 \(t = 1, 2, ..., T\)）：
    a. 随机（次）梯度计算：采样一个随机样本 \(\xi_t \sim \mathcal{D}\)，计算随机（次）梯度 \(g_t \in \partial_x f(x_t; \xi_t)\)。如果 \(f\) 在某点不可微，则 \(g_t\) 是该点的一个次梯度。
    b. 更新累积梯度平方：这是自适应性的核心。我们计算梯度各分量的平方，并累积到历史信息中。对于标准的AdaGrad（对角版本）：

\[s_t = s_{t-1} + g_t \odot g_t \quad \text{(逐元素乘法)} \]

    这里 $s_t$ 是一个向量，其第 $i$ 个分量 $s_{t,i}$ 累积了参数 $x_i$ 所有历史梯度的平方和。
c. **计算自适应步长矩阵**：构造一个对角矩阵 $H_t$，其对角线元素为 $H_{t,ii} = \alpha / (\sqrt{s_{t,i}} + \epsilon)$。这意味着对于历史上梯度变化大的参数方向（对应 $s_{t,i}$ 大），我们会采用较小的步长；对于变化小的方向，采用较大的步长。这起到了自动缩放学习率的作用。
d. **自适应随机梯度更新（临近步）**：计算“中间点”：

\[v_t = x_t - H_t g_t \]

    注意，这里 $H_t g_t$ 是逐元素相乘，即 $(H_t g_t)_i = (\alpha / (\sqrt{s_{t,i}} + \epsilon)) \cdot g_{t,i}$。这等价于用不同的步长更新每个参数分量。
e. **近端映射（处理非光滑项和投影）**：对中间点 $v_t$ 应用 $r(x)$ 的近端算子和到集合 $\mathcal{X}$ 的投影（如果 $\mathcal{X}$ 不是全空间）：

\[x_{t+1} = \text{proj}_{\mathcal{X}} \left( \text{prox}_{\eta_t r} (v_t) \right) \]

    其中 $\eta_t$ 是近端步长。在标准自适应算法中，通常令 $\eta_t = 1$，因为自适应矩阵 $H_t$ 已经包含了步长信息，且其对角线元素通常很小。$\text{proj}_{\mathcal{X}}(\cdot)$ 是到凸集 $\mathcal{X}$ 的欧几里得投影。如果 $\mathcal{X} = \mathbb{R}^d$，则投影可省略。如果 $r(x)=0$，则近端算子就是恒等映射，算法退化为自适应随机梯度下降。

第三步：算法变体与增强策略

基本的 AdaGrad-Prox 可能在某些非凸问题上遇到“步长过早衰减”导致后期更新停滞的问题。我们可以引入以下策略进行增强：

  1. 引入动量（Momentum）：模仿Adam或带动量的SGD，引入一阶矩估计（梯度移动平均）来平滑更新方向，加速收敛并减少振荡。

    • 初始化一阶矩向量 \(m_0 = 0\)。
    • 更新：\(m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t\)，其中 \(\beta_1 \in [0, 1)\) 是动量衰减因子。
    • 将迭代中的 \(g_t\) 替换为偏差校正后的 \(m_t\)（对于非平稳目标，需要进行偏差校正：\(\hat{m}_t = m_t / (1 - \beta_1^t)\)）。

  2. 使用指数移动平均（RMSProp/Adam风格）：为了避免 \(s_t\) 无限增长导致步长趋于零，可以采用指数衰减的累积平方梯度：

\[s_t = \gamma s_{t-1} + (1 - \gamma) (g_t \odot g_t) \]

其中 $\gamma \in [0, 1)$ 是衰减率（如0.9, 0.99）。这赋予了算法“遗忘”早期历史的能力，使得步长能够适应目标函数局部曲率的变化，更适合非凸优化。
  1. 结合自适应与动量（Adam-Prox）：这就是著名的 Proximal Adam 算法的思想。它同时维护一阶矩 \(m_t\)（梯度均值）和二阶矩 \(v_t\)（梯度平方的指数移动平均，注意这里符号与上文的 \(v_t\) 不同），并计算自适应步长。其更新步骤为：
    a. \(m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1-\beta_1) g_t\)
    b. \(v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1-\beta_2) (g_t \odot g_t)\)
    c. \(\hat{m}_t = m_t / (1-\beta_1^t)\), \(\hat{v}_t = v_t / (1-\beta_2^t)\)
    d. \(x_{t+1} = \text{prox}_{\eta_t r} (x_t - \alpha \cdot \hat{m}_t / (\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon))\)

第四步：算法为何有效——设计原理与优势

  1. 处理非光滑性：

    • 对于结构简单的凸正则项 \(r(x)\)，近端算子 \(\text{prox}\) 提供了精确的、非光滑的更新。与简单的次梯度下降相比，它通常能产生更好的稀疏性（如对于 \(L_1\) 范数）和更快的收敛。
    • 对于 \(f\) 的非光滑性，算法通过使用随机次梯度 \(g_t\) 来处理。自适应机制能帮助平滑掉次梯度方向可能的剧烈波动。

  2. 处理大规模与随机性：

    • 每次迭代只计算单个或一个小批量（mini-batch）样本的梯度，计算和内存成本与维度 \(d\) 呈线性关系，适合大规模问题。
    • 自适应矩阵 \(H_t\) 或 \(v_t\) 是对角矩阵，存储和计算其逆的平方根开销是 \(O(d)\)，依然是可接受的。

  3. 自适应性的优势（针对非凸问题）：

    • 自动步长调整：在非凸问题中，不同参数方向的曲率（变化快慢）差异可能很大。自适应方法为每个参数设置独立的学习率，在平坦方向（梯度小）增大步长以加速前进，在陡峭方向（梯度大）减小步长以防止震荡或发散。这有助于更稳定地穿越非凸函数的复杂地形。
    • 缓解梯度消失/爆炸：对于深度神经网络等非凸函数，梯度可能在某些层非常小或非常大。自适应缩放能部分抵消这种效应，使得训练过程更平稳。
    • 对超参数鲁棒性增强：虽然仍有全局学习率 \(\alpha\) 需要调节，但自适应机制降低了对初始步长选择的敏感性，使得算法在更宽的 \(\alpha\) 范围内能工作。

  4. 动量机制的补充作用：

    • 加速收敛：动量通过保留之前更新的方向成分，在相关方向上产生加速效果，有助于穿越狭窄的谷底或平坦区域。
    • 减少噪声影响：在随机优化中，梯度估计 \(g_t\) 带有噪声。动量的移动平均效应起到了平滑噪声的作用，使得更新方向更接近真实梯度的期望方向，这尤其有利于非凸问题中找到更优的稳定点。

总结：
你设计的这个 自适应随机近端梯度法 通过将 AdaGrad/RMSProp/Adam 等自适应学习率机制与近端算子相结合，为大规模、非凸、非光滑的随机复合优化问题提供了一个强大且实用的解决方案。其核心思想在于：利用历史梯度信息为不同参数维度自适应地调整更新尺度，以应对非凸曲面的不均匀性；利用近端算子精确处理结构化的非光滑项；并可选择性地加入动量来加速和平滑更新过程。虽然理论收敛性分析在非凸非光滑设定下比凸情形更复杂，但这类算法在实际的机器学习、信号处理等高维问题中已被广泛验证其高效性和鲁棒性。算法的具体实现细节（如选择AdaGrad、RMSProp还是Adam变体，是否加动量，超参数 \(\alpha, \beta_1, \beta_2, \epsilon, \gamma\) 的设置）需要根据具体问题通过经验或交叉验证来确定。

非线性规划中的自适应随机梯度法 (Adaptive Stochastic Gradient Method) 进阶题：非凸、非光滑、大规模随机优化问题 题目描述： 考虑以下大规模随机优化问题，其目标函数是数学期望形式的非凸、非光滑（可能带不可微点）函数，且约束条件为确定性的凸集约束： $$ \min_ {x \in \mathcal{X}} \; F(x) = \mathbb{E}_ {\xi \sim \mathcal{D}} [ f(x; \xi) ] + r(x). $$ 其中： $x \in \mathbb{R}^d$ 是决策变量，维度 $d$ 非常大（例如 $d > 10^4$）。 $\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^d$ 是一个闭凸集，例如一个简单的框约束 $\{x | l \le x \le u\}$。 $\xi$ 是一个服从未知分布 $\mathcal{D}$ 的随机向量。我们无法直接计算 $F(x)$ 或其梯度 $\nabla F(x)$，只能通过采样得到一个随机样本 $\xi_ i$，从而获得随机函数值 $f(x; \xi_ i)$ 和其（次）梯度 $G(x; \xi_ i) \in \partial_ x f(x; \xi_ i)$。 $f(\cdot; \xi)$ 对于每个固定的 $\xi$ 是非凸的，并且可能是非光滑的（例如，包含 $L_ 1$ 范数、ReLU激活函数、hinge损失等结构）。其期望 $F(x)$ 同样是整体非凸、非光滑的。 $r(x)$ 是一个已知的、可能非光滑但“结构简单”的凸正则化项（如 $L_ 1$ 范数 $r(x) = \lambda \|x\| 1$），使得其邻近算子 $\text{prox} {\eta r}(v) = \arg\min_ {x} \{ r(x) + \frac{1}{2\eta} \|x - v\|^2 \}$ 易于高效计算。 你的任务是： 设计一个基于自适应随机梯度法（AdaGrad风格）的算法，结合邻近算子（Proximal Operator）来处理非光滑正则项 $r(x)$，并引入动量（Momentum）或自适应步长调整机制，以有效处理这个大规模、非凸、非光滑的随机复合优化问题。详细说明算法的迭代格式、自适应矩阵的更新规则、邻近算子的作用，并解释为何这样的设计有助于在非凸、非光滑的随机场景下实现稳定收敛和良好的性能。 解题过程循序渐进讲解： 第一步：问题分解与算法选择动机 问题特性识别 ： 大规模 (Large-scale) ：$d$ 很大，排除了需要计算或存储完整Hessian矩阵或其精确逆的算法（如标准牛顿法）。 随机性 (Stochastic) ：目标函数是期望形式，只能获取无偏随机（次）梯度 $g_ t = G(x_ t; \xi_ t)$，这决定了我们只能使用基于随机梯度的方法。 非光滑 (Non-smooth) ：$f$ 和 $r$ 都可能导致整体目标 $F(x) + r(x)$ 不可微。对于 $r(x)$，我们可以用邻近算子精确处理；对于 $f$ 的非光滑性，我们利用随机次梯度。 非凸 (Non-convex) ：我们无法保证找到全局最优解，算法设计的目标是找到一个稳定点（Stationary Point），即满足一阶最优性条件的点。 算法框架选择 ： 随机近端梯度法 (Stochastic Proximal Gradient Method) 是处理“光滑（随机近似）+ 简单非光滑”复合问题的自然选择。其基本迭代为： $$x_ {t+1} = \text{prox}_ {\eta_ t r} (x_ t - \eta_ t g_ t)$$ 其中 $g_ t$ 是 $f$ 在 $x_ t$ 处的随机（次）梯度，$\eta_ t$ 是步长。 挑战与改进方向 ：基本随机近端梯度法在非凸、非光滑问题中收敛速度可能很慢，且对步长 $\eta_ t$ 的选择非常敏感。 自适应随机梯度法（如 AdaGrad, RMSProp, Adam） 通过利用历史梯度信息为每个参数分量自适应地调整学习率，在处理稀疏特征、非平稳目标或病态曲率问题时表现优异。因此，我们将自适应学习率机制与随机近端梯度法结合。 第二步：算法核心组件——自适应矩阵与迭代格式 我们设计一个 AdaGrad-Prox 算法（结合了AdaGrad的自适应性和近端算子）。 初始化 ： 选择初始点 $x_ 1 \in \mathcal{X}$。 选择全局步长（或称“基准学习率”）$\alpha > 0$，通常是一个较小的正数（如 0.01）。 选择一个小常数 $\epsilon > 0$（如 $10^{-8}$），用于数值稳定性，防止除以零。 初始化累积梯度平方矩阵 $S_ 0 = 0 \in \mathbb{R}^{d \times d}$（对角矩阵，通常只维护对角向量 $s_ 0 = \mathbf{0}_ d$）。 主循环（对于 $t = 1, 2, ..., T$） ： a. 随机（次）梯度计算 ：采样一个随机样本 $\xi_ t \sim \mathcal{D}$，计算随机（次）梯度 $g_ t \in \partial_ x f(x_ t; \xi_ t)$。如果 $f$ 在某点不可微，则 $g_ t$ 是该点的一个次梯度。 b. 更新累积梯度平方 ：这是自适应性的核心。我们计算梯度各分量的平方，并累积到历史信息中。对于标准的AdaGrad（对角版本）： $$s_ t = s_ {t-1} + g_ t \odot g_ t \quad \text{(逐元素乘法)}$$ 这里 $s_ t$ 是一个向量，其第 $i$ 个分量 $s_ {t,i}$ 累积了参数 $x_ i$ 所有历史梯度的平方和。 c. 计算自适应步长矩阵 ：构造一个对角矩阵 $H_ t$，其对角线元素为 $H_ {t,ii} = \alpha / (\sqrt{s_ {t,i}} + \epsilon)$。这意味着对于历史上梯度变化大的参数方向（对应 $s_ {t,i}$ 大），我们会采用较小的步长；对于变化小的方向，采用较大的步长。这起到了自动缩放学习率的作用。 d. 自适应随机梯度更新（临近步） ：计算“中间点”： $$v_ t = x_ t - H_ t g_ t$$ 注意，这里 $H_ t g_ t$ 是逐元素相乘，即 $(H_ t g_ t) i = (\alpha / (\sqrt{s {t,i}} + \epsilon)) \cdot g_ {t,i}$。这等价于用不同的步长更新每个参数分量。 e. 近端映射（处理非光滑项和投影） ：对中间点 $v_ t$ 应用 $r(x)$ 的近端算子和到集合 $\mathcal{X}$ 的投影（如果 $\mathcal{X}$ 不是全空间）： $$x_ {t+1} = \text{proj} {\mathcal{X}} \left( \text{prox} {\eta_ t r} (v_ t) \right)$$ 其中 $\eta_ t$ 是近端步长。在标准自适应算法中，通常令 $\eta_ t = 1$，因为自适应矩阵 $H_ t$ 已经包含了步长信息，且其对角线元素通常很小。$\text{proj}_ {\mathcal{X}}(\cdot)$ 是到凸集 $\mathcal{X}$ 的欧几里得投影。如果 $\mathcal{X} = \mathbb{R}^d$，则投影可省略。如果 $r(x)=0$，则近端算子就是恒等映射，算法退化为自适应随机梯度下降。 第三步：算法变体与增强策略 基本的 AdaGrad-Prox 可能在某些非凸问题上遇到“步长过早衰减”导致后期更新停滞的问题。我们可以引入以下策略进行增强： 引入动量（Momentum） ：模仿Adam或带动量的SGD，引入一阶矩估计（梯度移动平均）来平滑更新方向，加速收敛并减少振荡。 初始化一阶矩向量 $m_ 0 = 0$。 更新：$m_ t = \beta_ 1 m_ {t-1} + (1 - \beta_ 1) g_ t$，其中 $\beta_ 1 \in [ 0, 1)$ 是动量衰减因子。 将迭代中的 $g_ t$ 替换为偏差校正后的 $m_ t$（对于非平稳目标，需要进行偏差校正：$\hat{m}_ t = m_ t / (1 - \beta_ 1^t)$）。 使用指数移动平均（RMSProp/Adam风格） ：为了避免 $s_ t$ 无限增长导致步长趋于零，可以采用指数衰减的累积平方梯度： $$s_ t = \gamma s_ {t-1} + (1 - \gamma) (g_ t \odot g_ t)$$ 其中 $\gamma \in [ 0, 1)$ 是衰减率（如0.9, 0.99）。这赋予了算法“遗忘”早期历史的能力，使得步长能够适应目标函数局部曲率的变化，更适合非凸优化。 结合自适应与动量（Adam-Prox） ：这就是著名的 Proximal Adam 算法的思想。它同时维护一阶矩 $m_ t$（梯度均值）和二阶矩 $v_ t$（梯度平方的指数移动平均，注意这里符号与上文的 $v_ t$ 不同），并计算自适应步长。其更新步骤为： a. $m_ t = \beta_ 1 m_ {t-1} + (1-\beta_ 1) g_ t$ b. $v_ t = \beta_ 2 v_ {t-1} + (1-\beta_ 2) (g_ t \odot g_ t)$ c. $\hat{m} t = m_ t / (1-\beta_ 1^t)$, $\hat{v} t = v_ t / (1-\beta_ 2^t)$ d. $x {t+1} = \text{prox} {\eta_ t r} (x_ t - \alpha \cdot \hat{m}_ t / (\sqrt{\hat{v}_ t} + \epsilon))$ 第四步：算法为何有效——设计原理与优势 处理非光滑性 ： 对于结构简单的凸正则项 $r(x)$，近端算子 $\text{prox}$ 提供了 精确的、非光滑的更新 。与简单的次梯度下降相比，它通常能产生更好的稀疏性（如对于 $L_ 1$ 范数）和更快的收敛。 对于 $f$ 的非光滑性，算法通过使用随机次梯度 $g_ t$ 来处理。自适应机制能帮助平滑掉次梯度方向可能的剧烈波动。 处理大规模与随机性 ： 每次迭代只计算单个或一个小批量（mini-batch）样本的梯度，计算和内存成本与维度 $d$ 呈线性关系，适合大规模问题。 自适应矩阵 $H_ t$ 或 $v_ t$ 是对角矩阵，存储和计算其逆的平方根开销是 $O(d)$，依然是可接受的。 自适应性的优势（针对非凸问题） ： 自动步长调整 ：在非凸问题中，不同参数方向的曲率（变化快慢）差异可能很大。自适应方法为每个参数设置独立的学习率，在平坦方向（梯度小）增大步长以加速前进，在陡峭方向（梯度大）减小步长以防止震荡或发散。这有助于更稳定地穿越非凸函数的复杂地形。 缓解梯度消失/爆炸 ：对于深度神经网络等非凸函数，梯度可能在某些层非常小或非常大。自适应缩放能部分抵消这种效应，使得训练过程更平稳。 对超参数鲁棒性增强 ：虽然仍有全局学习率 $\alpha$ 需要调节，但自适应机制降低了对初始步长选择的敏感性，使得算法在更宽的 $\alpha$ 范围内能工作。 动量机制的补充作用 ： 加速收敛 ：动量通过保留之前更新的方向成分，在相关方向上产生加速效果，有助于穿越狭窄的谷底或平坦区域。 减少噪声影响 ：在随机优化中，梯度估计 $g_ t$ 带有噪声。动量的移动平均效应起到了平滑噪声的作用，使得更新方向更接近真实梯度的期望方向，这尤其有利于非凸问题中找到更优的稳定点。 总结 ： 你设计的这个 自适应随机近端梯度法 通过将 AdaGrad/RMSProp/Adam 等自适应学习率机制与近端算子相结合，为大规模、非凸、非光滑的随机复合优化问题提供了一个强大且实用的解决方案。其核心思想在于：利用历史梯度信息为不同参数维度 自适应地调整更新尺度 ，以应对非凸曲面的不均匀性；利用 近端算子 精确处理结构化的非光滑项；并可选择性地加入 动量 来加速和平滑更新过程。虽然理论收敛性分析在非凸非光滑设定下比凸情形更复杂，但这类算法在实际的机器学习、信号处理等高维问题中已被广泛验证其高效性和鲁棒性。算法的具体实现细节（如选择AdaGrad、RMSProp还是Adam变体，是否加动量，超参数 $\alpha, \beta_ 1, \beta_ 2, \epsilon, \gamma$ 的设置）需要根据具体问题通过经验或交叉验证来确定。