自适应高斯-克朗罗德求积法在带端点对数奇异性的振荡衰减函数积分中的混合正则化策略
题目描述
考虑计算如下形式的积分：
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \]
其中被积函数 \(f(x)\) 在积分区间 \([-1, 1]\) 内，同时具有以下两种特性：
- 端点对数奇异性：当 \(x \to \pm1\) 时，函数呈现对数型发散，例如 \(f(x)\) 包含因子 \(\log(1-x)\) 或 \(\log(1+x)\)。
- 振荡衰减行为：在区间内部，函数呈现快速振荡（如 \(\cos(\omega x)\) 或 \(\sin(\omega x)\)），且振幅可能随 \(|x|\) 增大而缓慢衰减。
直接应用标准的高斯-勒让德或高斯-切比雪夫求积公式会因为端点奇异性而导致收敛缓慢甚至失效；而处理振荡的 Levin 型或 Filon 型方法通常假设函数光滑，不直接处理奇异性。本题要求：设计一种混合策略，结合自适应高斯-克朗罗德求积法与特定的正则化变换，高效且准确地计算此类积分。
解题过程
步骤一：问题分析与挑战分解
- 奇异性分析：对数奇异性 \(\log(1 \pm x)\) 在端点 \(x = \pm1\) 处是弱奇异性（积分值有限，但被积函数无界）。标准多项式求积公式（如 Gauss-Legendre）在奇异性附近精度会急剧下降，因为多项式难以逼近对数发散行为。
- 振荡性分析：振荡频率 \(\omega\) 可能很大。对于高频振荡，需要在每个振荡周期内布置足够多的采样点，否则会因欠采样导致严重的误差（类似 Nyquist 定理）。自适应高斯-克朗罗德求积法能通过递归细分在振荡剧烈区域加密节点，但若同时存在奇异性，单纯的细分在端点附近效率依然低下。
- 核心思路：首先通过变量变换消除或弱化端点奇异性，将原积分转化为一个在新变量下相对光滑（或至少奇异性减轻）但依然振荡的积分。然后，对变换后的积分应用自适应高斯-克朗罗德求积法，利用其嵌入的误差估计来自动适应振荡行为。
步骤二：设计针对对数奇异性的正则化变换
目标是将端点奇异性“吸收”到变换的雅可比行列式中，使新被积函数在端点处有界甚至趋于零。
一个经典且有效的变换是 代数-对数混合变换。对于形如 \(\int_{-1}^{1} g(x) \log(1-x) \, dx\) 的奇异性（在 \(x=1\) 处），可以令：
\[t = (1-x)^{\alpha}, \quad \alpha > 0 \]
更一般地，针对两个端点可能都有对数奇异性的情况，可以采用对称变换。设原积分为：
\[I = \int_{-1}^{1} w(x) \log(1-x) \log(1+x) \cdot h(x) \, dx \]
其中 \(h(x)\) 是振荡衰减部分。考虑变换：
\[x = \cos(\theta), \quad \theta \in [0, \pi] \]
则：
\[dx = -\sin\theta \, d\theta, \quad 1-x = 2\sin^2(\frac{\theta}{2}), \quad 1+x = 2\cos^2(\frac{\theta}{2}) \]
代入后：
\[\log(1-x) = \log 2 + 2\log(\sin(\frac{\theta}{2})) \]
\[ \log(1+x) = \log 2 + 2\log(\cos(\frac{\theta}{2})) \]
于是积分变为：
\[I = \int_{0}^{\pi} w(\cos\theta) \left[ \log 2 + 2\log(\sin(\frac{\theta}{2})) \right] \left[ \log 2 + 2\log(\cos(\frac{\theta}{2})) \right] \cdot h(\cos\theta) \cdot (-\sin\theta) \, d\theta \]
关键点：当 \(\theta \to 0^+\) 时，\(\sin(\theta/2) \sim \theta/2\)，因此 \(\log(\sin(\theta/2))\) 具有对数奇异性；当 \(\theta \to \pi^-\) 时，\(\cos(\theta/2)\) 趋于零，也有对数奇异性。但是，三角函数恒等式可以简化：乘积 \(\sin\theta \, \log(\sin(\theta/2)) \log(\cos(\theta/2))\) 在端点处的行为是 \(O(\theta \log \theta)\) 和 \(O((\pi-\theta) \log (\pi-\theta))\)，这比原始对数奇异性（在端点处无界）要弱得多。实际上，通过进一步分解或利用三角恒等式，可以证明变换后的被积函数在端点处是 有界 的。
简化策略：对于常见的单边对数奇异性，一个更直接的实用变换是：
\[x = 1 - \exp(-t), \quad t \in [0, \infty) \quad \text{用于处理} \quad x=1 \text{处的奇点} \]
此时 \(\log(1-x) = -t\)，奇异性被精确消去。但会引入半无限区间。若振荡函数在无穷远处衰减足够快（例如带指数衰减），则可截断处理或结合高斯-拉盖尔求积。但为保持有限区间，更常用的是 多项式变量替换，如：
\[x = \cos(\theta) \]
结合对振荡部分 \(h(\cos\theta)\) 的分析。
步骤三：变换后积分的振荡处理与自适应策略
经过步骤二的变换（以 \(x=\cos\theta\) 为例），我们得到在新变量 \(\theta\) 区间 \([0, \pi]\) 上的积分：
\[I = \int_{0}^{\pi} F(\theta) \, d\theta \]
其中 \(F(\theta)\) 由原函数和变换的雅可比行列式构成。\(F(\theta)\) 在端点有界，但在区间内部可能因 \(h(\cos\theta)\) 而快速振荡。
此时，自适应高斯-克朗罗德求积法 成为理想的求解工具：
- 方法选择：高斯-克朗罗德公式（如 G7-K15）在一个子区间上同时提供低阶（7点高斯）和高阶（15点克朗罗德）的积分估计，两者之差可作为误差估计。
- 自适应过程：
- 从整个区间 \([0, \pi]\) 开始。
- 在当前子区间上计算高斯估计 \(G\) 和克朗罗德估计 \(K\)。
- 若 \(|K-G| \leq \varepsilon \cdot (b-a) / (\pi - 0)\)，其中 \(\varepsilon\) 为用户指定的全局误差容限，则认为该区间满足精度，接受 \(K\) 作为积分值。
- 否则，将区间对半分割，递归地对两个子区间重复上述过程。
- 优势：
- 自动加密：在 \(F(\theta)\) 振荡剧烈的区域（即 \(h(\cos\theta)\) 变化快的区域），误差估计会较大，从而触发细分，在局部布置更多节点以捕捉振荡。
- 高效性：在 \(F(\theta)\) 变化平缓的区域，会使用较少的节点。
- 可靠性：嵌套的误差估计提供了计算精度的定量控制。
步骤四：算法流程总结
- 输入：函数 \(f(x)\)，积分区间 \([-1,1]\)，全局误差容限 \(\varepsilon\)。
- 正则化变换：根据 \(f(x)\) 中对数奇异性的具体形式（如 \(\log(1-x)\)、\(\log(1+x)\) 或两者乘积），选择并应用变量变换（例如 \(x = \cos\theta\)）。推导出变换后的被积函数 \(F(\theta)\) 和积分区间 \([a_\theta, b_\theta]\)（如 \([0, \pi]\)）。
- 自适应积分：在 \(\theta\)-区间上调用自适应高斯-克朗罗德求积例程。
- 使用 (G7, K15) 等嵌入公式对。
- 基于局部误差估计进行递归区间二分。
- 累加满足精度的子区间的积分值。
- 输出：积分近似值 \(I \approx \sum \text{(子区间积分值)}\)，以及可能的总区间数或函数调用次数作为效率指标。
步骤五：误差与注意事项
- 正则化误差：变量变换本身是精确的数学恒等变形，在数值实现时（如计算 \(\log(\sin(\theta/2))\) 在 \(\theta\) 很小时）需注意避免数值下溢或精度损失（使用数学库的特殊函数或渐近展开）。
- 自适应控制误差：最终的精度由自适应过程的误差容限 \(\varepsilon\) 控制。注意 \(\varepsilon\) 是全局绝对误差或相对误差的近似控制，实际误差通常与 \(\varepsilon\) 同量级。
- 振荡频率影响：对于极高频率 \(\omega\)，即使经过正则化，自适应细分也可能产生大量小区间，导致计算成本上升。此时，可考虑在变换后的积分中，对振荡部分 \(h(\cos\theta)\) 采用 Filon 型方法 或 Levin 型方法 的思想进行进一步处理，但本题设计的混合策略以通用性和自动化优先。
- 验证：对于简单的测试函数（如 \(f(x) = \log(1-x) \cdot \cos(50x)\)），可与高精度数值积分或已知解析解（如果存在）进行比较，验证算法的精度和效率。
通过这种 正则化变换 + 自适应高斯-克朗罗德求积 的混合策略，我们有效地将具有端点对数奇异性的振荡衰减函数积分，转化为一个更易处理的数值问题，在保证精度的同时，借助自适应机制高效处理振荡行为。