鸡蛋掉落（Egg Dropping）问题的最小尝试次数
字数 2308 2025-12-20 11:34:23

鸡蛋掉落（Egg Dropping）问题的最小尝试次数

题目描述
你手中有 k 枚相同的鸡蛋，并面临一座从第 1 层到第 n 层的高楼。已知存在一个楼层 F（0 ≤ F ≤ n），从低于或等于 F 的楼层扔下鸡蛋，鸡蛋不会破碎；从高于 F 的楼层扔下鸡蛋，鸡蛋会破碎。
每次操作，你可以选择一层楼将一枚鸡蛋扔下去：

  • 如果鸡蛋没碎，你可以继续使用这枚鸡蛋（鸡蛋的耐用性不变）；
  • 如果鸡蛋碎了，你就失去了这枚鸡蛋。

你的目标是无论 F 是多少，都要通过实验确定 F 的确切值。你需要计算的是：在最坏情况下，至少要扔多少次鸡蛋，才能保证找到 F。

简单来说，就是求最坏情况下的最小尝试次数。

  • 输入：k 个鸡蛋，n 层楼。
  • 输出：最小尝试次数。

解题过程

这是一个经典的动态规划问题，我们需要在“最坏情况”和“最少尝试”之间找到平衡。

1. 状态定义
定义 dp[i][j] 表示：有 i 枚鸡蛋，最多允许尝试 j 次，在最坏情况下能确定 F 的最大楼层数。

为什么这么定义？

  • 直接问“i 个鸡蛋，n 层楼，最少尝试次数”也可以，但转移时会更复杂。
  • 而“i 个鸡蛋，j 次尝试，能解决的最大楼层数”更容易用子问题推导。
    最终答案是：最小的 j，使得 dp[k][j] ≥ n。

2. 基础情况

  • 如果鸡蛋只有 1 枚（i = 1）：一次只能从第 1 层开始逐层往上试，否则如果碎了就没鸡蛋了，无法继续。所以 dp[1][j] = j（尝试 j 次最多能确定 j 层）。
  • 如果次数只有 1 次（j = 1）：只能扔一次，如果碎了就知道 F=0，没碎就知道 F ≥ 1，但无法确定是 1 还是更高，所以最多确定 1 层。
    即 dp[i][1] = 1（i ≥ 1）。
  • 没有鸡蛋（i = 0）时无法测试，dp[0][j] = 0。

3. 状态转移
假设现在有 i 个鸡蛋，允许 j 次尝试。我们从某一层 x 扔一次鸡蛋：

(1) 鸡蛋碎了
说明 F 在 x 层下面（0 ~ x-1 层）。
损失一枚鸡蛋，剩下 i-1 个鸡蛋，剩下可尝试次数 j-1 次。
这能确定的楼层数为：dp[i-1][j-1]。

(2) 鸡蛋没碎
说明 F 在 x 层及以上（x ~ 最高层）。
鸡蛋数量不变（i 个），剩下可尝试次数 j-1 次。
这能确定的楼层数为：dp[i][j-1]。

为什么是“以上”的部分也能确定？
因为我们可以继续在上面的楼层中继续尝试，而我们已经知道 x 层是安全的，所以上面的楼层相当于一个新的子问题，但总尝试次数减少 1。

(3) 合并
这一次尝试（在楼层 x）让我们能确定的总楼层数为：

  • 下面的部分：dp[i-1][j-1] 层（确定楼层区间下界）。
  • 上面的部分：dp[i][j-1] 层（确定楼层区间上界）。
  • 加上 x 本身这一层，但注意，x 层包含在上面的部分吗？不，更严谨地看：
    如果碎了，我们要确定的是下面的 dp[i-1][j-1] 层（从 1 到该数值）。
    如果没碎，我们要确定的是上面的 dp[i][j-1] 层（从 x+1 往上数这么多层）。
    而 x 本身是这次扔的层，无论碎没碎，结果都已经通过这次尝试得到信息。

实际上，更简单的理解是：
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 + dp[i][j-1]

  • 加的这个 1 就是当前测试的楼层 x。
  • 为什么是相加？因为如果没碎，我们就在上面的楼层中继续测试，能再覆盖 dp[i][j-1] 层；
    如果碎了，我们就在下面的楼层中测试，能覆盖 dp[i-1][j-1] 层。
    最坏情况下，我们取两者之和，就能保证无论结果如何，总的楼层覆盖范围是这两个部分加当前层。

4. 递推填表
我们按 j 从小到大的顺序计算 dp[i][j]，直到 dp[k][j] ≥ n。

边界：dp[1][j] = j，dp[i][1] = 1。

例子：k=2, n=6

初始化：
j=1: dp[2][1] = 1, dp[1][1] = 1
j=2:
dp[2][2] = dp[1][1] + 1 + dp[2][1] = 1 + 1 + 1 = 3
dp[1][2] = 2
j=3:
dp[2][3] = dp[1][2] + 1 + dp[2][2] = 2 + 1 + 3 = 6
此时 dp[2][3] = 6 ≥ 6，所以最少需要 3 次。

5. 答案
答案就是最小的 j 使得 dp[k][j] ≥ n。

时间复杂度
状态数 O(k * m)，m 是答案尝试次数，m ≤ n 且通常远小于 n。
在 k 较大时，m ≈ O(log n)（当 k ≥ log n 时可用二分策略），但动态规划方法在 k 较小时是常用解法。

空间优化
因为 dp[i][j] 只依赖于 dp[i-1][j-1] 和 dp[i][j-1]，可以用一维数组（按鸡蛋维度倒序更新）优化空间到 O(k)。

6. 边界和细节

  • 当 k=0 时无法测试，但题目一般 k ≥ 1。
  • 当 n=0 时无需测试，答案为 0。
  • 当 k 很大（≥ log₂(n+1)）时，可以用二分查找，尝试次数是 ceil(log₂(n+1))，此时 dp 方法会更快收敛。
鸡蛋掉落（Egg Dropping）问题的最小尝试次数 题目描述 你手中有 k 枚相同的鸡蛋，并面临一座从第 1 层到第 n 层的高楼。已知存在一个楼层 F （ 0 ≤ F ≤ n ），从低于或等于 F 的楼层扔下鸡蛋，鸡蛋不会破碎；从高于 F 的楼层扔下鸡蛋，鸡蛋会破碎。 每次操作，你可以选择一层楼将一枚鸡蛋扔下去： 如果鸡蛋没碎，你可以继续使用这枚鸡蛋（鸡蛋的耐用性不变）； 如果鸡蛋碎了，你就失去了这枚鸡蛋。 你的目标是 无论 F 是多少 ，都要通过实验 确定 F 的确切值 。你需要计算的是：在最坏情况下， 至少要扔多少次鸡蛋 ，才能保证找到 F 。 简单来说，就是求最坏情况下的最小尝试次数。 输入： k 个鸡蛋， n 层楼。 输出：最小尝试次数。 解题过程 这是一个经典的动态规划问题，我们需要在“最坏情况”和“最少尝试”之间找到平衡。 1. 状态定义 定义 dp[i][j] 表示：有 i 枚鸡蛋，最多允许尝试 j 次，在 最坏情况下能确定 F 的最大楼层数 。 为什么这么定义？ 直接问“i 个鸡蛋，n 层楼，最少尝试次数”也可以，但转移时会更复杂。 而“i 个鸡蛋，j 次尝试，能解决的最大楼层数”更容易用子问题推导。 最终答案是：最小的 j ，使得 dp[k][j] ≥ n 。 2. 基础情况 如果鸡蛋只有 1 枚（ i = 1 ）：一次只能从第 1 层开始逐层往上试，否则如果碎了就没鸡蛋了，无法继续。所以 dp[1][j] = j （尝试 j 次最多能确定 j 层）。 如果次数只有 1 次（ j = 1 ）：只能扔一次，如果碎了就知道 F=0，没碎就知道 F ≥ 1，但无法确定是 1 还是更高，所以最多确定 1 层。 即 dp[i][1] = 1 （i ≥ 1）。 没有鸡蛋（ i = 0 ）时无法测试， dp[0][j] = 0 。 3. 状态转移 假设现在有 i 个鸡蛋，允许 j 次尝试。我们从某一层 x 扔一次鸡蛋： (1) 鸡蛋碎了 说明 F 在 x 层下面（ 0 ~ x-1 层）。 损失一枚鸡蛋，剩下 i-1 个鸡蛋，剩下可尝试次数 j-1 次。 这能确定的楼层数为： dp[i-1][j-1] 。 (2) 鸡蛋没碎 说明 F 在 x 层及以上（ x ~ 最高层 ）。 鸡蛋数量不变（ i 个），剩下可尝试次数 j-1 次。 这能确定的楼层数为： dp[i][j-1] 。 为什么是“以上”的部分也能确定？ 因为我们可以继续在上面的楼层中继续尝试，而我们已经知道 x 层是安全的，所以上面的楼层相当于一个新的子问题，但总尝试次数减少 1。 (3) 合并 这一次尝试（在楼层 x ）让我们能确定的 总楼层数 为： 下面的部分： dp[i-1][j-1] 层（确定楼层区间下界）。 上面的部分： dp[i][j-1] 层（确定楼层区间上界）。 加上 x 本身这一层，但注意， x 层包含在上面的部分吗？不，更严谨地看： 如果碎了，我们要确定的是下面的 dp[i-1][j-1] 层（从 1 到该数值）。 如果没碎，我们要确定的是上面的 dp[i][j-1] 层（从 x+1 往上数这么多层）。 而 x 本身是这次扔的层，无论碎没碎，结果都已经通过这次尝试得到信息。 实际上，更简单的理解是： dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 + dp[i][j-1] 加的这个 1 就是当前测试的楼层 x 。 为什么是相加？因为如果没碎，我们就在上面的楼层中继续测试，能再覆盖 dp[i][j-1] 层； 如果碎了，我们就在下面的楼层中测试，能覆盖 dp[i-1][j-1] 层。 最坏情况下，我们取两者之和，就能保证无论结果如何，总的楼层覆盖范围是这两个部分加当前层。 4. 递推填表 我们按 j 从小到大的顺序计算 dp[i][j] ，直到 dp[k][j] ≥ n 。 边界： dp[1][j] = j ， dp[i][1] = 1 。 例子：k=2, n=6 初始化： j=1: dp[ 2][ 1] = 1, dp[ 1][ 1 ] = 1 j=2: dp[ 2][ 2] = dp[ 1][ 1] + 1 + dp[ 2][ 1 ] = 1 + 1 + 1 = 3 dp[ 1][ 2 ] = 2 j=3: dp[ 2][ 3] = dp[ 1][ 2] + 1 + dp[ 2][ 2 ] = 2 + 1 + 3 = 6 此时 dp[ 2][ 3 ] = 6 ≥ 6，所以最少需要 3 次。 5. 答案 答案就是最小的 j 使得 dp[k][j] ≥ n 。 时间复杂度 状态数 O(k * m)，m 是答案尝试次数，m ≤ n 且通常远小于 n。 在 k 较大时，m ≈ O(log n)（当 k ≥ log n 时可用二分策略），但动态规划方法在 k 较小时是常用解法。 空间优化 因为 dp[ i][ j] 只依赖于 dp[ i-1][ j-1] 和 dp[ i][ j-1 ]，可以用一维数组（按鸡蛋维度倒序更新）优化空间到 O(k)。 6. 边界和细节 当 k=0 时无法测试，但题目一般 k ≥ 1。 当 n=0 时无需测试，答案为 0。 当 k 很大（≥ log₂(n+1)）时，可以用二分查找，尝试次数是 ceil(log₂(n+1))，此时 dp 方法会更快收敛。