基于线性规划的图边连通性增广问题的整数规划建模、线性规划松弛与启发式舍入算法求解示例
字数 3867 2025-12-20 11:17:21

基于线性规划的图边连通性增广问题的整数规划建模、线性规划松弛与启发式舍入算法求解示例

题目描述

给定一个无向连通图 \(G=(V,E)\)\)，每条边 \(e \in E\) 有一个非负的建造成本 \(c_e\)。现在，我们希望对图进行增广（即增加一些边），使得图变为 \(k\)-边连通（即任意两个顶点之间至少有 \(k\) 条边不相交的路径，等价于去掉任意 \(k-1\) 条边后图仍然连通）。目标是选择总成本最小的一组边加入，使得增广后的图是 \(k\)-边连通的。

这是一个经典的网络设计问题，称为边连通性增广问题（Edge Connectivity Augmentation Problem）。当 \(k=2\) 时，就是使图变为 2-边连通（即边双连通）。这个问题是 NP-难 的。我们将通过整数规划建模，然后对其线性规划松弛进行求解，并设计一个启发式舍入算法来获得近似可行解。

解题过程

步骤1：整数规划建模

设原图 \(G\) 的边集为 \(E_0\)，我们需要决策加入哪些边。由于是增广问题，可加入的边是候选边集 \(A\)（通常是所有可能添加的边，例如完全图的边集减去 \(E_0\)）。设二元决策变量 \(x_e\) 表示边 \(e \in A\) 是否被选中（1表示选中，0表示不选）。

目标：最小化总成本

\[\min \sum_{e \in A} c_e x_e \]

约束：对于任意顶点子集 \(\emptyset \subset S \subset V\)，设 \(\delta(S)\) 表示两端分别在 \(S\) 和 \(V\setminus S\) 中的边的集合。原图 \(G\) 在 \(S\) 和 \(V\setminus S\) 之间已有的边数为 \(|\delta_{E_0}(S)|\)。为了使图变成 \(k\)-边连通，对于任意非空真子集 \(S\)，需要满足：

\[|\delta_{E_0}(S)| + \sum_{e \in \delta_A(S)} x_e \ge k \]

其中 \(\delta_A(S)\) 表示候选边集 \(A\) 中跨越割 \((S, V\setminus S)\) 的边。这个不等式的含义是：割 \((S, V\setminus S)\) 的总边数（原图的边加上新选的边）至少为 \(k\)。

综上，整数规划模型为：

\[\begin{aligned} \min\quad & \sum_{e \in A} c_e x_e \\ \text{s.t.}\quad & \sum_{e \in \delta_A(S)} x_e \ge k - |\delta_{E_0}(S)|, \quad \forall \emptyset \subset S \subset V, \\ & x_e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in A. \end{aligned} \]

注意：如果 \(k - |\delta_{E_0}(S)| \le 0\)，则该约束自然满足，但为统一起见仍可写出。

步骤2：线性规划松弛

将整数约束松弛为连续约束：

\[0 \le x_e \le 1, \quad \forall e \in A. \]

注意，\(x_e \le 1\) 是多余的，因为目标最小化且成本非负，最优解自动满足 \(x_e \le 1\)。因此线性规划松弛为：

\[\begin{aligned} \min\quad & \sum_{e \in A} c_e x_e \\ \text{s.t.}\quad & \sum_{e \in \delta_A(S)} x_e \ge k - |\delta_{E_0}(S)|, \quad \forall \emptyset \subset S \subset V, \\ & x_e \ge 0, \quad \forall e \in A. \end{aligned} \]

这个线性规划有指数级个约束（对应所有割），但可以通过分离问题在多项式时间内求解：给定一个解 \(x^*\)，要检查是否存在割 \(S\) 使得约束被违反，即判断是否存在 \(S\) 满足：

\[\sum_{e \in \delta_A(S)} x^*_e < k - |\delta_{E_0}(S)|. \]

这等价于检查是否存在 \(S\) 使得：

\[|\delta_{E_0}(S)| + \sum_{e \in \delta_A(S)} x^*_e < k. \]

定义每条边 \(e\) 的“容量”：原图的边容量为 1，候选边 \(e \in A\) 的容量为 \(x^*_e\)。那么左边就是割 \((S, V\setminus S)\) 的总容量。因此，检查是否存在违反的约束等价于检查图的最小割容量是否小于 \(k\)。这可以用最大流算法在多项式时间内完成。因此，我们可以用椭球法或内点法结合最小割分离器来求解这个线性规划。

步骤3：求解线性规划松弛并得到分数最优解

假设我们已用上述方法求解线性规划松弛，得到最优解 \(x^*_e \in [0,1]\)，最优目标值为 \(OPT_{LP}\)。显然 \(OPT_{LP} \le OPT_{IP}\)，其中 \(OPT_{IP}\) 是原整数规划的最优值。

步骤4：启发式舍入算法设计

我们采用一种基于阈值舍入的启发式方法：

  1. 设 \(t = \lceil \log_2 |V| \rceil\) 或根据经验取一个常数倍数（例如 2 或 3）。
  2. 重复以下过程 \(t\) 轮：
    • 在第 \(i\) 轮，随机生成一个阈值 \(\theta_i\)，均匀选自区间 \([0,1]\)。
    • 对于每条边 \(e \in A\)，如果 \(x^*_e \ge \theta_i\)，则在当前轮中选中该边。
    • 将当前轮选中的所有边加入解集 \(F_i\)。
  3. 最终解为所有轮选中边的并集：\(F = \bigcup_{i=1}^t F_i\)。

直观解释：分数解 \(x^*_e\) 可视为边 \(e\) 被选中的概率。通过多轮独立抽样，每条边被选中的概率增加。同时，对于任意一个割 \(S\)，其候选边被选中的期望数量增加，从而更可能满足 \(k\)-边连通性要求。

步骤5：可行性验证与后处理

得到边集 \(F\) 后，检查图 \(G'=(V, E_0 \cup F)\) 是否满足 \(k\)-边连通性。如果不满足，可以再添加一些边直到满足（例如贪心地添加当前最不满足的割中成本最小的边）。但这样做可能破坏近似比。为了理论保证，可以采用更复杂的随机舍入策略（如利用 Chernoff 界证明以高概率满足约束），但在实际启发式中，通常用简单舍入加后处理。

步骤6：算法总结

  1. 建立边连通性增广问题的整数规划模型。
  2. 将其松弛为线性规划，并利用最小割分离器求解，得到分数最优解 \(x^*\)。
  3. 进行多轮随机阈值舍入，得到候选边集 \(F\)。
  4. 验证并后处理，确保 \(k\)-边连通性。
  5. 输出增广边集 \(F\) 及其总成本。

举例说明

设原图 \(G\) 是一个 4 个顶点的环：\(V=\{1,2,3,4\}\)，\(E_0=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)\}\)，原图为 2-边连通。现在要增广为 3-边连通（即 \(k=3\)）。候选边集 \(A\) 为缺失的两条边：\((1,3)\) 和 \((2,4)\)，成本均为 1。

整数规划模型：
设 \(x_{13}, x_{24}\) 为决策变量。
割 \(S=\{1,2\}\)，原割边数 \(|\delta_{E_0}(S)|=2\)，需要：\(x_{13} + x_{24} \ge 3-2=1\)。
同理，对所有 7 个非空真子集列出类似约束。
最优解显然是 \(x_{13}=1, x_{24}=1\)，总成本 2。

线性规划松弛：
相同约束，但 \(x_e \in [0,1]\)。
最优解可能为分数，例如 \(x_{13}=0.5, x_{24}=0.5\) 满足所有割约束，因为对任意割，原割边数至少为 2，加上两个候选边各 0.5，总至少为 3。但目标值为 1，小于整数最优值 2。

舍入：
设 \(t=2\) 轮。
第一轮 \(\theta_1=0.3\)，则 \(x_{13} \ge 0.3\) 且 \(x_{24} \ge 0.3\)，两条边都选中。
第二轮 \(\theta_2=0.8\)，则 \(x_{13}<0.8\) 且 \(x_{24}<0.8\)，都不选中。
最终 \(F=\{(1,3),(2,4)\}\)，成本 2，即为最优解。

这个简单例子中舍入直接得到最优解。实际更大规模问题中，这种启发式舍入通常能得到不错的可行解。

总结

本题展示了如何用整数规划建模边连通性增广问题，通过线性规划松弛得到下界，并设计随机舍入启发式算法获得可行解。这种方法在网络设计、容错网络构建中有广泛应用。

基于线性规划的图边连通性增广问题的整数规划建模、线性规划松弛与启发式舍入算法求解示例 题目描述 给定一个无向连通图 \(G=(V,E)\)\)，每条边 \(e \in E\) 有一个非负的建造成本 \(c_ e\)。现在，我们希望对图进行增广（即增加一些边），使得图变为 \(k\)-边连通（即任意两个顶点之间至少有 \(k\) 条边不相交的路径，等价于去掉任意 \(k-1\) 条边后图仍然连通）。目标是选择总成本最小的一组边加入，使得增广后的图是 \(k\)-边连通的。 这是一个经典的 网络设计 问题，称为 边连通性增广问题 （Edge Connectivity Augmentation Problem）。当 \(k=2\) 时，就是使图变为 2-边连通（即边双连通）。这个问题是 NP-难 的。我们将通过 整数规划 建模，然后对其 线性规划松弛 进行求解，并设计一个 启发式舍入算法 来获得近似可行解。 解题过程 步骤1：整数规划建模 设原图 \(G\) 的边集为 \(E_ 0\)，我们需要决策加入哪些边。由于是增广问题，可加入的边是候选边集 \(A\)（通常是所有可能添加的边，例如完全图的边集减去 \(E_ 0\)）。设二元决策变量 \(x_ e\) 表示边 \(e \in A\) 是否被选中（1表示选中，0表示不选）。 目标 ：最小化总成本 \[ \min \sum_ {e \in A} c_ e x_ e \] 约束 ：对于任意顶点子集 \(\emptyset \subset S \subset V\)，设 \(\delta(S)\) 表示两端分别在 \(S\) 和 \(V\setminus S\) 中的边的集合。原图 \(G\) 在 \(S\) 和 \(V\setminus S\) 之间已有的边数为 \(|\delta_ {E_ 0}(S)|\)。为了使图变成 \(k\)-边连通，对于任意非空真子集 \(S\)，需要满足： \[ |\delta_ {E_ 0}(S)| + \sum_ {e \in \delta_ A(S)} x_ e \ge k \] 其中 \(\delta_ A(S)\) 表示候选边集 \(A\) 中跨越割 \((S, V\setminus S)\) 的边。这个不等式的含义是：割 \((S, V\setminus S)\) 的总边数（原图的边加上新选的边）至少为 \(k\)。 综上，整数规划模型为： \[ \begin{aligned} \min\quad & \sum_ {e \in A} c_ e x_ e \\ \text{s.t.}\quad & \sum_ {e \in \delta_ A(S)} x_ e \ge k - |\delta_ {E_ 0}(S)|, \quad \forall \emptyset \subset S \subset V, \\ & x_ e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in A. \end{aligned} \] 注意：如果 \(k - |\delta_ {E_ 0}(S)| \le 0\)，则该约束自然满足，但为统一起见仍可写出。 步骤2：线性规划松弛 将整数约束松弛为连续约束： \[ 0 \le x_ e \le 1, \quad \forall e \in A. \] 注意，\(x_ e \le 1\) 是多余的，因为目标最小化且成本非负，最优解自动满足 \(x_ e \le 1\)。因此线性规划松弛为： \[ \begin{aligned} \min\quad & \sum_ {e \in A} c_ e x_ e \\ \text{s.t.}\quad & \sum_ {e \in \delta_ A(S)} x_ e \ge k - |\delta_ {E_ 0}(S)|, \quad \forall \emptyset \subset S \subset V, \\ & x_ e \ge 0, \quad \forall e \in A. \end{aligned} \] 这个线性规划有指数级个约束（对应所有割），但可以通过 分离问题 在多项式时间内求解：给定一个解 \(x^ \)，要检查是否存在割 \(S\) 使得约束被违反，即判断是否存在 \(S\) 满足： \[ \sum_ {e \in \delta_ A(S)} x^ e < k - |\delta {E_ 0}(S)|. \] 这等价于检查是否存在 \(S\) 使得： \[ |\delta_ {E_ 0}(S)| + \sum_ {e \in \delta_ A(S)} x^ _ e < k. \] 定义每条边 \(e\) 的“容量”：原图的边容量为 1，候选边 \(e \in A\) 的容量为 \(x^ _ e\)。那么左边就是割 \((S, V\setminus S)\) 的总容量。因此，检查是否存在违反的约束等价于检查图的 最小割容量 是否小于 \(k\)。这可以用最大流算法在多项式时间内完成。因此，我们可以用 椭球法 或 内点法 结合最小割分离器来求解这个线性规划。 步骤3：求解线性规划松弛并得到分数最优解 假设我们已用上述方法求解线性规划松弛，得到最优解 \(x^* e \in [ 0,1]\)，最优目标值为 \(OPT {LP}\)。显然 \(OPT_ {LP} \le OPT_ {IP}\)，其中 \(OPT_ {IP}\) 是原整数规划的最优值。 步骤4：启发式舍入算法设计 我们采用一种基于 阈值舍入 的启发式方法： 设 \(t = \lceil \log_ 2 |V| \rceil\) 或根据经验取一个常数倍数（例如 2 或 3）。 重复以下过程 \(t\) 轮： 在第 \(i\) 轮，随机生成一个阈值 \(\theta_ i\)，均匀选自区间 \([ 0,1 ]\)。 对于每条边 \(e \in A\)，如果 \(x^* _ e \ge \theta_ i\)，则在当前轮中选中该边。 将当前轮选中的所有边加入解集 \(F_ i\)。 最终解为所有轮选中边的并集：\(F = \bigcup_ {i=1}^t F_ i\)。 直观解释 ：分数解 \(x^* _ e\) 可视为边 \(e\) 被选中的概率。通过多轮独立抽样，每条边被选中的概率增加。同时，对于任意一个割 \(S\)，其候选边被选中的期望数量增加，从而更可能满足 \(k\)-边连通性要求。 步骤5：可行性验证与后处理 得到边集 \(F\) 后，检查图 \(G'=(V, E_ 0 \cup F)\) 是否满足 \(k\)-边连通性。如果不满足，可以再添加一些边直到满足（例如贪心地添加当前最不满足的割中成本最小的边）。但这样做可能破坏近似比。为了理论保证，可以采用更复杂的随机舍入策略（如利用 Chernoff 界证明以高概率满足约束），但在实际启发式中，通常用简单舍入加后处理。 步骤6：算法总结 建立边连通性增广问题的整数规划模型。 将其松弛为线性规划，并利用最小割分离器求解，得到分数最优解 \(x^* \)。 进行多轮随机阈值舍入，得到候选边集 \(F\)。 验证并后处理，确保 \(k\)-边连通性。 输出增广边集 \(F\) 及其总成本。 举例说明 设原图 \(G\) 是一个 4 个顶点的环：\(V=\{1,2,3,4\}\)，\(E_ 0=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)\}\)，原图为 2-边连通。现在要增广为 3-边连通（即 \(k=3\)）。候选边集 \(A\) 为缺失的两条边：\((1,3)\) 和 \((2,4)\)，成本均为 1。 整数规划模型 ： 设 \(x_ {13}, x_ {24}\) 为决策变量。 割 \(S=\{1,2\}\)，原割边数 \(|\delta_ {E_ 0}(S)|=2\)，需要：\(x_ {13} + x_ {24} \ge 3-2=1\)。 同理，对所有 7 个非空真子集列出类似约束。 最优解显然是 \(x_ {13}=1, x_ {24}=1\)，总成本 2。 线性规划松弛 ： 相同约束，但 \(x_ e \in [ 0,1 ]\)。 最优解可能为分数，例如 \(x_ {13}=0.5, x_ {24}=0.5\) 满足所有割约束，因为对任意割，原割边数至少为 2，加上两个候选边各 0.5，总至少为 3。但目标值为 1，小于整数最优值 2。 舍入 ： 设 \(t=2\) 轮。 第一轮 \(\theta_ 1=0.3\)，则 \(x_ {13} \ge 0.3\) 且 \(x_ {24} \ge 0.3\)，两条边都选中。 第二轮 \(\theta_ 2=0.8\)，则 \(x_ {13}<0.8\) 且 \(x_ {24} <0.8\)，都不选中。 最终 \(F=\{(1,3),(2,4)\}\)，成本 2，即为最优解。 这个简单例子中舍入直接得到最优解。实际更大规模问题中，这种启发式舍入通常能得到不错的可行解。 总结 本题展示了如何用整数规划建模边连通性增广问题，通过线性规划松弛得到下界，并设计随机舍入启发式算法获得可行解。这种方法在网络设计、容错网络构建中有广泛应用。