SHA-256 哈希算法中 Ch 和 Maj 位运算函数的定义、作用与计算过程
字数 2924 2025-12-20 10:43:40

SHA-256 哈希算法中 Ch 和 Maj 位运算函数的定义、作用与计算过程

题目描述

在SHA-256哈希算法中，压缩函数是其核心运算部件。这个压缩函数内部包含多个逻辑函数，其中 Ch 和 Maj 是两个关键的三输入位运算函数。本题要求详细解释 Ch 和 Maj 函数的具体定义、功能作用、位运算规则，并结合SHA-256的迭代压缩过程，逐步展示它们是如何参与64轮迭代运算的。讲解需确保即使没有密码学背景，也能理解这两个函数的逻辑行为和设计意图。

解题过程

我们循序渐进地分解这个问题。

第一步：理解 SHA-256 压缩函数的输入与上下文

SHA-256 处理一个 512 位的消息块时，会将其与一个 256 位的中间哈希值（上一轮的输出或初始值）进行压缩运算，输出一个新的 256 位哈希值。这个压缩函数包含 64 轮迭代。
在每一轮迭代 t (0 ≤ t ≤ 63) 中，会计算两个临时值，然后更新内部的 8 个工作寄存器 (a, b, c, d, e, f, g, h)。
Ch 和 Maj 函数不直接处理消息，而是作用于这 8 个工作寄存器的当前值，实现复杂的非线性混合，是确保哈希结果雪崩效应的核心之一。

第二步：定义 Ch 函数

  1. 名称：Ch 是 “Choose” 的缩写，也称为选择函数 或 条件函数。
  2. 数学定义：
    Ch(x, y, z) = (x ∧ y) ⊕ (¬x ∧ z)
    其中 ∧ 表示按位与 (AND)，¬ 表示按位取反 (NOT)，⊕ 表示按位异或 (XOR)。
  3. 逻辑行为解释：
    这个函数像一个位级的复用器（Multiplexer）。
    • 对于 x, y, z 的每一个对应位（例如，第 i 位），函数观察控制位 x 的值：
      • 如果 x 的当前位是 1，则输出 y 的对应位。
      • 如果 x 的当前位是 0，则输出 z 的对应位。
    • 验证：当 x 位为1时，(1∧y) ⊕ (0∧z) = y ⊕ 0 = y。当 x 位为0时，(0∧y) ⊕ (1∧z) = 0 ⊕ z = z。
  4. 在 SHA-256 中的参数：
    在 SHA-256 压缩函数的第 t 轮迭代中，Ch 函数的三个输入来自工作寄存器 e, f, g 的当前值：
    Ch(e, f, g)

第三步：定义 Maj 函数

  1. 名称：Maj 是 “Majority” 的缩写，即多数函数。
  2. 数学定义：
    Maj(x, y, z) = (x ∧ y) ⊕ (x ∧ z) ⊕ (y ∧ z)
  3. 逻辑行为解释：
    这个函数计算三个输入位中的多数值。
    • 对于 x, y, z 的每一个对应位，函数输出这三个位中出现次数大于或等于2的那个值（即多数值，0 或 1）。
    • 你可以通过真值表验证：在 8 种输入组合中，当有 2 个或 3 个位为1时，输出为1；当有 0 个或 1 个位为1时，输出为0。上述公式精确实现了这个逻辑。
  4. 在 SHA-256 中的参数：
    在 SHA-256 压缩函数的第 t 轮迭代中，Maj 函数的三个输入来自工作寄存器 a, b, c 的当前值：
    Maj(a, b, c)

第四步：在 SHA-256 轮函数中定位 Ch 和 Maj

SHA-256 一轮迭代的核心是计算两个 32 位的临时字 T1 和 T2，公式如下：

T1 = h + Σ₁(e) + Ch(e, f, g) + K[t] + W[t]
T2 = Σ₀(a) + Maj(a, b, c)

其中：

  • h, e, f, g, a, b, c 是当前轮次这 8 个工作寄存器的值。
  • Σ₀ 和 Σ₁ 是另外两个循环右移和循环移位的位运算函数。
  • K[t] 是第 t 轮的固定常量。
  • W[t] 是从当前 512 位消息块扩展出的 64 个消息调度字中的第 t 个。

请注意：Ch 和 Maj 的输入是工作寄存器的值，它们与来自消息的 W[t] 和常量 K[t] 组合，使得消息位、常量位和当前哈希状态的位通过复杂的非线性方式相互作用。

第五步：通过一个具体的位运算示例来理解

假设我们只观察某一个特定位（例如最低位），并给定一些简单的值以便手动计算：

  • 设 e 的该位 = 1, f 的该位 = 0, g 的该位 = 1。

  • 计算 Ch(e, f, g) 的该位：
    因为 e 位是 1，所以输出应选择 f 位，即 0。用公式：(1∧0) ⊕ (0∧1) = 0 ⊕ 0 = 0。结果正确。

  • 设 a 的该位 = 1, b 的该位 = 0, c 的该位 = 1。

  • 计算 Maj(a, b, c) 的该位：
    三个位是 (1, 0, 1)，其中 1 出现了两次（是多数值），所以输出应为 1。用公式：(1∧0) ⊕ (1∧1) ⊕ (0∧1) = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1。结果正确。

关键点：在整个 32 位字上，Ch 和 Maj 是逐位、并行地执行上述逻辑运算。它们不涉及任何算术加法和进位，是纯粹的位逻辑运算，在现代CPU上执行效率极高。

第六步：理解 Ch 和 Maj 的设计目标与安全性作用

  1. 非线性性：

    • SHA-256 需要强大的抗碰撞性。如果所有运算都是线性的（例如只有 XOR 和循环移位），那么整个函数可能会退化成线性系统，很容易通过解方程来构造碰撞。
    • Ch 和 Maj 是非线性布尔函数。它们引入了代数复杂度，使得输入位的微小变化能够以不可预测的方式传播到输出位，这是实现“雪崩效应”和抵抗各种密码分析（如差分分析、线性分析）的关键。

  2. 平衡性与比特独立性：

    • 这两个函数在设计上具有很好的密码学性质。它们对输入的每一位是平衡处理的，并且输出位依赖于所有三个输入位的组合，增加了依赖性。

  3. 功能互补：

    • Ch 是“条件”函数，其输出取决于第一个输入。它在设计上类似于一个受控的开关。
    • Maj 是“多数”函数，其输出反映了三个输入的整体倾向。它在设计上提供了一种“表决”机制。
    • 在压缩函数中，Ch 作用于与消息字 W[t] 结合更紧密的那条数据路径（涉及 e, f, g），而 Maj 作用于控制主状态更新的另一条路径（涉及 a, b, c）。这种分工协作确保了内部状态的每一位都通过不同的非线性方式被充分搅拌。

总结

在 SHA-256 算法中：

  • Ch(e, f, g) 作为一个位级的选择器，根据 e 的每一位来决定输出 f 还是 g 的对应位。
  • Maj(a, b, c) 作为一个位级的多数表决器，输出 a, b, c 三个位中占多数的值。
  • 它们被集成在每一轮迭代计算 T1 和 T2 的公式中，是SHA-256压缩函数实现非线性混淆和位扩散的核心部件，对于算法的整体安全性至关重要。理解它们的具体计算过程，是理解SHA-256内部工作机制不可或缺的一步。
SHA-256 哈希算法中 Ch 和 Maj 位运算函数的定义、作用与计算过程 题目描述 在SHA-256哈希算法中，压缩函数是其核心运算部件。这个压缩函数内部包含多个逻辑函数，其中 Ch 和 Maj 是两个关键的 三输入位运算函数 。本题要求详细解释 Ch 和 Maj 函数的 具体定义、功能作用、位运算规则 ，并结合SHA-256的迭代压缩过程，逐步展示它们是如何参与64轮迭代运算的。讲解需确保即使没有密码学背景，也能理解这两个函数的逻辑行为和设计意图。 解题过程 我们循序渐进地分解这个问题。 第一步：理解 SHA-256 压缩函数的输入与上下文 SHA-256 处理一个 512 位的消息块时，会将其与一个 256 位的中间哈希值（上一轮的输出或初始值）进行压缩运算，输出一个新的 256 位哈希值。这个压缩函数包含 64 轮迭代。 在每一轮迭代 t (0 ≤ t ≤ 63) 中，会计算两个临时值，然后更新内部的 8 个工作寄存器 (a, b, c, d, e, f, g, h) 。 Ch 和 Maj 函数 不直接处理消息 ，而是作用于这 8 个工作寄存器的当前值，实现 复杂的非线性混合 ，是确保哈希结果雪崩效应的核心之一。 第二步：定义 Ch 函数 名称 ：Ch 是 “Choose” 的缩写，也称为 选择函数 或 条件函数 。 数学定义 ： Ch(x, y, z) = (x ∧ y) ⊕ (¬x ∧ z) 其中 ∧ 表示按位与 (AND)， ¬ 表示按位取反 (NOT)， ⊕ 表示按位异或 (XOR)。 逻辑行为解释 ： 这个函数像一个 位级的复用器（Multiplexer） 。 对于 x , y , z 的每一个对应位（例如，第 i 位），函数观察 控制位 x 的值： 如果 x 的当前位是 1 ，则输出 y 的对应位。 如果 x 的当前位是 0 ，则输出 z 的对应位。 验证：当 x 位为1时， (1∧y) ⊕ (0∧z) = y ⊕ 0 = y 。当 x 位为0时， (0∧y) ⊕ (1∧z) = 0 ⊕ z = z 。 在 SHA-256 中的参数 ： 在 SHA-256 压缩函数的第 t 轮迭代中，Ch 函数的三个输入来自工作寄存器 e, f, g 的当前值： Ch(e, f, g) 第三步：定义 Maj 函数 名称 ：Maj 是 “Majority” 的缩写，即 多数函数 。 数学定义 ： Maj(x, y, z) = (x ∧ y) ⊕ (x ∧ z) ⊕ (y ∧ z) 逻辑行为解释 ： 这个函数计算三个输入位中的 多数值 。 对于 x , y , z 的每一个对应位，函数输出这三个位中出现次数 大于或等于2 的那个值（即多数值，0 或 1）。 你可以通过真值表验证：在 8 种输入组合中，当有 2 个或 3 个位为1时，输出为1；当有 0 个或 1 个位为1时，输出为0。上述公式精确实现了这个逻辑。 在 SHA-256 中的参数 ： 在 SHA-256 压缩函数的第 t 轮迭代中，Maj 函数的三个输入来自工作寄存器 a, b, c 的当前值： Maj(a, b, c) 第四步：在 SHA-256 轮函数中定位 Ch 和 Maj SHA-256 一轮迭代的核心是计算两个 32 位的临时字 T1 和 T2 ，公式如下： T1 = h + Σ₁(e) + Ch(e, f, g) + K[t] + W[t] T2 = Σ₀(a) + Maj(a, b, c) 其中： h, e, f, g, a, b, c 是当前轮次这 8 个工作寄存器的值。 Σ₀ 和 Σ₁ 是另外两个循环右移和循环移位的位运算函数。 K[t] 是第 t 轮的固定常量。 W[t] 是从当前 512 位消息块扩展出的 64 个消息调度字中的第 t 个。 请注意 ： Ch 和 Maj 的输入是 工作寄存器的值 ，它们与来自消息的 W[t] 和常量 K[t] 组合，使得消息位、常量位和当前哈希状态的位通过复杂的非线性方式相互作用。 第五步：通过一个具体的位运算示例来理解 假设我们只观察某一个特定位（例如最低位），并给定一些简单的值以便手动计算： 设 e 的该位 = 1, f 的该位 = 0, g 的该位 = 1。 计算 Ch(e, f, g) 的该位： 因为 e 位是 1，所以输出应选择 f 位，即 0。用公式： (1∧0) ⊕ (0∧1) = 0 ⊕ 0 = 0 。结果正确。 设 a 的该位 = 1, b 的该位 = 0, c 的该位 = 1。 计算 Maj(a, b, c) 的该位： 三个位是 (1, 0, 1)，其中 1 出现了两次（是多数值），所以输出应为 1。用公式： (1∧0) ⊕ (1∧1) ⊕ (0∧1) = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 。结果正确。 关键点 ：在整个 32 位字上，Ch 和 Maj 是 逐位、并行 地执行上述逻辑运算。它们不涉及任何算术加法和进位，是纯粹的位逻辑运算，在现代CPU上执行效率极高。 第六步：理解 Ch 和 Maj 的设计目标与安全性作用 非线性性 ： SHA-256 需要强大的抗碰撞性。如果所有运算都是线性的（例如只有 XOR 和循环移位），那么整个函数可能会退化成线性系统，很容易通过解方程来构造碰撞。 Ch 和 Maj 是 非线性 布尔函数。它们引入了代数复杂度，使得输入位的微小变化能够以不可预测的方式传播到输出位，这是实现“雪崩效应”和抵抗各种密码分析（如差分分析、线性分析）的关键。 平衡性与比特独立性 ： 这两个函数在设计上具有很好的密码学性质。它们对输入的每一位是平衡处理的，并且输出位依赖于所有三个输入位的组合，增加了依赖性。 功能互补 ： Ch 是“条件”函数，其输出取决于第一个输入。它在设计上类似于一个受控的开关。 Maj 是“多数”函数，其输出反映了三个输入的整体倾向。它在设计上提供了一种“表决”机制。 在压缩函数中， Ch 作用于与消息字 W[t] 结合更紧密的那条数据路径（涉及 e, f, g ），而 Maj 作用于控制主状态更新的另一条路径（涉及 a, b, c ）。这种分工协作确保了内部状态的每一位都通过不同的非线性方式被充分搅拌。 总结 在 SHA-256 算法中： Ch(e, f, g) 作为一个 位级的选择器 ，根据 e 的每一位来决定输出 f 还是 g 的对应位。 Maj(a, b, c) 作为一个 位级的多数表决器 ，输出 a, b, c 三个位中占多数的值。 它们被集成在每一轮迭代计算 T1 和 T2 的公式中，是SHA-256压缩函数实现 非线性混淆 和 位扩散 的核心部件，对于算法的整体安全性至关重要。理解它们的具体计算过程，是理解SHA-256内部工作机制不可或缺的一步。