高斯-勒让德求积公式在无穷区间上的变换应用 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx \)。高斯-勒让德求积公式默认适用于有限区间 \([ -1, 1]\)，但本题的积分区间为 \( [ 0, \infty)\)。需要通过变量变换将无穷区间映射到有限区间，再应用高斯-勒让德求积公式进行数值计算。 解题步骤 分析问题特性 积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx \) 的被积函数 \( f(x) = e^{-x} \sin(x) \) 在 \( x \to \infty \) 时因指数衰减而快速趋于零，但积分区间无穷。直接截断区间会引入误差，需通过变量变换将 \( [ 0, \infty)\) 映射到有限区间。 选择变量变换方法 常用变换包括： 指数变换 ：令 \( t = e^{-x} \)，则 \( x = -\ln t \)，\( dx = -\frac{1}{t} dt \)。 积分区间变为：当 \( x=0 \) 时 \( t=1 \)；当 \( x \to \infty \) 时 \( t=0 \)。 积分转换为： \[ I = \int_ {1}^{0} e^{\ln t} \sin(-\ln t) \left(-\frac{1}{t}\right) dt = \int_ {0}^{1} t \cdot [ -\sin(\ln t)] \cdot \left(-\frac{1}{t}\right) dt = \int_ {0}^{1} \sin(\ln t) \, dt. \] 代数变换 ：令 \( x = \frac{t}{1-t} \)，则 \( dx = \frac{1}{(1-t)^2} dt \)，区间变为 \( t \in [ 0, 1) \)。但此变换可能在被积函数中引入奇点，本例选择指数变换更直接。 应用高斯-勒让德求积公式 变换后的积分 \( I = \int_ {0}^{1} \sin(\ln t) \, dt \) 区间为 \([ 0, 1]\)，而高斯-勒让德公式适用于 \([ -1, 1 ]\)，需再次线性变换： 令 \( u = 2t - 1 \)，则 \( t = \frac{u+1}{2} \)，\( dt = \frac{1}{2} du \)，积分变为： \[ I = \int_ {-1}^{1} \sin\left[ \ln\left(\frac{u+1}{2}\right)\right ] \cdot \frac{1}{2} \, du. \] 选择 \( n \) 阶高斯-勒让德公式（例如 \( n=3 \)）： 节点 \( u_ k \) 和权重 \( w_ k \) 查表可得（如 \( n=3 \) 时节点为 \( \pm\sqrt{0.6}, 0 \)，权重为 \( \frac{5}{9}, \frac{8}{9}, \frac{5}{9} \)）。 近似计算： \[ I \approx \frac{1}{2} \sum_ {k=1}^{n} w_ k \sin\left[ \ln\left(\frac{u_ k + 1}{2}\right)\right ]. \] 误差与收敛性分析 高斯-勒让德公式在有限区间上对光滑函数具有高精度。本例中，变换后的被积函数 \( g(t) = \sin(\ln t) \) 在 \( t=0 \) 处有弱奇点（\( \ln t \to -\infty \)），但积分仍收敛。 可通过增加节点数 \( n \) 提高精度，或采用复合高斯求积法在 \( t=0 \) 附近细分区间。 验证结果 本例的解析解可通过积分运算求得： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx = \frac{1}{2}. \] 数值结果与 \( 0.5 \) 比较可评估误差。 总结 通过指数变换将无穷积分化为有限区间上的积分，再结合高斯-勒让德公式，可有效处理此类问题。关键点在于变换后函数的平滑性影响数值精度，需根据实际函数特性调整策略。