GOST 28147-89 分组密码算法的加/解密轮函数中“模 $2^{32}$ 加法”与“循环左移”的交互作用详解

字数 3055 2025-12-20 09:59:52

GOST 28147-89 分组密码算法的加/解密轮函数中“模 $2^{32}$ 加法”与“循环左移”的交互作用详解

好的，作为密码学领域的“大神”，我将为你讲解一个尚未出现在你列表中的、非常具体且关键的算法细节：GOST 28147-89（一个苏联/俄罗斯的国家标准分组密码）在加解密轮函数中，“模 $2^{32}$ 加法”与“循环左移”这两个操作是如何交互，并共同构成其非线性核心的。这个细节对于理解GOST算法的安全性和设计思路至关重要。

题目背景

GOST 28147-89 是一个64位分组、256位密钥的分组密码。它采用32轮的Feistel网络结构。与其他许多Feistel密码（如DES）不同，GOST的轮函数 $F$ 非常简洁，但其强度很大程度上依赖于两个操作的结合：

模 $2^{32}$ 加法：将轮密钥与一半的数据块（32位）相加，结果取模 $2^{32}$。
循环左移：将上一步的结果循环左移11位。

这两步并非简单的拼接，而是有深意的相互作用。我们来一步步解析。

解题过程：从整体到局部，剖析交互作用

第一步：回顾GOST单轮Feistel结构

在每一轮 $i$ 中：

输入数据被分成两个32位的左半部分 $L_{i-1}$ 和右半部分 $R_{i-1}$。
轮函数的输出为：
$L_i = R_{i-1}$
$R_i = L_{i-1} \oplus F(R_{i-1}, K_i)$
其中 $\oplus$ 是逐位异或，$K_i$ 是第 $i$ 轮的32位轮密钥，$F$ 是轮函数。

现在，我们聚焦于轮函数 $F(R, K)$ 的内部。

第二步：分解轮函数 $F$ 的标准步骤

轮函数 $F$ 处理一个32位的输入 $R$ 和一个32位的轮密钥 $K$，其标准描述通常包含以下步骤，但我们要深入理解前两步：

模加：计算 $S = (R + K) \mod 2^{32}$。这是一个32位整数的加法，忽略溢出进位。
拆分成字节：将得到的32位结果 $S$ 拆分成4个8位字节：$S = s_3 \| s_2 \| s_1 \| s_0$。
S盒代换：每个字节 $s_j$ 通过一个特定的8进4出S盒（$S_j$）进行非线性替换，得到4位输出。4个S盒并行工作，共输出4×4=16位。
合并与移位：将4个4位输出重新合并成一个16位的中间值，然后循环左移11位。
输出：这个移位后的16位结果，就是32位轮函数 $F$ 的最终输出（注意，输出被截断/视为高16位为0？这里有个关键点，稍后解释）。

等等！这里出现了一个核心困惑点，也是理解“交互作用”的关键。从步骤1到步骤4的描述存在一个“跳跃”。我们仔细分析：

第三步：澄清关键点——循环左移作用于哪个值？

许多标准描述为了简化，会说“将S盒输出的16位结果循环左移11位”。但严格来说，这是不精确的。更准确、更本质的描述是：

模加：$T = (R + K) \mod 2^{32}$。得到 32位 的 $T$。
S盒处理：将 $T$ 的4个字节分别通过S盒，每个S盒输出4位，得到 16位 的中间值 $U$。
循环左移：将 原始的32位值 $T$ 循环左移11位，得到一个32位的值 $T^{<<<11}$。
交互与输出：轮函数 $F$ 的最终输出，并不是简单的 $U$ 或 $T^{<<<11}$，而是 将 $U$ 填充到 $T^{<<<11}$ 的低16位。

用公式精确表达：
$F(R, K) = (T^{<<<11}) \ \&\ \text{0xFFFF}$
其中 $\&$ 是按位与，0xFFFF 是一个掩码，用于取结果的低16位。

换句话说，“循环左移11位”这个操作，是作用在经过模加后、还未进行S盒处理的32位中间值 $T$ 上的。而S盒处理的16位结果 $U$，是用来“覆盖”或“填入”移位后 $T$ 的低16位。

第四步：深入分析“模加”与“循环左移”的交互作用

现在我们可以清晰地分析这两个操作的交互：

模加的“扩散”作用：
- 轮密钥 $K$ 通过模 $2^{32}$ 加法，与数据 $R$ 完全融合。
- 这个加法是线性的，但其产生的进位传播是关键。即使 $R$ 和 $K$ 中只有一个比特发生变化，由于进位链，可能导致输出 $T$ 的多个比特（尤其是低位）发生变化。
- 例如，如果 $R$ 的最低位变化，可能引起一连串的进位，最终影响 $T$ 的低若干位。这种变化是非线性的（因为进位逻辑不是简单的线性函数）。
循环左移的“破坏对齐”与“跨字节混合”作用：
- 将 $T$ 循环左移11位，这是一个非常精妙的设计。11位不是一个字节（8位）的整数倍，也不是一个字的整数倍。
- 它的作用是将由模加产生的、可能集中在低位的比特变化（尤其是进位效应），扩散到整个32位字的不同位置，特别是跨越原始的字节边界。
- 具体来说，$T$ 的低11位（可能是受进位影响最直接的区域）会被移动到高11位。同时，$T$ 的高21位会被移动到低21位。这使得原来在低字节发生的、由模加带来的复杂变化，被“搅拌”到了中间字节和高字节。
两者的协同效应：
- 交互的核心：模加 引入了依赖于密钥和数据的、非线性的比特变化模式（尤其是通过进位）。循环左移 则像一个强大的搅拌器，立即将这个变化模式从局部（通常是字的低位）打散到整个字的各个部分，特别是S盒将要处理的各个字节中。
- 如果没有循环左移，模加的效果主要停留在低字节，S盒只处理这些局部变化，密码的整体扩散性会变差。
- 如果没有模加（只用异或），$T = R \oplus K$ 的变化是线性的，循环左移虽然能扩散比特，但输入变化的模式过于简单，安全性不足。
- 二者结合：模加提供了复杂、非线性的比特变化“原料”，循环左移提供了高效、全局的比特扩散“手段”。这种“先制造复杂局部扰动，再立即全局搅拌”的设计，是GOST轮函数简洁而有效的核心。

第五步：结合S盒看最终输出

最后，这个经过“模加-移位”处理后的32位值 $T^{<<<11}$，其低16位被S盒的输出 $U$ 所覆盖。

$U$ 本身是高度非线性的（由S盒提供）。
而 $T^{<<<11}$ 的高16位，保留了经过搅拌的、由模加产生的复杂变化信息。
取这个混合值的低16位作为 $F$ 函数的输出，意味着最终输出同时包含了S盒的非线性，以及经过移位扩散后的模加复杂性的影响。

总结

在GOST 28147-89的轮函数中，“模 $2^{32}$ 加法”与“循环左移11位”的交互作用，构成了一个精妙的非线性扩散对：

模加：作为非线性扰动源，利用整数加法的进位传播特性，在输入与密钥的微小变化下，产生不可预测的、非线性的比特变化，主要作用于低位。
循环左移：作为全局扩散器，将模加在低位产生的复杂变化模式，通过非对齐的移位（11位），立即打散并重新分布到32位字的各个部分，特别是跨越字节边界，为后续的S盒处理提供了高度混合且依赖于密钥的输入。

这种设计使得GOST在仅使用非常简单的操作和较少轮数（相比同时代算法）的情况下，获得了良好的混淆与扩散效果，是其能够抵御差分和线性密码分析等攻击的重要因素。理解这种底层操作的交互，是深入掌握古典和现代分组密码设计艺术的关键。

GOST 28147-89 分组密码算法的加/解密轮函数中“模 $2^{32}$ 加法”与“循环左移”的交互作用详解好的，作为密码学领域的“大神”，我将为你讲解一个尚未出现在你列表中的、非常具体且关键的算法细节：GOST 28147-89（一个苏联/俄罗斯的国家标准分组密码）在加解密轮函数中，“模 $2^{32}$ 加法”与“循环左移”这两个操作是如何交互，并共同构成其非线性核心的。这个细节对于理解GOST算法的安全性和设计思路至关重要。题目背景 GOST 28147-89 是一个64位分组、256位密钥的分组密码。它采用32轮的Feistel网络结构。与其他许多Feistel密码（如DES）不同，GOST的轮函数 $F$ 非常简洁，但其强度很大程度上依赖于两个操作的结合：模 $2^{32}$ 加法：将轮密钥与一半的数据块（32位）相加，结果取模 $2^{32}$。循环左移：将上一步的结果循环左移11位。这两步并非简单的拼接，而是有深意的相互作用。我们来一步步解析。解题过程：从整体到局部，剖析交互作用第一步：回顾GOST单轮Feistel结构在每一轮 $i$ 中：输入数据被分成两个32位的左半部分 $L_ {i-1}$ 和右半部分 $R_ {i-1}$。轮函数的输出为： $L_ i = R_ {i-1}$ $R_ i = L_ {i-1} \oplus F(R_ {i-1}, K_ i)$ 其中 $\oplus$ 是逐位异或，$K_ i$ 是第 $i$ 轮的32位轮密钥，$F$ 是轮函数。现在，我们聚焦于轮函数 $F(R, K)$ 的内部。第二步：分解轮函数 $F$ 的标准步骤轮函数 $F$ 处理一个32位的输入 $R$ 和一个32位的轮密钥 $K$，其标准描述通常包含以下步骤，但我们要深入理解前两步：模加：计算 $S = (R + K) \mod 2^{32}$。这是一个32位整数的加法，忽略溢出进位。拆分成字节：将得到的32位结果 $S$ 拆分成4个8位字节：$S = s_ 3 \| s_ 2 \| s_ 1 \| s_ 0$。 S盒代换：每个字节 $s_ j$ 通过一个特定的8进4出S盒（$S_ j$）进行非线性替换，得到4位输出。4个S盒并行工作，共输出4×4=16位。合并与移位：将4个4位输出重新合并成一个16位的中间值，然后循环左移11位。输出：这个移位后的16位结果，就是32位轮函数 $F$ 的最终输出（注意，输出被截断/视为高16位为0？这里有个关键点，稍后解释）。等等！这里出现了一个核心困惑点，也是理解“交互作用”的关键。从步骤1到步骤4的描述存在一个“跳跃”。我们仔细分析：第三步：澄清关键点——循环左移作用于哪个值？许多标准描述为了简化，会说“将S盒输出的16位结果循环左移11位”。但严格来说，这是不精确的。更准确、更本质的描述是：模加：$T = (R + K) \mod 2^{32}$。得到 32位的 $T$。 S盒处理：将 $T$ 的4个字节分别通过S盒，每个S盒输出4位，得到 16位的中间值 $U$。循环左移：将原始的32位值 $T$ 循环左移11位，得到一个32位的值 $T^{<< <11}$。交互与输出：轮函数 $F$ 的最终输出，并不是简单的 $U$ 或 $T^{<<<11}$，而是将 $U$ 填充到 $T^{<<<11}$ 的低16位。用公式精确表达： $F(R, K) = (T^{<< <11}) \ \&\ \text{0xFFFF}$ 其中 $\&$ 是按位与， 0xFFFF 是一个掩码，用于取结果的低16位。换句话说， “循环左移11位”这个操作，是作用在经过模加后、还未进行S盒处理的32位中间值 $T$ 上的。而S盒处理的16位结果 $U$，是用来“覆盖”或“填入”移位后 $T$ 的低16位。第四步：深入分析“模加”与“循环左移”的交互作用现在我们可以清晰地分析这两个操作的交互：模加的“扩散”作用：轮密钥 $K$ 通过模 $2^{32}$ 加法，与数据 $R$ 完全融合。这个加法是线性的，但其产生的进位传播是关键。即使 $R$ 和 $K$ 中只有一个比特发生变化，由于进位链，可能导致输出 $T$ 的多个比特（尤其是低位）发生变化。例如，如果 $R$ 的最低位变化，可能引起一连串的进位，最终影响 $T$ 的低若干位。这种变化是非线性的（因为进位逻辑不是简单的线性函数）。循环左移的“破坏对齐”与“跨字节混合”作用：将 $T$ 循环左移11位，这是一个非常精妙的设计。11位不是一个字节（8位）的整数倍，也不是一个字的整数倍。它的作用是将由模加产生的、可能集中在低位的比特变化（尤其是进位效应），扩散到整个32位字的不同位置，特别是跨越原始的字节边界。具体来说，$T$ 的低11位（可能是受进位影响最直接的区域）会被移动到高11位。同时，$T$ 的高21位会被移动到低21位。这使得原来在低字节发生的、由模加带来的复杂变化，被“搅拌”到了中间字节和高字节。两者的协同效应：交互的核心：模加引入了依赖于密钥和数据的、非线性的比特变化模式（尤其是通过进位）。循环左移则像一个强大的搅拌器，立即将这个变化模式从局部（通常是字的低位）打散到整个字的各个部分，特别是S盒将要处理的各个字节中。如果没有循环左移，模加的效果主要停留在低字节，S盒只处理这些局部变化，密码的整体扩散性会变差。如果没有模加（只用异或），$T = R \oplus K$ 的变化是线性的，循环左移虽然能扩散比特，但输入变化的模式过于简单，安全性不足。二者结合：模加提供了复杂、非线性的比特变化“原料”，循环左移提供了高效、全局的比特扩散“手段”。这种“先制造复杂局部扰动，再立即全局搅拌”的设计，是GOST轮函数简洁而有效的核心。第五步：结合S盒看最终输出最后，这个经过“模加-移位”处理后的32位值 $T^{<< <11}$，其低16位被S盒的输出 $U$ 所覆盖。 $U$ 本身是高度非线性的（由S盒提供）。而 $T^{<< <11}$ 的高16位，保留了经过搅拌的、由模加产生的复杂变化信息。取这个混合值的低16位作为 $F$ 函数的输出，意味着最终输出同时包含了S盒的非线性，以及经过移位扩散后的模加复杂性的影响。总结在GOST 28147-89的轮函数中，“模 $2^{32}$ 加法”与“循环左移11位”的交互作用，构成了一个精妙的非线性扩散对：模加：作为非线性扰动源，利用整数加法的进位传播特性，在输入与密钥的微小变化下，产生不可预测的、非线性的比特变化，主要作用于低位。循环左移：作为全局扩散器，将模加在低位产生的复杂变化模式，通过非对齐的移位（11位），立即打散并重新分布到32位字的各个部分，特别是跨越字节边界，为后续的S盒处理提供了高度混合且依赖于密钥的输入。这种设计使得GOST在仅使用非常简单的操作和较少轮数（相比同时代算法）的情况下，获得了良好的混淆与扩散效果，是其能够抵御差分和线性密码分析等攻击的重要因素。理解这种底层操作的交互，是深入掌握古典和现代分组密码设计艺术的关键。