基于线性规划的“无线网络中的用户关联与资源分配”联合优化建模与求解示例
字数 3164 2025-12-20 09:54:32

基于线性规划的“无线网络中的用户关联与资源分配”联合优化建模与求解示例

题目描述

假设我们有一个无线蜂窝网络，其中包含一个基站（Base Station, BS）和多个用户设备（User Equipment, UE）。每个 UE 可以选择关联到基站，基站为每个关联的 UE 分配一定的带宽资源。目标是在满足每个 UE 最低速率需求的前提下，最小化基站的总发射功率，或者最大化网络的能量效率（即总吞吐量与总功率的比值）。这个问题可以建模为一个联合用户关联与资源分配的优化问题，其中用户关联是离散决策（0-1变量），资源分配是连续决策，且目标函数和约束可能包含非线性项（如香农容量公式）。我们可以通过线性化技巧、变量替换、分段线性近似等方法，将其转化为一个混合整数线性规划（MILP）问题来求解。

解题过程

我们以“在满足每个 UE 最低速率需求的前提下，最小化基站总发射功率”为目标，展示如何建模和求解。

步骤 1：定义参数与变量

  • 设用户集合为 \(I = \{1,2,\dots,n\}\)。
  • 设基站的总可用带宽为 \(B\) Hz。
  • 对每个用户 \(i\)，其信道增益为 \(g_i\)（假设已知且固定），背景噪声功率谱密度为 \(N_0\)，因此信噪比（SNR）与分配的功率成正比。
  • 每个用户 \(i\) 要求的最低数据传输速率为 \(R_i^{\min}\)（bps）。
  • 定义决策变量：
    • 连续变量 \(p_i \ge 0\)：基站为用户 \(i\) 分配的发射功率。
    • 连续变量 \(b_i \ge 0\)：基站为用户 \(i\) 分配的带宽。
    • 二元变量 \(x_i \in \{0,1\}\)：表示用户 \(i\) 是否关联到基站（1 表示关联，0 表示不关联）。

步骤 2：建立目标函数与约束

目标是最小化总功率：

\[\text{minimize} \quad \sum_{i \in I} p_i \]

约束条件包括：

  1. 带宽总量限制：分配的带宽总和不能超过基站总带宽。

\[ \sum_{i \in I} b_i \le B \]

  1. 用户速率需求：根据香农公式，用户 \(i\) 的速率可近似为 \(b_i \log_2\left(1 + \frac{g_i p_i}{N_0 b_i}\right)\)。但这是一个非线性函数。为了线性化，我们引入辅助变量 \(\gamma_i = \frac{p_i}{b_i}\)（即功率谱密度），并假设在合理的工作区间内，速率可近似为关于 \(\gamma_i\) 的线性函数，或者使用分段线性逼近。这里为了简化，我们假设采用一个保守的线性下界：存在一个常数 \(\alpha_i > 0\) 使得速率 \(\ge \alpha_i b_i \gamma_i\)。于是速率约束可写为：

\[ \alpha_i b_i \gamma_i \ge R_i^{\min} x_i, \quad \forall i \]

其中 \(\gamma_i = p_i / b_i\)，代入得：

\[ \alpha_i p_i \ge R_i^{\min} x_i, \quad \forall i \]

注意：这里使用了近似，实际中可采用更精确的分段线性化。
3. 带宽与关联的关系：如果用户未关联（\(x_i = 0\)），则不应分配带宽和功率。

\[ b_i \le B x_i, \quad p_i \le P^{\max} x_i, \quad \forall i \]

其中 \(P^{\max}\) 是基站对单个用户的最大发射功率。
4. 变量范围：

\[ b_i \ge 0, \quad p_i \ge 0, \quad x_i \in \{0,1\}, \quad \forall i \]

步骤 3：线性化处理

上述模型中约束 2 已经是线性的（因为 \(\alpha_i p_i \ge R_i^{\min} x_i\)），但注意当 \(x_i = 0\) 时，约束强制 \(p_i = 0\)，这符合要求。然而，当 \(x_i = 1\) 时，\(p_i \ge R_i^{\min} / \alpha_i\)，即满足最低速率所需的最小功率。

但实际中，速率公式 \(b_i \log_2(1 + g_i p_i / (N_0 b_i))\) 是非线性的。更精确的线性化方法如下：

  • 引入新变量 \(r_i\) 表示用户 \(i\) 的速率，并增加约束：

\[ r_i \le b_i \log_2\left(1 + \frac{g_i p_i}{N_0 b_i}\right) \]

  • 对该非线性约束进行分段线性逼近。例如，将 \(\frac{p_i}{b_i}\) 划分为若干区间，在每个区间上用线性函数下近似 \(\log_2(1+\cdot)\)。这会引入额外的连续变量和二元变量，但最终可得到一个 MILP。

为简化讲解，我们采用上述的保守线性近似 \(\alpha_i p_i \ge R_i^{\min} x_i\)，此时模型已经是 MILP。

步骤 4：最终 MILP 模型

综合以上，得到简化后的 MILP 模型：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{i} p_i \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{i} b_i \le B, \\ & \alpha_i p_i \ge R_i^{\min} x_i, \quad \forall i, \\ & b_i \le B x_i, \quad \forall i, \\ & p_i \le P^{\max} x_i, \quad \forall i, \\ & b_i, p_i \ge 0, \quad x_i \in \{0,1\}, \quad \forall i. \end{aligned} \]

步骤 5：求解方法

这是一个混合整数线性规划，可用分支定界法求解。步骤包括：

  1. 松弛：首先求解线性规划松弛（将 \(x_i \in \{0,1\}\) 替换为 \(0 \le x_i \le 1\)）。
  2. 分支：如果某个 \(x_i\) 的解不是整数（例如 \(x_k = 0.6\)），则创建两个子问题：一个强制 \(x_k = 0\)，另一个强制 \(x_k = 1\)。
  3. 定界：每个子问题求解 LP 松弛，得到目标值的下界（因为最小化）。保留当前最好整数解的上界。
  4. 剪枝：如果子问题的松弛解值 ≥ 当前上界，则剪枝；如果子问题的解是整数且目标值更优，则更新上界。
  5. 重复分支直到所有节点被处理。

步骤 6：结果解释

求解完成后，我们得到：

  • 每个用户的关联决策 \(x_i\)（哪些用户被服务）。
  • 分配的带宽 \(b_i\) 和功率 \(p_i\)。
  • 总功率 \(\sum p_i\) 最小化，同时满足每个被服务用户的最低速率需求。

这个模型可以扩展到多基站、多载波等场景，原理类似，通过引入更多索引和约束即可。

通过以上步骤，我们将一个含有非线性项的无线网络联合优化问题，通过合理的近似与线性化，转化为一个可求解的 MILP，并利用分支定界法得到最优解。

基于线性规划的“无线网络中的用户关联与资源分配”联合优化建模与求解示例 题目描述 假设我们有一个无线蜂窝网络，其中包含一个基站（Base Station, BS）和多个用户设备（User Equipment, UE）。每个 UE 可以选择关联到基站，基站为每个关联的 UE 分配一定的带宽资源。目标是在满足每个 UE 最低速率需求的前提下，最小化基站的总发射功率，或者最大化网络的能量效率（即总吞吐量与总功率的比值）。这个问题可以建模为一个联合用户关联与资源分配的优化问题，其中用户关联是离散决策（0-1变量），资源分配是连续决策，且目标函数和约束可能包含非线性项（如香农容量公式）。我们可以通过线性化技巧、变量替换、分段线性近似等方法，将其转化为一个混合整数线性规划（MILP）问题来求解。 解题过程 我们以“在满足每个 UE 最低速率需求的前提下，最小化基站总发射功率”为目标，展示如何建模和求解。 步骤 1：定义参数与变量 设用户集合为 \( I = \{1,2,\dots,n\} \)。 设基站的总可用带宽为 \( B \) Hz。 对每个用户 \( i \)，其信道增益为 \( g_ i \)（假设已知且固定），背景噪声功率谱密度为 \( N_ 0 \)，因此信噪比（SNR）与分配的功率成正比。 每个用户 \( i \) 要求的最低数据传输速率为 \( R_ i^{\min} \)（bps）。 定义决策变量： 连续变量 \( p_ i \ge 0 \)：基站为用户 \( i \) 分配的发射功率。 连续变量 \( b_ i \ge 0 \)：基站为用户 \( i \) 分配的带宽。 二元变量 \( x_ i \in \{0,1\} \)：表示用户 \( i \) 是否关联到基站（1 表示关联，0 表示不关联）。 步骤 2：建立目标函数与约束 目标是最小化总功率： \[ \text{minimize} \quad \sum_ {i \in I} p_ i \] 约束条件包括： 带宽总量限制 ：分配的带宽总和不能超过基站总带宽。 \[ \sum_ {i \in I} b_ i \le B \] 用户速率需求 ：根据香农公式，用户 \( i \) 的速率可近似为 \( b_ i \log_ 2\left(1 + \frac{g_ i p_ i}{N_ 0 b_ i}\right) \)。但这是一个非线性函数。为了线性化，我们引入辅助变量 \( \gamma_ i = \frac{p_ i}{b_ i} \)（即功率谱密度），并假设在合理的工作区间内，速率可近似为关于 \( \gamma_ i \) 的线性函数，或者使用分段线性逼近。这里为了简化，我们假设采用一个保守的线性下界：存在一个常数 \( \alpha_ i > 0 \) 使得速率 \( \ge \alpha_ i b_ i \gamma_ i \)。于是速率约束可写为： \[ \alpha_ i b_ i \gamma_ i \ge R_ i^{\min} x_ i, \quad \forall i \] 其中 \( \gamma_ i = p_ i / b_ i \)，代入得： \[ \alpha_ i p_ i \ge R_ i^{\min} x_ i, \quad \forall i \] 注意：这里使用了近似，实际中可采用更精确的分段线性化。 带宽与关联的关系 ：如果用户未关联（\( x_ i = 0 \)），则不应分配带宽和功率。 \[ b_ i \le B x_ i, \quad p_ i \le P^{\max} x_ i, \quad \forall i \] 其中 \( P^{\max} \) 是基站对单个用户的最大发射功率。 变量范围 ： \[ b_ i \ge 0, \quad p_ i \ge 0, \quad x_ i \in \{0,1\}, \quad \forall i \] 步骤 3：线性化处理 上述模型中约束 2 已经是线性的（因为 \( \alpha_ i p_ i \ge R_ i^{\min} x_ i \)），但注意当 \( x_ i = 0 \) 时，约束强制 \( p_ i = 0 \)，这符合要求。然而，当 \( x_ i = 1 \) 时，\( p_ i \ge R_ i^{\min} / \alpha_ i \)，即满足最低速率所需的最小功率。 但实际中，速率公式 \( b_ i \log_ 2(1 + g_ i p_ i / (N_ 0 b_ i)) \) 是非线性的。更精确的线性化方法如下： 引入新变量 \( r_ i \) 表示用户 \( i \) 的速率，并增加约束： \[ r_ i \le b_ i \log_ 2\left(1 + \frac{g_ i p_ i}{N_ 0 b_ i}\right) \] 对该非线性约束进行分段线性逼近。例如，将 \( \frac{p_ i}{b_ i} \) 划分为若干区间，在每个区间上用线性函数下近似 \( \log_ 2(1+\cdot) \)。这会引入额外的连续变量和二元变量，但最终可得到一个 MILP。 为简化讲解，我们采用上述的保守线性近似 \( \alpha_ i p_ i \ge R_ i^{\min} x_ i \)，此时模型已经是 MILP。 步骤 4：最终 MILP 模型 综合以上，得到简化后的 MILP 模型： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {i} p_ i \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {i} b_ i \le B, \\ & \alpha_ i p_ i \ge R_ i^{\min} x_ i, \quad \forall i, \\ & b_ i \le B x_ i, \quad \forall i, \\ & p_ i \le P^{\max} x_ i, \quad \forall i, \\ & b_ i, p_ i \ge 0, \quad x_ i \in \{0,1\}, \quad \forall i. \end{aligned} \] 步骤 5：求解方法 这是一个混合整数线性规划，可用分支定界法求解。步骤包括： 松弛 ：首先求解线性规划松弛（将 \( x_ i \in \{0,1\} \) 替换为 \( 0 \le x_ i \le 1 \)）。 分支 ：如果某个 \( x_ i \) 的解不是整数（例如 \( x_ k = 0.6 \)），则创建两个子问题：一个强制 \( x_ k = 0 \)，另一个强制 \( x_ k = 1 \)。 定界 ：每个子问题求解 LP 松弛，得到目标值的下界（因为最小化）。保留当前最好整数解的上界。 剪枝 ：如果子问题的松弛解值 ≥ 当前上界，则剪枝；如果子问题的解是整数且目标值更优，则更新上界。 重复分支直到所有节点被处理。 步骤 6：结果解释 求解完成后，我们得到： 每个用户的关联决策 \( x_ i \)（哪些用户被服务）。 分配的带宽 \( b_ i \) 和功率 \( p_ i \)。 总功率 \( \sum p_ i \) 最小化，同时满足每个被服务用户的最低速率需求。 这个模型可以扩展到多基站、多载波等场景，原理类似，通过引入更多索引和约束即可。 通过以上步骤，我们将一个含有非线性项的无线网络联合优化问题，通过合理的近似与线性化，转化为一个可求解的 MILP，并利用分支定界法得到最优解。