非线性规划中的自适应正则化拟牛顿法（Adaptive Regularized Quasi-Newton Method）进阶题

字数 3276 2025-12-20 07:13:37

非线性规划中的自适应正则化拟牛顿法（Adaptive Regularized Quasi-Newton Method）进阶题

题目描述

考虑一个无约束光滑非凸优化问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二阶连续可微的，但其 Hessian 矩阵可能非正定或条件数很大。

设计一种 自适应正则化拟牛顿法 来求解该问题，其核心思想是：

在每次迭代中构建一个拟牛顿模型，但为了避免拟牛顿矩阵 \(B_k\) 在非凸区域导致模型不具凸性，引入自适应正则化项，将模型修正为强凸的。
自适应调整正则化参数，使得模型既能保持局部超线性收敛潜力，又能保证全局收敛。

具体任务是：

推导算法的迭代格式。
说明自适应正则化参数的选择策略。
分析算法的全局收敛性条件。

解题过程

步骤 1：问题重述与背景

在标准的拟牛顿法中，我们利用迭代 \(x_{k+1} = x_k - B_k^{-1} \nabla f(x_k)\)，其中 \(B_k \approx \nabla^2 f(x_k)\)。但在非凸区域，\(B_k\) 可能非正定，导致搜索方向不是下降方向，甚至模型函数 \(m_k(p) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^\top p + \frac{1}{2} p^\top B_k p\) 无界。

为了解决此问题，可对模型加入正则化项 \(\frac{\sigma_k}{2} \|p\|^2\)，其中 \(\sigma_k \geq 0\) 是自适应参数，使修正后的模型

\[\tilde{m}_k(p) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^\top p + \frac{1}{2} p^\top (B_k + \sigma_k I) p \]

是强凸的（即 \(B_k + \sigma_k I \succ 0\)）。

步骤 2：算法迭代格式推导

构建正则化子问题：在第 \(k\) 步，求解

\[ p_k = \arg\min_{p \in \mathbb{R}^n} \tilde{m}_k(p) = \arg\min_{p} \left\{ f(x_k) + \nabla f_k^\top p + \frac{1}{2} p^\top (B_k + \sigma_k I) p \right\} \]

其解析解为

\[ p_k = -(B_k + \sigma_k I)^{-1} \nabla f_k. \]

若 \(\sigma_k = 0\) 且 \(B_k \succ 0\)，则退化为标准拟牛顿步。

计算试验点：

\[ x_k^+ = x_k + p_k. \]

实际下降量与预测下降量：
定义实际下降

\[ \text{ared}_k = f(x_k) - f(x_k^+), \]

预测下降

\[ \text{pred}_k = -\nabla f_k^\top p_k - \frac{1}{2} p_k^\top (B_k + \sigma_k I) p_k. \]

接受试验点条件：
如果

\[ \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k} \geq \eta_1 \quad (0 < \eta_1 < 1), \]

则接受这一步，令 \(x_{k+1} = x_k^+\)。否则，拒绝这一步，增大正则化参数 \(\sigma_k\) 并重新求解子问题。

更新拟牛顿矩阵：
若接受这一步，用 BFGS 或 DFP 等公式更新 \(B_{k+1}\)，利用位移 \(s_k = x_{k+1} - x_k\) 和梯度差 \(y_k = \nabla f_{k+1} - \nabla f_k\)。

步骤 3：自适应正则化参数选择策略

自适应策略的目标是：使 \(\sigma_k\) 尽可能小（保持拟牛顿逼近的精度），但必须保证 \(B_k + \sigma_k I\) 的最小特征值足够大，使得模型 \(\tilde{m}_k(p)\) 强凸，并且能控制实际下降与预测下降的比例。

一种实用策略是：

初始化：给定初始 \(\sigma_0 \geq 0\)（例如 0）。
每次迭代开始时，检查 \(B_k + \sigma_k I\) 的最小特征值 \(\lambda_{\min}\)。
- 如果 \(\lambda_{\min} \leq \delta\)（\(\delta > 0\) 是一个小阈值，如 \(10^{-8}\)），则增大 \(\sigma_k\) 为 \(\sigma_k \leftarrow 2\sigma_k + \tau\)，其中 \(\tau > 0\) 是一个增量。
在试验步被拒绝时（即实际下降与预测下降之比太小），增加正则化参数：

\[ \sigma_k \leftarrow \gamma \sigma_k, \quad \gamma > 1 \ (\text{例如 } \gamma = 2). \]

在试验步成功时，可适当减小正则化参数，以便后续迭代更接近拟牛顿步：

\[ \sigma_{k+1} = \max(\sigma_k / \gamma, 0) \quad \text{或} \quad \sigma_{k+1} = \sigma_k. \]

这样，\(\sigma_k\) 在迭代中自适应调整，在曲率信息可靠时变小，在非凸或病态时变大。

步骤 4：全局收敛性分析

要证明算法全局收敛到稳定点（即梯度趋于零），需假设：

目标函数 \(f\) 下有界，在水平集 \(\{x: f(x) \leq f(x_0)\}\) 上 Lipschitz 连续可微。
拟牛顿矩阵 \(B_k\) 有界（通过正则化保证）。

关键步骤：

由于每次尝试步之前，模型被修正为强凸，预测下降 \(\text{pred}_k\) 满足

\[ \text{pred}_k \geq \frac{1}{2} \| \nabla f_k \| \min\left\{ \frac{\| \nabla f_k \|}{\| B_k + \sigma_k I \|}, c \right\} \]

对某个 \(c>0\) 成立。

如果某步被拒绝，则 \(\sigma_k\) 增大，最终模型足够凸，使得实际下降与预测下降之比超过 \(\eta_1\)，从而步被接受。
由于实际下降至少为 \(\eta_1 \cdot \text{pred}_k\)，且 \(\text{pred}_k\) 与梯度大小相关，可证明梯度序列的子列收敛到零。
结合 Zoutendijk 条件或类似信任域框架的分析，可得到全局收敛：

\[ \liminf_{k \to \infty} \| \nabla f_k \| = 0. \]

总结

自适应正则化拟牛顿法通过动态调整正则化参数，既继承了拟牛顿法的超线性收敛潜力，又保证了在非凸区域的全局收敛性。其核心是：

用 \(B_k + \sigma_k I\) 保证模型强凸。
根据实际下降与预测下降之比自适应调整 \(\sigma_k\)。
在曲率信息可靠时减少正则化，接近拟牛顿步；在模型不可靠时增大正则化，类似信任域机制。

该方法尤其适合大规模非凸问题，其中精确 Hessian 计算昂贵，而拟牛顿法可有效利用梯度信息。

非线性规划中的自适应正则化拟牛顿法（Adaptive Regularized Quasi-Newton Method）进阶题题目描述考虑一个无约束光滑非凸优化问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] 其中目标函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是二阶连续可微的，但其 Hessian 矩阵可能非正定或条件数很大。设计一种自适应正则化拟牛顿法来求解该问题，其核心思想是：在每次迭代中构建一个拟牛顿模型，但为了避免拟牛顿矩阵 \( B_ k \) 在非凸区域导致模型不具凸性，引入自适应正则化项，将模型修正为强凸的。自适应调整正则化参数，使得模型既能保持局部超线性收敛潜力，又能保证全局收敛。具体任务是：推导算法的迭代格式。说明自适应正则化参数的选择策略。分析算法的全局收敛性条件。解题过程步骤 1：问题重述与背景在标准的拟牛顿法中，我们利用迭代 \( x_ {k+1} = x_ k - B_ k^{-1} \nabla f(x_ k) \)，其中 \( B_ k \approx \nabla^2 f(x_ k) \)。但在非凸区域，\( B_ k \) 可能非正定，导致搜索方向不是下降方向，甚至模型函数 \( m_ k(p) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^\top p + \frac{1}{2} p^\top B_ k p \) 无界。为了解决此问题，可对模型加入正则化项 \( \frac{\sigma_ k}{2} \|p\|^2 \)，其中 \( \sigma_ k \geq 0 \) 是自适应参数，使修正后的模型 \[ \tilde{m}_ k(p) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^\top p + \frac{1}{2} p^\top (B_ k + \sigma_ k I) p \] 是强凸的（即 \( B_ k + \sigma_ k I \succ 0 \)）。步骤 2：算法迭代格式推导构建正则化子问题：在第 \( k \) 步，求解 \[ p_ k = \arg\min_ {p \in \mathbb{R}^n} \tilde{m} k(p) = \arg\min {p} \left\{ f(x_ k) + \nabla f_ k^\top p + \frac{1}{2} p^\top (B_ k + \sigma_ k I) p \right\} \] 其解析解为 \[ p_ k = -(B_ k + \sigma_ k I)^{-1} \nabla f_ k. \] 若 \( \sigma_ k = 0 \) 且 \( B_ k \succ 0 \)，则退化为标准拟牛顿步。计算试验点： \[ x_ k^+ = x_ k + p_ k. \] 实际下降量与预测下降量：定义实际下降 \[ \text{ared}_ k = f(x_ k) - f(x_ k^+), \] 预测下降 \[ \text{pred}_ k = -\nabla f_ k^\top p_ k - \frac{1}{2} p_ k^\top (B_ k + \sigma_ k I) p_ k. \] 接受试验点条件：如果 \[ \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred} k} \geq \eta_ 1 \quad (0 < \eta_ 1 < 1), \] 则接受这一步，令 \( x {k+1} = x_ k^+ \)。否则，拒绝这一步，增大正则化参数 \( \sigma_ k \) 并重新求解子问题。更新拟牛顿矩阵：若接受这一步，用 BFGS 或 DFP 等公式更新 \( B_ {k+1} \)，利用位移 \( s_ k = x_ {k+1} - x_ k \) 和梯度差 \( y_ k = \nabla f_ {k+1} - \nabla f_ k \)。步骤 3：自适应正则化参数选择策略自适应策略的目标是：使 \( \sigma_ k \) 尽可能小（保持拟牛顿逼近的精度），但必须保证 \( B_ k + \sigma_ k I \) 的最小特征值足够大，使得模型 \( \tilde{m}_ k(p) \) 强凸，并且能控制实际下降与预测下降的比例。一种实用策略是：初始化：给定初始 \( \sigma_ 0 \geq 0 \)（例如 0）。每次迭代开始时，检查 \( B_ k + \sigma_ k I \) 的最小特征值 \( \lambda_ {\min} \)。如果 \( \lambda_ {\min} \leq \delta \)（\(\delta > 0\) 是一个小阈值，如 \(10^{-8}\)），则增大 \( \sigma_ k \) 为 \( \sigma_ k \leftarrow 2\sigma_ k + \tau \)，其中 \( \tau > 0 \) 是一个增量。在试验步被拒绝时（即实际下降与预测下降之比太小），增加正则化参数： \[ \sigma_ k \leftarrow \gamma \sigma_ k, \quad \gamma > 1 \ (\text{例如 } \gamma = 2). \] 在试验步成功时，可适当减小正则化参数，以便后续迭代更接近拟牛顿步： \[ \sigma_ {k+1} = \max(\sigma_ k / \gamma, 0) \quad \text{或} \quad \sigma_ {k+1} = \sigma_ k. \] 这样，\( \sigma_ k \) 在迭代中自适应调整，在曲率信息可靠时变小，在非凸或病态时变大。步骤 4：全局收敛性分析要证明算法全局收敛到稳定点（即梯度趋于零），需假设：目标函数 \( f \) 下有界，在水平集 \( \{x: f(x) \leq f(x_ 0)\} \) 上 Lipschitz 连续可微。拟牛顿矩阵 \( B_ k \) 有界（通过正则化保证）。关键步骤：由于每次尝试步之前，模型被修正为强凸，预测下降 \( \text{pred}_ k \) 满足 \[ \text{pred}_ k \geq \frac{1}{2} \| \nabla f_ k \| \min\left\{ \frac{\| \nabla f_ k \|}{\| B_ k + \sigma_ k I \|}, c \right\} \] 对某个 \( c>0 \) 成立。如果某步被拒绝，则 \( \sigma_ k \) 增大，最终模型足够凸，使得实际下降与预测下降之比超过 \( \eta_ 1 \)，从而步被接受。由于实际下降至少为 \( \eta_ 1 \cdot \text{pred}_ k \)，且 \( \text{pred}_ k \) 与梯度大小相关，可证明梯度序列的子列收敛到零。结合 Zoutendijk 条件或类似信任域框架的分析，可得到全局收敛： \[ \liminf_ {k \to \infty} \| \nabla f_ k \| = 0. \] 总结自适应正则化拟牛顿法通过动态调整正则化参数，既继承了拟牛顿法的超线性收敛潜力，又保证了在非凸区域的全局收敛性。其核心是：用 \( B_ k + \sigma_ k I \) 保证模型强凸。根据实际下降与预测下降之比自适应调整 \( \sigma_ k \)。在曲率信息可靠时减少正则化，接近拟牛顿步；在模型不可靠时增大正则化，类似信任域机制。该方法尤其适合大规模非凸问题，其中精确 Hessian 计算昂贵，而拟牛顿法可有效利用梯度信息。