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最大流问题（Push-Relabel算法）

**最大流问题（Push-Relabel算法）** **题目描述** 最大流问题要求在一个有向图中，从源点（source）到汇点（sink）能传输的最大流量。每条边有一个容量（capacity），表示该边能承载的最大流量。Push-Relabel算法是一种高效求解最大流的方法，通过维护每个顶点的“预流”（preflow）和“高度标签”（height label），逐步将流量推向汇点。 **解题过程** 1. **初始化** - 设置源点高度为顶点数量（|V|），其余顶点高度

2025-10-30 06:47:46

梯度提升决策树（GBDT）算法的原理与构建过程

**梯度提升决策树（GBDT）算法的原理与构建过程** **题目描述** 梯度提升决策树（Gradient Boosting Decision Tree, GBDT）是一种强大的集成学习算法，它通过迭代地构建多棵决策树（通常为CART回归树）来组合成一个强学习器。每一棵新树都致力于修正之前所有树组合的预测残差（即负梯度方向），最终将所有树的预测结果进行加权求和，得到最终预测。GBDT在回归和分类任务中都表现出色，是许多机器学习竞赛中的常用模型。 **解题过程** **1. 算法核心思想**

2025-10-30 06:37:22

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法

**CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法** **题目描述** CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格论困难问题的后量子数字签名算法，旨在抵御量子计算机的攻击。它通过多项式环上的运算生成密钥对，并利用"Fiat-Shamir启发式"将交互式证明转化为非交互式签名。题目要求理解其密钥生成、签名生成和验证的数学原理与步骤，重点包括多项式运算、拒绝采样和安全性设计。 **解题过程** 1. **数学基础准备** - **环结构**：Dilithiu

2025-10-30 06:31:51

双步隐式位移QR算法计算复数矩阵特征值

**双步隐式位移QR算法计算复数矩阵特征值** **题目描述** 双步隐式位移QR算法是一种高效计算一般矩阵（包括复数矩阵）所有特征值的数值方法。该算法通过迭代将矩阵逐步收敛到Schur形式（上三角矩阵），从而直接读取特征值。对于复数矩阵，特征值可能为复数，算法需处理复位移以加速收敛。核心思想是：在每次迭代中，通过巧妙选择的复位移（通常基于矩阵右下角2x2子矩阵的特征值），隐式执行两步QR分解，避免显式处理复数运算的复杂性，同时维持数值稳定性。 **解题过程循序渐进讲解** **步骤1

2025-10-30 06:26:44

线性动态规划：最长有效括号匹配子串的变种——允许一次失配的最长有效括号子串

**线性动态规划：最长有效括号匹配子串的变种——允许一次失配的最长有效括号子串** **题目描述** 给定一个仅由 `'('` 和 `')'` 组成的字符串 `s`，允许你**最多修改一个字符**（将 `'('` 改为 `')'` 或反之），求修改后能得到的**最长有效括号子串**的长度。例如： - 输入 `s = "()())"`，将最后一个 `')'` 改为 `'('` 得到 `"()()("`，最长有效子串为 `"()()"`，长度为 4。 - 输入 `s = "(()"

2025-10-30 06:21:35

哈希算法题目：设计一个基于哈希的日志速率限制器

**哈希算法题目：设计一个基于哈希的日志速率限制器** **题目描述** 设计一个日志速率限制器，要求实现以下功能： - `shouldPrintMessage(timestamp, message)`：判断给定时间戳和消息是否应该被打印 - 如果消息在过去10秒内没有被打印过，则返回true并记录该消息 - 如果消息在过去10秒内已被打印过，则返回false且不记录 **解题思路** 1. 使用哈希表存储消息和最后一次打印时间戳 2. 当新消息到达时，检查哈希表中是否存在该消息的记

2025-10-30 06:10:40

基于Krylov子空间的IDR(s)算法解非对称线性方程组

**基于Krylov子空间的IDR(s)算法解非对称线性方程组** **题目描述** IDR(s)（Induced Dimension Reduction）算法是一种用于求解大型稀疏非对称线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 的迭代方法，其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 矩阵，\( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{b} \) 是 \( n \) 维向量。该算法通过构造一组嵌套的Krylov子空间，利用短递推

2025-10-30 06:05:35

基于线性规划的随机规划补偿模型求解示例

**基于线性规划的随机规划补偿模型求解示例** **题目描述** 考虑一个生产计划问题：某工厂需要决定下个月两种产品A和B的产量（记为\(x_1\)和\(x_2\)），目标为最大化利润。已知每单位A的利润为3元，B为5元。生产受以下约束： 1. **资源约束**：生产A和B需消耗原材料，每单位A消耗2kg，B消耗1kg，原材料总供应量**不确定**，但服从概率分布（例如均值为10kg的正态分布）。 2. **需求约束**：市场对A的需求至少为2单位，对B的需求至少为3单位。若实际原材料

2025-10-30 06:00:19

基于隐马尔可夫模型（HMM）的语音识别算法

**基于隐马尔可夫模型（HMM）的语音识别算法** ### 题目描述语音识别是将音频信号转换为文本序列的任务。基于隐马尔可夫模型（HMM）的语音识别算法是早期主流的统计学习方法，其核心思想是将语音信号建模为隐马尔可夫过程：**隐状态**对应音素或子音素单元（如声学模型中的状态），**观测值**对应音频的特征向量（如MFCC特征）。目标是找到最可能生成观测序列的隐状态序列（即文本）。 --- ### 解题过程 #### 步骤1：语音信号预处理与特征提取 1. **分帧

2025-10-30 05:54:59

期望最大化（EM）算法的原理与计算过程

**期望最大化（EM）算法的原理与计算过程** **题目描述** 期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法是一种迭代优化策略，用于估计概率模型参数，尤其适用于含有隐变量（latent variables）或缺失数据的不完整数据集。其核心思想是通过交替执行两步：E步（期望步）计算隐变量的条件概率期望，M步（最大化步）基于E步的结果更新模型参数，直至收敛。典型应用包括高斯混合模型（GMM）的参数估计、隐马尔可夫模型（HMM）的训练等。 **解题过程**

2025-10-30 05:49:39

核主成分分析（Kernel PCA）的原理与非线性降维过程

**核主成分分析（Kernel PCA）的原理与非线性降维过程** **题目描述** 核主成分分析（Kernel PCA）是主成分分析（PCA）的非线性扩展，用于处理数据在原始空间中线性不可分的情况。传统PCA通过线性变换找到数据方差最大的投影方向，但无法捕捉非线性结构。Kernel PCA通过核函数（Kernel Function）将数据映射到高维特征空间，并在该空间执行线性PCA，从而在原始空间中实现非线性降维。本题目将详细讲解Kernel PCA的数学原理、核函数的作用，以及具体实现

2025-10-30 05:39:17

布尔括号化问题

**布尔括号化问题** **题目描述** 给定一个布尔表达式，由符号 `T`（true）、`F`（false）以及运算符 `&`（与）、`|`（或）、`^`（异或）组成。表达式中的符号和运算符交替出现，例如 `T|F&T^F`。我们的目标是通过添加括号来改变表达式的计算顺序，使得表达式最终计算结果为 `true` 的方法数是多少？例如，表达式 `T|T&F^T` 可以通过不同的加括号方式得到不同的结果，需要统计使其结果为 `true` 的括号化方案数量。 --- **解题思路**

2025-10-30 05:33:49

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