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Johnson算法求稀疏图中所有顶点对最短路径

**Johnson算法求稀疏图中所有顶点对最短路径** **题目描述** 给定一个可能包含负权边但不含负权环的稀疏有向图，要求找出图中所有顶点对之间的最短路径距离。稀疏图是指边数|E|远小于顶点数|V|的平方（|E| << |V|²）的图。Johnson算法能高效解决这个问题，特别适合稀疏图场景。 **算法思路** Johnson算法的核心思想是通过重新赋权（reweighting）技术，消除图中的负权边，然后对每个顶点运行一次Dijkstra算法。它包含三个关键步骤： 1. 添加虚拟顶点并

2025-11-01 10:06:20

排序算法之：循环不变式在快速排序中的正确性证明

**排序算法之：循环不变式在快速排序中的正确性证明** 题目描述：使用循环不变式证明快速排序算法的正确性。具体来说，需要明确定义快速排序分区过程中的循环不变式，并证明在分区过程的初始化、保持和终止三个阶段中，该不变式始终成立，从而确保分区操作的正确性。解题过程： 1. 快速排序分区过程回顾快速排序的核心是分区操作。以第一个元素为基准，将数组分为两部分：左边部分的所有元素小于等于基准，右边部分的所有元素大于基准。分区过程使用双指针法实现。 2. 定义循环不变式对于数组A[p..r]的

2025-11-01 10:01:09

分块矩阵的Schur补方法在求解线性方程组中的应用

**分块矩阵的Schur补方法在求解线性方程组中的应用** **题目描述** 考虑分块线性方程组 Ax = b，其中 A 是 n×n 矩阵，x 和 b 是 n 维向量。当 A 可以划分为 2×2 分块形式时，我们可以使用 Schur 补方法进行高效求解。具体形式如下： ``` A = [A₁₁ A₁₂] x = [x₁] b = [b₁] [A₂₁ A₂₂] [x₂] [b₂] ``` 其中 A₁₁ 是 p×p 子矩阵，A₂₂ 是 q×q 子矩阵（p

2025-11-01 09:55:59

Rabin-Karp 算法在滚动哈希中的应用：重复子串查找

**Rabin-Karp 算法在滚动哈希中的应用：重复子串查找** 题目描述：给定一个字符串 s，判断 s 中是否存在长度至少为 2 的重复子串。如果存在，返回 true；否则返回 false。注意：重复子串可以重叠，例如 "aba" 中 "a" 重复出现，但长度不足 2，因此返回 false；而 "abab" 中 "ab" 重复出现，返回 true。解题过程： 1. **问题分析** 暴力解法是枚举所有长度 L（从 2 到 n/2）的子串，检查每个长度为 L 的子串是否

2025-11-01 09:50:44

排序算法之：Flash Sort（闪电排序）的分布优化策略

**排序算法之：Flash Sort（闪电排序）的分布优化策略** **题目描述** Flash Sort是一种基于数据分布的线性时间复杂度的非比较排序算法，适用于已知数据均匀分布的场合。其核心思想是通过数据的分布特征，将元素快速分配到对应的区间（类），再对每个区间进行插入排序，最后合并结果。本题要求理解Flash Sort的核心步骤，特别是其分布优化策略如何减少比较操作并提升排序效率。 **解题过程** 1. **核心思想**： Flash Sort假设输入数组的元素服从

2025-11-01 09:45:30

基于线性规划的分解算法求解示例

**基于线性规划的分解算法求解示例** 我将为您讲解一个基于线性规划的分解算法应用实例，重点介绍Dantzig-Wolfe分解原理在具有特殊结构的大规模线性规划问题中的应用。 **问题描述** 考虑一个生产计划问题：某公司有3个工厂（F1, F2, F3）需要制定下周的生产计划。每个工厂可以生产2种产品（P1, P2），但各工厂的生产能力、资源限制和成本结构不同。公司总部需要协调各工厂的生产，以满足整体市场需求和资源约束。 **数学模型** 主问题：最大化总利润：z = 10x₁ + 1

2025-11-01 09:29:47

二分图的最大匹配问题（匈牙利算法）

**二分图的最大匹配问题（匈牙利算法）** 题目描述：给定一个二分图G=(X∪Y, E)，其中X和Y是两个不相交的顶点集合，E是边集。我们需要找到该二分图的一个最大匹配。匹配是指边的集合M⊆E，其中任意两条边都不共享公共顶点。最大匹配是指包含边数最多的匹配。解题过程： 1. 基本概念理解 - 二分图：顶点可划分为两个集合X和Y，所有边都连接X和Y中的顶点 - 匹配：没有公共顶点的边集合 - 增广路径：从未匹配点出发，交替经过匹配边和非匹配边，最终到达另一个未匹配点的路径 2. 算法核

2025-11-01 09:19:12

SHA-256的填充与迭代过程

**SHA-256的填充与迭代过程** **题目描述** 讲解SHA-256哈希算法的消息填充和迭代压缩过程，包括如何将任意长度输入分割为固定大小的分组，并通过轮函数逐步生成256位哈希值。重点分析填充规则、消息扩展、轮常量与逻辑函数的协作机制。 --- **1. 算法背景** SHA-256属于SHA-2家族，输出长度为256位（32字节）。其核心结构为Merkle-Damgård构造，将输入消息经过填充后分割为512位（64字节）的分组，每个分组通过压缩函数与当前哈希值迭代计算

2025-11-01 09:13:59

基于Krylov子空间的IDR(s)算法解非对称线性方程组

**基于Krylov子空间的IDR(s)算法解非对称线性方程组** 我将为您详细讲解IDR(s)算法，这是一种高效求解大型稀疏非对称线性方程组的迭代方法。 **问题描述** 我们需要求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是 n×n 的非对称矩阵（可能还是不定矩阵），b 是已知向量。当矩阵 A 规模很大且稀疏时，直接法求解成本过高，需要采用迭代法。 **算法原理** IDR(s)（Induced Dimension Reduction）算法的核心思想是通过在嵌套的子空间序列中寻找解，这些子

2025-11-01 09:03:25

并行与分布式系统中的分布式互斥算法：基于树的仲裁集算法（Tree-Based Quorum Algorithm）

**并行与分布式系统中的分布式互斥算法：基于树的仲裁集算法（Tree-Based Quorum Algorithm）** **题目描述** 在分布式系统中，多个节点可能需要互斥地访问共享资源（如文件、打印机等）。基于树的仲裁集算法是一种分布式互斥算法，它通过将节点组织成树形结构，并利用树的性质来减少互斥访问所需的消息数量。算法的核心思想是：每个节点在请求临界区时，只需获得树中某个仲裁集（Quorum）内节点的许可，而非所有节点的许可。仲裁集的大小通常为O(log N)（N为节点数），从而降

2025-11-01 08:58:11

最长斐波那契子序列的长度

**最长斐波那契子序列的长度** **题目描述** 给定一个严格递增的正整数数组 arr，找到 arr 中最长的斐波那契式子序列的长度。如果一个序列满足以下条件，则称其为斐波那契式序列： 1. len(sequence) >= 3 2. 对于所有 i (i >= 2)，都有 sequence[i] = sequence[i-1] + sequence[i-2] 注意：子序列是从原数组中删除一些（或不删除）元素，剩余元素保持原始顺序得到的序列。示例：输入：arr = [1,2,3,4,5

2025-11-01 08:52:58

SM4分组密码算法的轮函数设计

**SM4分组密码算法的轮函数设计** **题目描述** SM4是中国国家密码管理局发布的分组密码算法，用于数据加密。其分组长度为128位，密钥长度也为128位，采用32轮非线性迭代结构。轮函数是SM4的核心组成部分，负责在每轮中对128位的数据分组进行混淆和扩散。本题要求详细分析SM4轮函数的构造、每一步的数学操作及其在安全性中的作用。 --- **解题过程** **1. 轮函数的整体结构** - SM4的轮函数操作作用于128位数据分组，该分组被划分为4个32位字（\(X_0

2025-11-01 08:47:41

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